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카탈랑 상수
덤프버전 :
수학상수 Mathematical Constants | |||||||||||||||||||||||||||||
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1. 개요[편집]
Catalan's constant
카탈랑 상수는 벨기에의 수학자 외젠 샤를 카탈랑에 의해 정의된 상수로, 조합론에서 쓰인다. 아래와 같은 식으로 정의된다.
\end{aligned} )] |
유리수인지 아닌지를 판별하는 함수.
카탈랑 상수는 디리클레 베타 함수 [math(\displaystyle \beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s})]에서 [math(s=2)]인 경우이다. 참고로, 디리클레 베타 함수는 리만 제타 함수와 관련이 있고, 결국 리만 가설로 연결된다.
2. 관련 적분[편집]
- [math(\displaystyle \int_0^1 \frac{\arctan{x}}x \,{\rm d}x = G)], [math(\displaystyle \quad \int_1^\infty \frac{\operatorname{arccot}x}x \,{\rm d}x = G)]
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- [math(\displaystyle \int_{-\infty}^0 \arctan{e^x} \,{\rm d}x = G)], [math(\displaystyle \quad \int_0^\infty \operatorname{arccot}e^x \,{\rm d}x = G)]
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- [math(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac x{\sin x} \,{\rm d}x = 2G)]
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- [math(\displaystyle \int_0^{1/2} \Gamma(1+x)\Gamma(1-x) \,{\rm d}x = \frac{2G}\pi \quad)] (단, [math(\Gamma(x))]는 감마 함수)
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- [math(\displaystyle \int_0^1 K(k) \,{\rm d}k = 2G)], [math(\displaystyle \quad \int_0^1 E(k) \,{\rm d}k = G+\frac12 \quad)] (단, [math(K(k))], [math(E(k))]는 각각 완전 제1, 2종 타원 적분)
- [math(\displaystyle \int_1^\infty \frac{\ln x}{1+x^2} \,{\rm d}x = G)], [math(\displaystyle \quad \int_0^1 \frac{\ln x}{1+x^2} \,{\rm d}x = -G)]
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- [math(\displaystyle \int_0^{\pi/4} \ln{\tan x} \,{\rm d}x = -G)], [math(\displaystyle \quad \int_0^{\pi/4} \ln{\operatorname{cot}x} \,{\rm d}x = G)]
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- [math(\displaystyle \iint_{[0,1]^2} \frac1{1+x^2y^2} \,{\rm d}x\,{\rm d}y = G)]
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3. 값[편집]
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4. 관련 문서[편집]
[1] 유리수인지 아닌지를 판별하는 함수.