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폴리로그함수
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1. 개요[편집]
폴리로그함수(polylogarithm) 혹은 다중로그는 특수함수의 하나로, 로그함수를 일반화한 이변수 함수이다. 표기는 [math(\mathrm{Li}_s(x))]로 하며,[1] 정의는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \mathrm{Li}_s ( x ) \equiv \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^s})]
위 급수는 임의의 복소수 [math(s)]와 ][math(\,<1)]인 복소수 [math(x)]에 대해 수렴함이 알려져 있다. 또한, [math(s=1)]인 경우 로그함수 꼴로 표현된다. 즉,
[math(\displaystyle \mathrm{Li}_1(x)=-\ln(1-x) )]
이다. 로그함수의 매클로린 급수를 사용해서 증명할 수 있다. 폴리로그함수는 해석적 연속에 의해 [math(|x|\ge1)]인 복소수 [math(x)]에 대해서도 잘 정의된다. 자세한 내용은 영문 위키피디아 문서를 참고하라.
한편, [math(\mathrm{Li}_2(x))]와 [math(\mathrm{Li}_3(x))]는 자주 쓰이는 관계로 각각 이중로그(dilogarithm), 삼중로그(trilogarithm)라고도 불린다. 특히 [math(\mathrm{Li}_2(x))]는 Spence's function이라고도 불린다.
몇몇 폴리로그함수에 대한 그래프는 아래와 같다.
파일:나무_폴리로그_그래프_NeW.png
무한급수의 형태에서 알 수 있듯 리만 제타 함수 [math(\zeta(x))]와 관련이 있다.[2]
2. 미적분[편집]
- 폴리로그함수는 다음과 같이 적분을 통해 재귀적으로도 정의된다.
[math(\displaystyle \mathrm{Li}_{s+1}(x)=\int_0^x\frac{\mathrm{Li}_s(t)}t\,\mathrm{d}t=\int_0^1\frac{\mathrm{Li}_s(xt)}t\,\mathrm{d}t )]
특히 [math(\mathrm{Li}_2(x))]의 경우, 위의 적분식과 [math(\displaystyle \mathrm{Li}_1(x)=-\ln{(1-x)})]임을 사용해서 다음과 같이 표현할 수 있다.
[math(\displaystyle \mathrm{Li}_2(x)=\int_0^x\frac{-\ln{(1-t)}}t\,\mathrm{d}t=\int_0^1\frac{-\ln{(1-xt)}}t\,\mathrm{d}t )]
- 위의 적분 관계식을 사용하면 폴리로그함수의 미분을 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{Li}_s(x)=\frac{\mathrm{Li}_{s-1}(x)}{x} )]
폴리로그함수와 임의의 함수 [math(f(x))]가 합성된 경우에도 위의 적분 관계식을 사용해 미분 가능하다. 이때는 정적분으로 정의된 함수를 미분하는 방법을 사용하면 된다.
\end{aligned} )]
이를 사용하면 상수 [math(a\in\mathbb{R})]에 대해 다음 식도 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \mathrm{Li}_s(ax) = \frac{\mathrm{Li}_{s-1}(ax)}{x} )]
- 한편, [math(x)]가 아니라 [math(s)]로 미분할 수도 있다.
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\mathrm{Li}_s(x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n\ln n}{n^s} )]
3. 성질[편집]
- [math(\displaystyle \mathrm{Li}_s(1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}=\zeta(s) )]
- [math(\displaystyle \mathrm{Li}_s(-1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}=(2^{1-s}-1)\zeta(s) )]
- Duplication Formula (배 공식)
[math(\displaystyle \mathrm{Li}_s(x)+\mathrm{Li}_s(-x)=2^{1-s}\mathrm{Li}_s(x^2) )]
- Euler's Reflection Formula (오일러의 반사 공식)
[math(\displaystyle \mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2(1-x)=\frac{\pi^2}6-\ln x\ln{(1-x)} )]
- Inversion Formula (역수 공식)
[math(\displaystyle \mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2\!\left(\frac1x\right)=-\frac{\pi^2}6-\frac12\ln^2(-x) )]
- Landen's Identity (랜던 항등식)
[math(\displaystyle \mathrm{Li}_2(1-x)+\mathrm{Li}_2\!\left(1-\frac1x\right)=-\frac12\ln^2x )]
- Inversion Formula for Trilogarithm (삼중로그의 역수 공식)
[math(\displaystyle \mathrm{Li}_3(x)-\mathrm{Li}_3\!\left(\frac1x\right)=-\frac{\pi^2}6\ln{(-x)}-\frac16\ln^3(-x) )]
4. 알려진 함숫값[편집]
- [math(\displaystyle \mathrm{Li}_1\!\left(\frac12\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^nn}=\ln2\approx0.6931471806 )]
- [math(\displaystyle \mathrm{Li}_2\!\left(\frac12\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^nn^2}=-\frac12\ln^22+\frac{\pi^2}{12}\approx0.5822405265 )]
- [math(\displaystyle \mathrm{Li}_3\!\left(\frac12\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^nn^3}=\frac16 \ln^3 2-\frac{\pi^2}{12}\ln2+\frac78\,\zeta(3)\approx0.5372131936 )]
- [math(\displaystyle \operatorname{Li}_2(i) = \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{48} +iG \approx -0.2056167584 +0.9159655942\,i \quad)] (단, [math(G)]는 카탈랑 상수)