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후르비츠 제타 함수

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* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.



1. 개요
2. 성질
3. 특수한 값

파일:후르비츠제타.png
복소평면에 나타낸 [math(a=1/3)]일 때 후르비츠 제타 함수의 그래프


1. 개요[편집]

Hurwitz zeta function

후르비츠 제타 함수는 제타 함수의 일반화 중 하나로, 1882년 독일의 수학자 아돌프 후르비츠(Adolf Hurwitz)가 제안하였다. 이 함수는 [math(\textrm{Re}(s)> 1)]에서 다음과 같이 정의된다.

분류


[math(\displaystyle
\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac1{(n+a)^s}
)]

이 함수는 절대수렴하며, [math(s=1)]를 제외한 부분에서 유리형 함수로 해석적 확장을 할 수 있다.


2. 성질[편집]

[math({\rm Re}(s)> 1)]이고 [math({\rm Re}(a)> 0)]일 때 다음이 성립한다.

분류


[math(\displaystyle
\zeta(s,a) = \frac1{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}} \,{\rm d}x
)]

유도 방법은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \zeta(s,a) \,\Gamma(s) &= \sum_{n=0}^\infty \frac1{(n+a)^s} \int_0^\infty x^s e^{-x} \frac{{\rm d}x}x = \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty y^s e^{-(n+a)y} \frac{{\rm d}y}y \\ &= \int_0^\infty \sum_{n=0}^\infty y^s e^{-(n+a)y} \frac{{\rm d}y}y = \int_0^\infty \frac{x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}} \,{\rm d}x \\ \therefore \zeta(s,a) &= \frac1{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}} \,{\rm d}x \end{aligned} )]

위의 적분식에 복소선적분을 사용하면 다음과 같이 해석적 확장을 할 수 있다.

분류


[math(\displaystyle
\zeta(s,a) = -\Gamma(1-s) \frac1{2\pi i} \int_C \frac{(-z)^{s-1}e^{-az}}{1-e^{-x}} \,{\rm d}z
)]

여기서 적분 경로 [math(C)]는 한켈 경로[1]이다. 또한 [math(s=1)]에서 단순극을 가지고 그 유수는 1이다.

리만 제타함수와 마찬가지로 후르비츠 제타함수에도 함수 방정식이 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \zeta(1-s,a) = \frac{\Gamma(s)}{(2\pi)^s} \Biggl( e^{-\pi is/2} \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2\pi ina}}{n^s} +e^{\pi is/2} \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-2\pi ina}}{n^s} \Biggr) \end{aligned} )]
이 식은 [math(\textrm{Re}(s)>1)]이고 [math(0<a\leq 1)]일 때 성립한다. [math(a)]가 유리수일 때는 추가로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \zeta \biggl( 1-s, \frac mn \biggr) = \frac{2\Gamma(s)}{(2\pi n)^s} \sum_{k=1}^n \biggl[ \cos \biggl( \frac{\pi s}2 -\frac{2\pi km}n \biggr) \zeta \biggl( s, \frac kn \biggr) \biggr] \end{aligned} )]

또한, 후르비츠 제타함수는 다음 급수로 표현될 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \zeta(s,a) = \frac1{s-1} \sum_{n=0}^\infty \frac1{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom nk (a+k)^{1-s} \end{aligned} )]
또한, 후르비츠 제타함수는 다음을 모두 만족시킨다.

분류


[math(\displaystyle \begin{cases} \begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial a} \zeta(s,a) &= -s \,\zeta(s+1,a) \\
\biggl. \frac{\partial}{\partial s} \zeta(s,a) \biggr|_{s=0} &= \log \Gamma(a) -\frac12 \log{2\pi}
\end{aligned} \end{cases} )]
[1] 복소평면에서 [math(+\infty)]에서 양의 실수축을 따라 원점에서 반시계 방향으로 돌아 다시 [math(+\infty)]까지 양의 실수축을 따라가는 경로

또한, 감마함수와 관련하여 다음을 만족시킨다.

분류


[math(\displaystyle
\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1} m! \cdot \zeta(m+1,z)
)]



3. 특수한 값[편집]

[math(n = 0, -1, -2, \cdots)]일 때 다음이 성립한다.

분류


[math(\displaystyle
\zeta(-n,a) = -\frac{B_{n+1}(a)}{n+1}
)]

여기서 [math(B)]는 베르누이 다항식이다.

관련 문서