이곳은 개발을 위한 베타 사이트 입니다.
기여내역은 언제든 초기화될 수 있으며, 예기치 못한 오류가 발생할 수 있습니다.
기여내역은 언제든 초기화될 수 있으며, 예기치 못한 오류가 발생할 수 있습니다.
곱미분
덤프버전 :
1. 개요[편집]
곱미분(곱의 미분법[1] , Product rule)은 두 실함수 [math( f(x) )]와 [math( g(x) )]의 곱의 형태(원래 이것 자체를 '곱'이라고 함)를 가진 함수 [math( \displaystyle f(x) g(x) )]의 도함수를 구하는 공식이다.
2. 증명[편집]
미분계수의 정의에 의하여 함수 [math( \displaystyle F(x) = f(x)g(x))]의 도함수를 구해 보자.
분자에 [math(f(x)g(x+h))]를 빼고 더하면,
두 함수 [math(f(x))], [math(g(x))] 모두 좌미분계수만 존재하거나, 우미분계수만 존재한다고 하더라도, 위의 증명에서 [math(h \to 0)]을 [math(h \to 0^{+})] 또는 [math(h \to 0^{-})]로 바꾸어도 증명에 무리가 없으므로, 좌미분계수, 우미분계수에 대해서도 곱의 미분법이 성립한다.
2.1. 세 가지 식이 곱해져 있는 경우[편집]
세 함수 [math(f(x))], [math(g(x))], [math(h(x))]가 곱해진 함수 [math(f(x)g(x)h(x))]의 도함수는 위의 결과를 참조해보면, 아래와 같음을 알 수 있다.
3. 일반화[편집]
아래의 두 일반화 모두 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.
3.1. 여러 함수의 곱의 미분[편집]
[math(n)]개의 함수 [math(f_{1}(x), \, \cdots, \, f_{n}(x))]가 모두 미분가능할 때 다음이 성립한다.
3.2. 두 함수의 곱의 여러 번 미분[편집]
[math(n)]번 미분가능한 함수 [math(f(x))], [math(g(x))]에 대하여
이 성립하는데, 이를 라이프니츠 법칙(Leibniz rule)이라고 한다. 위에서 [math(\binom{n}{r})]는 조합이고, [math(f^{(n)})]은 [math(f(x))]의 [math(n)]계 미분이며 [math(f^{(0)}=f(x))]이다. 이는 보다시피 이항정리와 형태가 매우 유사하다.
증명 [펼치기·접기]
수학적 귀납법으로 증명하자. 증명하고자 하는 명제를 [math(P(n))]이라 하면 [math(P(1))]은 다음과 같다.[math((fg)'=f'g+fg')]
이며 이는 참이다. 이제 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(P(n))]이 참이면 [math(P(n+1))]도 참임을 증명하자. 즉,[math((fg)^{(n)}=\displaystyle\sum_{r=0}^n {{n}\choose{r}} f^{(n-r)}g^{(r)})]
이 참임을 가정한 채 양변을 미분해 보자.[math(\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\displaystyle\sum_{r=0}^n{{n}\choose{r}}f^{(n-r)}g^{(r)}\right]'\\&=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}f^{(n+1-r)}g^{(r)}+\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}f^{(n-r)}g^{(r+1)}\\&=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}f^{(n+1-r)}g^{(r)}+\sum_{r=1}^{n+1}\binom{n}{r-1}f^{(n+1-r)}g^{(r)}\\&=\binom{n}{0}f^{(n+1)}g+\sum_{r=1}^{n}\binom{n}{r}f^{(n+1-r)}g^{(r)}+\sum_{r=1}^n\binom{n}{r-1}f^{(n+1-r)}g^{(r)}+\binom{n}{n} fg^{(n+1)}\\&=\binom{n+1}{0} f^{(n+1)}g+\left(\sum_{r=1}^n\left[\binom{n}{r-1}+\binom{n}{r} \right]f^{(n+1-r)} g^{(r)} \right)+\binom{n+1}{n+1}fg^{(n+1)}\\&=\binom{n+1}{0} f^{(n+1)}g+\sum_{r=1}^n \binom{n+1}{r}f^{(n+1-r)}g^{(r)}+\binom{n+1}{n+1}fg^{(n+1)}\\&=\sum_{r=0}^{n+1}\binom{n+1}{r}f^{(n+1-r)}g^{(r)}\end{aligned})]
이 결과는 [math(P(n+1))] 그 자체이므로 모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(P(n))]이 증명되었다.
3.3. 여러 함수의 곱의 여러 번 미분[편집]
[math(n)]번 미분가능한 [math(m)]개의 함수 [math(f_1,\,\cdots,\,f_n)]이라 하면
[math(\left(f_1 f_2 \cdots f_m\right)^{(n)}=\displaystyle\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}\prod_{1\le t\le m}f_{t}^{(k_{t})})]
[1] 고교 교육과정 상에서는 이 용어로 배운다.
이는 보다시피 다항정리와 형태가 매우 유사하다. 이것을 함수 2개로 일반화한 것이 일반 라이프니츠 규칙이다.
4. 삼각함수의 곱미분[편집]
곱미분 [math(F(x) = f(x)g(x) )]이고 [math(F'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) )]
한편 [math(f(x) = g(x) )]로 놓으면 [math(F'(x) = g'(x)g(x) + g(x)g'(x) = 2g(x)g'(x))]
따라서 [math( \left( g(x)^n \right)' = n g(x)^{n-1} g'(x) )]를 조사할수있다.
따라서 [math( \left( sin(x)^n \right)' = n sin(x)^{n-1} sin'(x) )]
4.1. 삼각함수의 미분 예[편집]
사인(sin)함수 제곱을 미분하면
[math( \left( sin(x)^2 \right)' = sin^2(x) ' = 2 sin(x) sin'(x))]이고
사인(sin)함수를 미분하면
[math( sin'(x) = cos(x) )]이므로
[math( \left( sin(x)^2 \right)' = 2 sin(x) sin'(x)=2 sin(x)cos(x))]이다.
5. 기타[편집]
- 부분적분은 이 곱미분의 성질에서 파생되었다.
5.1. 고등학교 교육과정[편집]
- 6차 교육과정: 수학Ⅰ
- 7차 교육과정: 수학Ⅱ
- 2007 개정 교육과정: 미적분과 통계 기본 · 수학Ⅱ
- 2009 개정 교육과정: 미적분Ⅰ
- 2015 개정 교육과정: 수학Ⅱ
- 일차 다항식의 곱으로만 이루어진 다항함수의 미분계수를 구하는 공식도 곱미분으로 유도된다. 다항함수/공식 참고.