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테일러 급수/목록
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상위 문서: 테일러 급수
여러 대표적인 함수의 테일러 급수를 다루는 문서이다.
아래의 예들은 [math(x_0=0)] 일 때를 다루므로 매클로린 급수이기도 하다.
[math(n)]값이 커질수록 테일러 급수는 원래 함수와 닮아가지만, 수렴구간(정의역) [math(|x|<1)]외에서는 갑자기 원래 함수의 형태와 동떨어진 형태를 보인다.
아래 자연로그와 역탄젠트 함수의 무한급수를 구할 때 활용할 수 있다.
저 [math(|x|<1)] 조건을 두지 않고 값을 구하는 것이 이른바 라마누잔합이다.
구하고자 하는 무한급수의 계수를 미지수로 놓는다.
이 이항급수의 테일러 급수는 과학, 공학 분야에서 상당히 많이 쓰이는 편이다. 주로 [math(x\ll1)] 일 때 [math(n=1)] 항까지 취해 [math(\left(1+x\right)^\alpha \approx 1 + \alpha x)]로 근사하는 경우가 많은데, [math(x\ll1)] 이면 [math(x^2)] 부터는 값이 아주 작아지기 때문이다.
두 함수 모두 복소평면 전체에서 수렴한다.
사인과 코사인의 [math(n)]계도함수는 일반적으로 다음과 같다.
에서 양변을 [math(x)]로 나누면
[math(\displaystyle \frac{\sin x}x = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots)]
이 되는데 [math(x \to 0)] 일 때 이차항부터는 모두 [math(0)]이 되어 사라진다.귀찮으면 로피탈 써도 된다.
노가다(수학) 문서에서 제시한 [math(\dfrac{\sin x}x)]를 적분해보라는 문단도 이 매클로린 급수를 적분함으로써 해결이 가능하다.
이러한 사실로부터 [math(|x| \ll 1)] 이면 [math(\sin x \approx x)]라는 근사를 얻을 수 있다. 이 근사 역시 과학, 공학 분야에서 많이 쓰이는데, 대표적으로는 진자의 운동을 기술할 때 사용한다.
[math(\tan x)], [math(\csc x)], [math(\cot x)]는 조금 다른 방식으로 정의된다. 사실 이들 함수의 테일러 급수는 삼각함수 자체의 성질에서 유도되었다기보다는 아래에서 설명할 오일러의 공식을 통해 복소평면에서 지수함수로 나타낼 수 있다는 사실에 기반하여 유도된 식[3] 이라 일반항이 복잡하고 베르누이 수열([math(B_n)])이라는 특이한 수열을 매개로 정의된다. 심지어 [math(\sec x)]는 베르누이 수열로도 간단하게 정의가 안 돼서 오일러 수열([math(E_n)])이라는 또 다른 수열을 이용하는데, 테일러 급수 말고도 거듭제곱 합의 공식에도 쓰이는 베르누이 수열과는 달리 오일러 수열은 오로지 [math(\sec x)]와 [math(\mathrm{sech}\, x)]만을 나타내기 위해 쓰인다. 각 일반항의 유도 과정은 베르누이 수열, 오일러 수열 문서 참조
[math(\cot)]의 테일러 급수는 파섹을 정의할 때 요긴하게 쓰인다.
기본적으로 미분한 결과가 이항급수의 꼴이기 때문에 역삼각함수의 미분에 대해 테일러 급수를 적용한 뒤 적분하면 된다. 이후엔 이항급수 부분을 전개해서 적절하게 정리해주면 된다.
위의 역삼각함수의 급수식을 이용하는 방법으로, [math(\arcsin 1 = \dfrac \pi2)] 및 [math(\arctan 1=\dfrac \pi4)]를 이용하는 것이다.
그러나 두 급수 모두 실제 계산에서 쓸모가 별로 없다. 저 공식을 대입해서 계산하면 수렴 속도가 매우 느리기 때문이다.[4] 아크탄젠트의 성질을 이용하여 공식을 변형할 수 있는데, 그 변형된 공식이 바로미친마친 공식(Machin-like formula)이다. 서로소인 정수 [math(a_i)], [math(b_i)]에 대해
이를 이용하면 아래와 같은 마친 공식을 이끌어낼 수 있다. 그리고 이 공식에 아크탄젠트의 무한급수를 대입하면 참값에 훨씬 빠르게 수렴함을 알 수 있다.
[math(\dfrac \pi4 = \arctan\dfrac 12 + \arctan\dfrac 13 = 4\arctan\dfrac 15 - \arctan\dfrac 1{239})]
그래프 보기
[math(f\left(x\right) = e^x)] 의 미분은 자기 자신, 즉 [math(f'\left(x\right) = e^x)]이다. 따라서 [math(f^{(n)}\left(0\right) = 1)]이 되므로,
[math(\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}\left(0\right)}{n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!}x^n)]
이 성립한다.[5]
이 식에서 [math(x=1)]을 대입해 주면 아래와 같은 식을 얻는다.
하지만 위 증명의 마지막 부분은 엄밀하지 않다. 무한개가 더해져 있을 때는 시그마의 성질이 먹히지 않을 때가 있기 때문이다. 다행히도 주어진 테일러 급수는 실수 전체에서 절대수렴하기 때문에 위와 같이 유도할 수 있다.
상술한 [math(e^x)]에 [math(x)]대신 [math(ix)]를 대입해 보자.([math(i = \sqrt{-1})])
확률, 통계나 미분방정식에서 나타나는 비초등함수의 대표적인 예로 오차함수([math(\mathrm{erf} \left(x\right))])가 있다. 비록 특수함수이지만 마찬가지로 무한급수를 펼칠 수 있고, 이에 따라 근삿값을 얻을 수 있다.
[math(y=\sinh x)], [math(y=\cosh x)]는 정의에 따라 무한급수를 도출할 수 있다.
먼저 쌍곡사인 함수는 [math(y=e^x)]의 무한급수의 홀수 번째 항들로 구성된다.
쌍곡코사인 함수는 짝수 번째 항들로 구성된다.
삼각함수 항목에서 전술한대로 [math(\tanh x)], [math(\mathrm{csch}\, x)], [math(\coth x)]는 조금 다른 방식으로 정의된다. 아래에 [math(\tanh x)]에 대한 급수식이 맨 처음에 나오지만, 식의 길이를 보면 알 수 있듯이 사실 [math(\coth x)]의 급수를 기반으로 나머지 두 식이 유도되는 관계에 있다.[6] 역시 [math(\mathrm{sech}\, x)]는 오일러 수열([math(E_n)])을 이용해서 정의된다. 각 일반항의 유도 과정은 베르누이 수열, 오일러 수열 문서 참조
로그함수의 테일러 급수는 Mercator series라고도 불린다.
아래의 식은 위보다 더 빨리 수렴하는 테일러 급수이다.
자연로그 함수는 유리함수의 적분으로 표현할 수 있다.
[math(\begin{aligned} W(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}n^{n-1}}{n!}x^n \\ &= x - x^2 + \frac32x^3 - \frac83x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \frac{54}5x^6 + \cdots\end{aligned})]
[math(\displaystyle \begin{aligned} S(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n+1} x^{4n+3}}{2^{2n+1}(2n+1)!\cdot(4n+3)} \\ C(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n} x^{4n+1}}{2^{2n}(2n)!\cdot(4n+1)} \end{aligned} )]
[math(\displaystyle \mathrm{BR}(-x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{5k}{k}\frac{(-1)^{k} x^{4k+1}}{4x+1})]
[math(\displaystyle \begin{aligned} x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }\!\!\!&= x+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2^{n-1} -1}{n-1}(x-1)^n \\ &= x+(x-1)^2+\frac{3}{2}(x-1)^3+\frac{7}{3}(x-1)^4+\cdots \end{aligned})]
1. 개요[편집]
여러 대표적인 함수의 테일러 급수를 다루는 문서이다.
아래의 예들은 [math(x_0=0)] 일 때를 다루므로 매클로린 급수이기도 하다.
2. 무한등비급수[편집]
그래프 보기
[math(n)]값이 커질수록 테일러 급수는 원래 함수와 닮아가지만, 수렴구간(정의역) [math(|x|<1)]외에서는 갑자기 원래 함수의 형태와 동떨어진 형태를 보인다.
2.1. 활용[편집]
아래 자연로그와 역탄젠트 함수의 무한급수를 구할 때 활용할 수 있다.
저 [math(|x|<1)] 조건을 두지 않고 값을 구하는 것이 이른바 라마누잔합이다.
3. 이항급수[편집]
여기서 [math(\binom\alpha n)]는 이항계수이다.
3.1. 증명[편집]
구하고자 하는 무한급수의 계수를 미지수로 놓는다.
양 변을 미분하면
위 두 식을 이용하여 미분방정식을 세울 수 있다.
여기서 [math(xy')]의 무한급수는
이므로 미분방정식에서 각 항의 계수를 견주면 점화식이 나온다.
따라서 [math(a_n=\dbinom\alpha n)]임을 알 수 있다. 참고로 [math(\alpha)]는 복소수 범위로 확장해도 성립하는 성질[1][2] 이며 위의 무한등비급수는 이항급수에서 [math(\alpha=-1)], [math(x=-t)]에 해당하는 경우로 생각할 수 있다.
3.2. 활용[편집]
이 이항급수의 테일러 급수는 과학, 공학 분야에서 상당히 많이 쓰이는 편이다. 주로 [math(x\ll1)] 일 때 [math(n=1)] 항까지 취해 [math(\left(1+x\right)^\alpha \approx 1 + \alpha x)]로 근사하는 경우가 많은데, [math(x\ll1)] 이면 [math(x^2)] 부터는 값이 아주 작아지기 때문이다.
4. 삼각함수[편집]
4.1. sin 함수, cos 함수[편집]
그래프 보기
그래프 보기
두 함수 모두 복소평면 전체에서 수렴한다.
4.1.1. 증명[편집]
사인과 코사인의 [math(n)]계도함수는 일반적으로 다음과 같다.
- [math(\left( \sin x \right)^{(n)} = \sin \left(x+\dfrac{n\pi}2\right))]
- [math(\left( \cos x \right)^{(n)} = \cos \left(x+\dfrac{n\pi}2\right))]
4.1.2. 극한값[편집]
[math(\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots)]
에서 양변을 [math(x)]로 나누면
[math(\displaystyle \frac{\sin x}x = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots)]
이 되는데 [math(x \to 0)] 일 때 이차항부터는 모두 [math(0)]이 되어 사라진다.
노가다(수학) 문서에서 제시한 [math(\dfrac{\sin x}x)]를 적분해보라는 문단도 이 매클로린 급수를 적분함으로써 해결이 가능하다.
이러한 사실로부터 [math(|x| \ll 1)] 이면 [math(\sin x \approx x)]라는 근사를 얻을 수 있다. 이 근사 역시 과학, 공학 분야에서 많이 쓰이는데, 대표적으로는 진자의 운동을 기술할 때 사용한다.
4.2. 나머지 함수들[편집]
[math(\tan x)], [math(\csc x)], [math(\cot x)]는 조금 다른 방식으로 정의된다. 사실 이들 함수의 테일러 급수는 삼각함수 자체의 성질에서 유도되었다기보다는 아래에서 설명할 오일러의 공식을 통해 복소평면에서 지수함수로 나타낼 수 있다는 사실에 기반하여 유도된 식[3] 이라 일반항이 복잡하고 베르누이 수열([math(B_n)])이라는 특이한 수열을 매개로 정의된다. 심지어 [math(\sec x)]는 베르누이 수열로도 간단하게 정의가 안 돼서 오일러 수열([math(E_n)])이라는 또 다른 수열을 이용하는데, 테일러 급수 말고도 거듭제곱 합의 공식에도 쓰이는 베르누이 수열과는 달리 오일러 수열은 오로지 [math(\sec x)]와 [math(\mathrm{sech}\, x)]만을 나타내기 위해 쓰인다. 각 일반항의 유도 과정은 베르누이 수열, 오일러 수열 문서 참조
[math(\cot)]의 테일러 급수는 파섹을 정의할 때 요긴하게 쓰인다.
4.2.1. 다른 식[편집]
네 함수는 주기를 갖는 특이점이 있기 때문에 미타그레플레르 정리를 이용해 베르누이 수열, 오일러 수열 없이도 무한급수를 정의할 수 있다.
5. 역삼각함수[편집]
[math(!!)]은 이중계승 기호로 [math(2)]씩 빼서 곱하라는 뜻이다. 즉 [math((2n)!! = 2n \cdot \left( 2n-2 \right) \cdot \left( 2n-4 \right) \cdots\cdots 4 \cdot 2)]이다.
그래프 보기
5.1. 증명[편집]
기본적으로 미분한 결과가 이항급수의 꼴이기 때문에 역삼각함수의 미분에 대해 테일러 급수를 적용한 뒤 적분하면 된다. 이후엔 이항급수 부분을 전개해서 적절하게 정리해주면 된다.
5.1.1. 원주율 구하기[편집]
위의 역삼각함수의 급수식을 이용하는 방법으로, [math(\arcsin 1 = \dfrac \pi2)] 및 [math(\arctan 1=\dfrac \pi4)]를 이용하는 것이다.
또는
그러나 두 급수 모두 실제 계산에서 쓸모가 별로 없다. 저 공식을 대입해서 계산하면 수렴 속도가 매우 느리기 때문이다.[4] 아크탄젠트의 성질을 이용하여 공식을 변형할 수 있는데, 그 변형된 공식이 바로
(단, 위 값이 [math(\dfrac \pi2)]보다 작아야 성립)
이를 이용하면 아래와 같은 마친 공식을 이끌어낼 수 있다. 그리고 이 공식에 아크탄젠트의 무한급수를 대입하면 참값에 훨씬 빠르게 수렴함을 알 수 있다.
[math(\dfrac \pi4 = \arctan\dfrac 12 + \arctan\dfrac 13 = 4\arctan\dfrac 15 - \arctan\dfrac 1{239})]
6. 지수함수[편집]
복소평면 전체에서 수렴한다.
그래프 보기
6.1. 증명[편집]
[math(f\left(x\right) = e^x)] 의 미분은 자기 자신, 즉 [math(f'\left(x\right) = e^x)]이다. 따라서 [math(f^{(n)}\left(0\right) = 1)]이 되므로,
[math(\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}\left(0\right)}{n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!}x^n)]
이 성립한다.[5]
6.2. 응용[편집]
6.2.1. 자연로그의 밑 구하기[편집]
이 식에서 [math(x=1)]을 대입해 주면 아래와 같은 식을 얻는다.
이를 계산하면 [math(e)]의 값을 구할 수 있다. [math(n=4)]까지만 계산해 주어도 [math(\dfrac{65}{24} = 2.708333\cdots\cdots)]가 되어 참값 [math(2.7182818284\cdots\cdots)]와의 오차가 약 [math(0.37\%)]밖에 나지 않는다. 컴퓨터를 이용해 죽 계산해주면 금방 어마어마한 자리수의 근삿값을 구할 수 있다. 참고로 위 식은 극한으로 정의된 식에 대해 이항급수를 적용해서 유도할 수도 있다.
하지만 위 증명의 마지막 부분은 엄밀하지 않다. 무한개가 더해져 있을 때는 시그마의 성질이 먹히지 않을 때가 있기 때문이다. 다행히도 주어진 테일러 급수는 실수 전체에서 절대수렴하기 때문에 위와 같이 유도할 수 있다.
6.2.2. 오일러의 공식 증명하기[편집]
상술한 [math(e^x)]에 [math(x)]대신 [math(ix)]를 대입해 보자.([math(i = \sqrt{-1})])
[math(i^2 = -1)], [math(i^3 = -i)], [math(i^4 = 1)]이므로,
따라서 아래 식을 보일 수 있다.
6.2.3. 오차함수(error function)의 무한급수[편집]
확률, 통계나 미분방정식에서 나타나는 비초등함수의 대표적인 예로 오차함수([math(\mathrm{erf} \left(x\right))])가 있다. 비록 특수함수이지만 마찬가지로 무한급수를 펼칠 수 있고, 이에 따라 근삿값을 얻을 수 있다.
피적분함수를 무한급수로 전개할 수 있다.
따라서 오차함수의 무한급수는 아래와 같다.
정규분포표를 구할 때 쓰는 오차함수도 다음과 같이 쉽게 나타낼 수 있다.
7. 쌍곡선함수[편집]
7.1. sinh 함수, cosh 함수[편집]
[math(y=\sinh x)], [math(y=\cosh x)]는 정의에 따라 무한급수를 도출할 수 있다.
먼저 쌍곡사인 함수는 [math(y=e^x)]의 무한급수의 홀수 번째 항들로 구성된다.
쌍곡코사인 함수는 짝수 번째 항들로 구성된다.
7.2. 나머지 함수들[편집]
삼각함수 항목에서 전술한대로 [math(\tanh x)], [math(\mathrm{csch}\, x)], [math(\coth x)]는 조금 다른 방식으로 정의된다. 아래에 [math(\tanh x)]에 대한 급수식이 맨 처음에 나오지만, 식의 길이를 보면 알 수 있듯이 사실 [math(\coth x)]의 급수를 기반으로 나머지 두 식이 유도되는 관계에 있다.[6] 역시 [math(\mathrm{sech}\, x)]는 오일러 수열([math(E_n)])을 이용해서 정의된다. 각 일반항의 유도 과정은 베르누이 수열, 오일러 수열 문서 참조
8. 로그함수[편집]
로그함수의 테일러 급수는 Mercator series라고도 불린다.
그래프 보기 x > 1일 때는 로그의 원리를 이용하여 [math(- \ln \frac{1}x)]를 구하면 된다.
아래의 식은 위보다 더 빨리 수렴하는 테일러 급수이다.
8.1. 증명[편집]
자연로그 함수는 유리함수의 적분으로 표현할 수 있다.
피적분함수를 무한등비급수로 전개하면
따라서 이 무한급수를 적분하면 자연로그의 무한급수를 도출할 수 있다.
9. 람베르트 W 함수[편집]
[math(\begin{aligned} W(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}n^{n-1}}{n!}x^n \\ &= x - x^2 + \frac32x^3 - \frac83x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \frac{54}5x^6 + \cdots\end{aligned})]
10. 프레넬 적분 함수[편집]
[math(\displaystyle \begin{aligned} S(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n+1} x^{4n+3}}{2^{2n+1}(2n+1)!\cdot(4n+3)} \\ C(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n} x^{4n+1}}{2^{2n}(2n)!\cdot(4n+1)} \end{aligned} )]
11. 브링 근호[편집]
[math(\displaystyle \mathrm{BR}(-x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{5k}{k}\frac{(-1)^{k} x^{4k+1}}{4x+1})]
12. 타원 적분[편집]
- [math(\displaystyle K(k) =\frac{\pi}{2} \left[1+ \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2}{k^{2n}} \right]\\ =\frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}} \right ]^{2}k^{2n})]
- [math(\displaystyle E(k) =\frac{\pi}{2} \left[1- \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2} \frac{k^{2n}}{2n-1} \right] )]
13. 무한 지수 탑 함수[편집]
[math(\displaystyle \begin{aligned} x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }\!\!\!&= x+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2^{n-1} -1}{n-1}(x-1)^n \\ &= x+(x-1)^2+\frac{3}{2}(x-1)^3+\frac{7}{3}(x-1)^4+\cdots \end{aligned})]
[1] 이때 팩토리얼 기호가 자연수에 한해서 정의된다는 성질 때문에 조합 기호는 [math(\displaystyle \binom\alpha n = \frac 1{n!} \prod_{i=0}^{n-1} \left(\alpha -i \right))]로 재정의된다.[2] 복소수를 받을 수 있는 감마 함수를 쓰면 되지 않나? 싶지만 감마 함수는 정의 자체가 어렵게 되어 있어서 여기다 쓰기엔 배보다 배꼽이 더 크다.[3] 즉, 쌍곡선 함수와 삼각함수가 복소수를 통해 매개된다는 사실을 바탕으로, 쌍곡선 함수 [math(\coth x)], [math(\tanh x)], [math(\mathrm{csch}\, x)]의 테일러 급수를 먼저 구하고 [math(x)]에 복소수 [math(ix)]를 대입하여 얻어진 식이다.[4] 특히 아크탄젠트는 어느정도냐 하면 십만개의 항까지 계산해야 [math(3.1415\mathbf{8}\cdots\cdots)]이 된다.[5] 사실 이건 테일러 급수 중 [math(a=0)]인 특수한 케이스(매클로린 급수)를 이용한 것이다.[6] 애초에 식에 포함되는 베르누이 수열이 [math(\coth x)]를 이용해서 정의된다.