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다항함수/공식
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상위 문서: 다항함수
관련 문서: 다항함수/추론
이미 다항함수의 차수나 그래프의 개형이 알려져 있을 때 적용할 수 있는 공식을 소개하는 문서이다. 경우에 따라 적용할 수 있는 공식이 다르다. 길이 공식이 가장 기본이 되며, 이를 토대로 넓이 공식, 나아가 기울기 공식 등을 깊게 다룰 수 있으므로 길이와 넓이 공식을 먼저 숙지할 것을 권한다.
해당 내용에 대한 대수학적·해석기하학적 증명 그리고 평가원, 교육청, EBS, 각종 대학별 고사 등의 주요 대학 입시 관련 기출 문제를 실었다.
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다항함수의 그래프 위의 주요 점들을 지나는 직선의 기울기를 여러 공식으로 편리하게 구할 수 있다.
파일:이차함수 기울기 3 수정.png
이차함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 서로 다른 임의의 세 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\beta,\,f(\beta)))], [math((\gamma,\,f(\gamma)))]에 대하여 다음이 성립한다.
곧, 이차함수의 그래프 위의 세 점의 [math(x)]좌표가 등차수열을 이루면, 세 점에서의 접선의 기울기 역시 등차수열을 이루며, 역도 성립한다. 이는 이차함수의 도함수가 일차함수이기 때문인데, 등차수열을 이루는 세 수를 임의의 일차식에 대입하면 그 값들 역시 등차수열을 이룰 수밖에 없는 것이다.
또한, 위에서 간접적으로 밝혔듯이 두 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\gamma,\,f(\gamma)))]를 이은 선분의 기울기는 두 점의 평균점에서의 접선의 기울기와 같다. 곧, 다음이 성립한다.
다시 말해서, 이차함수의 그래프에 대하여 임의의 닫힌 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 점은 해당 구간의 정중앙에 존재한다. 한편, 만약 위 그림처럼 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]가 등차수열을 이루면 [math(f'(\beta))]와도 값이 같음은 물론이다. 따라서 이차함수 [math(f(x))]에 대하여
이면 [math(\boldsymbol\alpha)], [math(\boldsymbol\beta)], [math(\boldsymbol\gamma)]는 등차수열을 이룬다.
특히, 위 그림의 [math(\rm{(b)})]와 같이 두 접점의 [math(y)]좌표가 같으면 [math(m=0)]이 되고 이차함수의 그래프의 대칭성 때문에 두 접선의 기울기의 합 역시 [math(0)]이 되므로 마찬가지의 사실이 성립한다.
파일:이차함수 기울기 2 재재수정.png
또한, 위 그림처럼 [math(f'(\alpha))]와 [math(f'(\beta))] 중 어느 하나가 [math(0)]이면 다른 하나는 [math(m)]의 두 배이다. 곧, 다음이 성립한다.
파일:이차함수 기울기 재재수정.png
특히, 위 그림의 [math(\rm{(a)})]와 같이, 이차함수 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]의 그래프 위의 서로 다른 두 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\beta,\,f(\beta)))]를 지나는 직선 [math(y=mx+n)]에 대하여 다음이 성립한다.
곧, 이차함수의 그래프 위의 서로 다른 임의의 두 점에 대하여, 이 두 점을 이은 직선의 기울기는 각 점에서의 접선의 기울기의 평균과 같으며, 그 값은 [math(a(\alpha+\beta)+b)]이다. 이는 바로 위에서 설명한 평균값 정리에 관한 이차함수의 성질과 사실상 같은 의미이다.
또한, 이차함수의 그래프는 원뿔곡선의 일종으로서 포물선에 해당하므로 준선에 관한 성질이 그대로 적용되기도 한다. 포물선 참고.
파일:삼차함수 기울기 4 수정.png
위 그림의 [math((\rm a))]와 같이, 최고차항의 계수가 [math(a)]인 삼차함수 [math(f(x))]와 상수함수 [math(y=k)]의 그래프의 교점을 왼쪽부터 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)]라 하고 각각의 [math(x)]좌표를 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하면 다음이 성립한다.
즉, 각 교점에서의 [math(f(x))]에 대한 접선의 기울기 또는 기울기끼리의 비는 교점들을 이은 선분의 길이로 나타낼 수 있다.
특히, 위 그림의 [math((\rm b))]와 같이, 점 [math((\beta,\,f(\beta)))]가 곡선 [math(f(x))]의 변곡점이면 [math(\gamma-\beta=\beta-\alpha)]이므로 [math(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC})]이다. 따라서 다음이 성립한다.
이와 같이 접선의 기울기가 교점을 이은 선분의 길이에 의존하므로, 다음과 같이 선분의 길이의 대소를 통해 접선의 기울기의 대소를 판별할 수 있다.
파일:삼차함수 기울기_수정.png
위 그림과 같이 극값이 두 개인 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프에서, 두 극점을 지나는 직선을 [math({\color{dc4343}y=g_1(x)})], 변곡점의 접선을 [math({\color{#36BF72}y=g_2(x)})]라 하자. 각 직선의 기울기를 순서대로 [math({\color{dc4343}g_1})], [math({\color{#36BF72}g_2})]라 하면 다음이 성립한다.
파일:삼차함수 기울기 5.png
위 그림과 같이 극값이 두 개인 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프의 변곡점을 지나도록 [math(y)]축에 수직인 직선을 그을 때, 세 교점의 [math(x)]좌표를 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하면 다음이 성립한다.
파일:여러 차수_영점에서의 기울기.jpg
위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 다항함수 [math(f(x))]의 그래프와 [math(y)]축에 수직인 직선 [math(y=t)]가
에서 접점이 아닌[1] 서로 다른 [math(n)]개의 교점을 가지며 이외의 점에서는 교점이 발생하지 않는다고 하자. 그러면
이며, 이때 [math(x=x_i)]에서의 접선의 기울기는 다음과 같다.
다시 말해서, [math(\boldsymbol{f(x)})]에서 상수항과 [math(\boldsymbol{(x-x_i)})]를 지운 뒤 [math(\boldsymbol{x=x_i})]를 대입한 값이다. 예를 들어 다음과 같이 구하면 된다.
이는 다름이 아니라 바로 위 문단에서 설명한 삼차함수 공식의 일반화이다. 다만 사차함수부터는 교점이 너무 많아지므로 접선의 기울기를 교점끼리의 거리로 해석하여 설명하기에는 지나치게 복잡해지므로 삼차함수만을 그런 방식으로 설명한 것이다.
또한 이 공식을 적용할 때는 반드시 함수를 먼저
의 꼴로 고쳐야 한다. 그 다음에야 [math(f'(x_i))]의 값을 구할 때 [math((x-x_i))]를 지운 채 [math(x=x_i)]를 대입할 수 있는 것이다. 예를 들어
에서 [math(f'(3/2))]의 값을 다음과 같이 구하면 안 된다.
올바르게 공식을 적용하는 방법은 다음과 같다.
의 우변에 있는 [math(2)]에서 비롯된 것이다. 마찬가지 이유로 위에서 설명한 잘못된 방법과 올바른 방법으로 [math(f'(4/3))] 및 [math(f'(5/4))]의 값을 구하면 각각 [math(3)]배, [math(4)]배 차이가 나게 된다.
잘못된 방법으로 값을 구하게 되면
와 같이 [math(f(x))]가 [math(100)]배가 되었는데도 [math(f'(3/2))]의 값을 똑같이 [math(1/2)]로 구하게 되는 것만 보더라도 이 방법은 수학적으로 말이 되지 않는다. 이 경우에는 올바른 방식으로 값을 구하면 [math(1/2)]의 [math(200)]배인 [math(100)]이 나오게 된다.
물론 공식을 적용할 때 지우는 항의 일차항의 계수가 [math(1)]이기만 하면 다른 항은 굳이 조작하지 않아도 된다. 예를 들어
일 때 [math(f'(1))]의 값을 구할 때는 바로
과 같이 구해도 무방하며, 오히려 이쪽이 계산이 더 편할 것이다. 왜냐하면 [math(f(x))]를
로 고친 다음
과 같이 구하는 것과 다를 것이 없기 때문이다. 그러나 이때에도 [math(f'(3/2))] 및 [math(f'(4/3))]의 값을 구할 때는 앞서 밝힌 대로 식을 고치지 않은 채 공식을 적용하려 하면 올바른 값과 각각 [math(2)]배, [math(3)]배의 차이가 나게 된다.
[math(n\geq2)]이고 [math(i<j\,\Leftrightarrow\,x_i<x_j)]인 [math(n)]차 다항함수
에 대하여 다음이 성립한다.
다시 말해서, 두 개 이상의 단일 실근만을 근으로 갖는 다항방정식 [math(f(x)=0)]에 대하여, 각 근에서의 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 미분계수의 역수의 합은 항상 [math(\boldsymbol0)]이다.
[math(n\geq2)]인 경우로 한정하는 이유를 알아보자. [math(n=1)]이면 [math(f(x))]는 일차함수이므로 [math(f(x)=ax+b)]로 쓸 수 있다. 이 경우 [math(f(x)=0)]의 근은 [math(x=-b/a)]뿐이며 이때의 미분계수는 당연히 [math(a)]이다. 따라서 미분계수의 역수의 합은 [math(1/a)]로, [math(0)]이 될 수 없다.
파일:다항함수 미분계수 역수의 합.png
나아가 위 그림에서 바로 알 수 있듯이 [math(f(x))]의 각 영점에서의 미분계수는 왼쪽부터 차례대로 양수와 음수가 번갈아 나오는데, 이 점을 이용하면 다음과 같은 결론을 추가로 도출할 수 있다.
다시 말해서, 왼쪽부터 홀수 번째 그리고 짝수 번째 영점들의 미분계수의 합은 서로 반수 관계를 이룬다.
관련 문서: 대수학의 기본정리
다항함수의 그래프 위의 주요 점들을 지나는 그래프의 방정식을 여러 공식으로 편리하게 구할 수 있다.
보통 아래의 꼴로 정리한 뒤 대각화를 통해 영점(해)을 빠르게 구할 수 있다.
[math(y = {{\bf x}^t \boldsymbol{\mathsf{A}} {\bf x}} + {{\bf b}^t {\bf x}}+c \quad ({\boldsymbol{\mathsf{A}} ^t} {\boldsymbol{\mathsf{A}} } \neq 0))]
파일:삼차함수방정식1.png
삼차함수 [math(f(x))]가 극값을 두 개 가질 때
라 하여 [math(f(x))]를 도함수 [math(f'(x))]로 나눈 몫을 [math(Q(x))], 나머지를 [math(R(x))]라 하면
는 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 두 극점을 지나는 직선의 방정식이다.
파일:삼차함수방정식2.png
또한, 위 그림과 같이 기하학적으로 [math(f(x))]와 [math(R(x))]는 최고차항의 계수의 부호가 서로 반대일 수밖에 없다.
위 사실을 이용하여 다음을 증명할 수 있다.
귀류법을 이용한다. 삼차함수의 그래프의 특성상 삼차방정식 [math(f(x)=0)]은 실근을 적어도 한 개 갖는다. 따라서 위 명제를 부정하면 [math(f(x)=0)]의 실근이 두 개 혹은 세 개라고 가정할 수 있다. 그런데 실근을 두 개 이상 가지려면 [math(f(x))]는 무조건 극값 두 개를 가져야 하며, 일대일대응이어서는 안 된다. 이때, 앞서 밝혔듯이 삼차함수의 그래프의 두 극점은 무조건 [math(y)]좌표가 다르므로 두 극점을 지나는 직선의 기울기는 0이 될 수 없다. 곧, 직선의 방정식은 상수가 아닌 일차식이어야 하므로 모순이다. 따라서 [math(f(x))]를 도함수 [math(f'(x))]로 나눈 나머지가 상수이면 방정식 [math(f(x)=0)]의 실근은 한 개여야만 한다.
그래프의 기하학적 개형을 고려하지 않고 대수적인 방식으로만 증명할 수도 있다.
파일:사차함수방정식.png
사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 극점을 세 개 가질 때
라 하여 [math(f(x))]를 도함수 [math(f'(x))]로 나눈 몫을 [math(Q(x))], 나머지를 [math(R(x))]라 하면
는 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 세 극점을 지나는 포물선의 방정식이다.
파일:사차함수방정식4.png
또한, 위 그림과 같이 기하학적으로 [math(f(x))]와 [math(R(x))]는 최고차항의 계수의 부호가 서로 반대일 수밖에 없다.
파일:사차함수방정식2.png
사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 변곡점을 두 개 가질 때
라 하여 [math(f(x))]를 이계도함수 [math(f''(x))]로 나눈 몫을 [math(Q(x))], 나머지를 [math(R(x))]라 하면
는 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 두 변곡점을 지나는 직선의 방정식이다.
파일:사차함수방정식3.png
주의할 점은 앞서 살펴본 삼차함수의 그래프의 두 극점을 지나는 직선의 방정식과는 달리 [math(R(x))]의 기울기가 [math(0)]일 수 있다는 것이다. 삼차함수의 그래프의 두 극점과 달리 사차함수의 그래프의 두 변곡점은 [math(y)]좌표가 같을 수 있기 때문이다. 이 경우는 위와 같이 곡선 [math(f(x))]가 좌우 대칭이다.
파일:사차함수방정식5_수정.png
또한, 위 그림과 같이 기하학적으로 [math(f(x))]와 [math(R(x))]는 최고차항의 계수의 부호가 같을 수도 있고 다를 수도 있으며, 앞서 밝혔듯이 [math(R(x))]의 기울기는 양도 음도 아닌 [math(0)]일 수도 있다.
근과 계수의 관계(혹은 비에트의 정리)에 의하여, [math(n)]차방정식 [math(f(x)=0)]의 모든 근의 합은 [math(f(x))]의 [math(n)]차항의 계수와 [math((n-1))]차항의 계수에만 의존하므로, 이것이 동일하게 유지된다면 나머지 차수의 항들이 아무리 변하더라도 모든 근의 합은 변하지 않는다. 이러한 성질을 잘 이용하면 다항함수를 각 차수에 따라 더욱 깊이 있게 다룰 수 있다.
파일:두 실근의 평균점의 접선 일반_이차_수정.jpg
위 그림과 같이 이차함수 [math(f(x))]의 그래프와 직선 [math(g_1(x))]의 두 교점의 [math(x)]좌표가 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\beta)]일 때, 직선 [math(g_2(x))] 및 [math(g_3(x))]와 같이 [math(g_1(x))]와 기울기가 동일하고 곡선 [math(f(x))]와의 교점이 두 개인 직선들은 항상 교점의 [math(x)]좌표의 합이 [math(\alpha+\beta)]이다. 또한 직선 [math(g_4(x))]와 같이 [math(g_1(x))]와 기울기가 동일하고 곡선 [math(f(x))]에 접하는 직선은 그 접점의 [math(x)]좌표가 [math((\alpha+\beta)/2)]이다.
또한 이차방정식 [math(\boldsymbol{f(x)=0})]의 두 실근의 합은 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 꼭짓점의 [math(\boldsymbol x)]좌표의 [math(\boldsymbol2)]배이다.
파일:두 실근의 평균점의 접선 일반_삼차.jpg
위 그림과 같이 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프와 [math(y)]축에 수직인 직선 [math(y=t)]의 세 교점의 [math(x)]좌표가 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]일 때, 이 세 상수 중 두 상수의 평균을 나타내는 곡선 [math(f(x))] 위의 점에서 그은 접선은 나머지 한 상수를 나타내는 교점을 지난다.
파일:두 실근의 평균점의 접선 등차수열_삼차_수정.jpg
나아가 위 그림과 같이 세 교점의 [math(x)]좌표 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]가 등차수열을 이룰 경우, 세 교점 및 두 접점의 [math(x)]좌표 역시 등차수열을 이룰 수밖에 없다. 이때, [math(\alpha)]와 [math(\gamma)]의 평균이 정확히 [math(\beta)]이므로, 점 [math((\beta,\,f(\beta)))]에서 그은 접선은 그 자체로 이미 [math(\alpha)]와 [math(\gamma)]을 제외한 나머지, 즉 [math(x)]좌표가 [math(\beta)]인 점을 지나고 있음에 주목하자. 그래서 이 접선은 다른 접선들과는 달리 곡선 [math(f(x))]와의 교점이 점 [math((\beta,\,f(\beta)))] 하나뿐이며, 이 점은 다름 아닌 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 변곡점이다. 이와 같이 직선이 접하면서 교차하는 형태에서는 다음과 같이 세제곱 인수가 도출된다. 이에 대해서는 다항함수/추론 참고.
따라서 방정식 [math(f(x)-l_{\alpha,\,\gamma}=0)]은 삼중근 [math(x=\beta)]를 가지며, [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]가 등차수열을 이루므로 세 근의 합은 다음과 같이 동일하게 유지된다.
즉, 삼차방정식 [math(\boldsymbol{f(x)=0})]의 세 실근의 합은 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 변곡점의 [math(\boldsymbol x)]좌표의 [math(\boldsymbol3)]배이다.
좀 더 정확히 말하면, 일단 [math(l_{\alpha+\gamma})]는 [math(x=\beta)]에서의 접선이므로 [math(f(x)-l_{\alpha+\gamma}=0)]은 [math(x=\beta)]를 중근으로 갖는다. 나머지 한 근의 값을 [math(k)]라 하면
이므로 [math(k=\beta)]가 되는 것이다. 즉, 일단은 [math(\beta)]가 중근이라는 것만 아는 상태에서 나머지 한 근의 값을 계산하니 그것 역시 [math(\beta)]라는 것을 나중에 알게 된 것이다. 즉, [math(\beta)]가 중근이라는 사실에서 출발했는데 알고 보면 그것이 중근을 넘어 삼중근이라는 사실을 사후적으로 알게 되었다고 보면 된다.
파일:삼차방정식의 세 근의 합.jpg
나아가 위 그림과 같이 동일한 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프에 대하여 직선 [math(y=g_1(x))], [math(y=g_2(x))]를 그었을 때 발생하는 교점의 [math(x)]좌표가 각각 [math(\alpha')], [math(\beta')] 그리고 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라고 하자. 이때, [math((\alpha',\,f(\alpha')))]만이 접점이다. 그러면 [math(g_1(x))]와 [math(g_2(x))]는 직선의 방정식이므로 일차식인바, 두 방정식
의 세 실근의 합은 앞서 밝힌 논리에 따라 동일하다. 즉, [math(f(x)-g_1(x))] 및 [math(f(x)-g_2(x))]의 삼차항의 계수를 [math(a)], 이차항의 계수를 [math(b)]라 하면 위 그림의 경우 다음이 성립한다.
그밖에도 삼차함수의 그래프와 직선이 그려진 다양한 모양에 대하여 얼마든지 이러한 원리를 적용할 수 있다.
파일:두 실근의 평균점의 접선 특수_삼차.jpg
특히, 위 그림과 같이 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프와 한 점에서 접하고 한 점에서 교차하는 어떤 직선에 대하여 두 점의 [math(x)]좌표를 작은 것부터 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자. 그러면 이 두 상수의 평균을 나타내는 곡선 [math(f(x))] 위의 점에서 그은 접선은 앞서 그었던 직선의 접점을 지난다. 즉, 평균점의 접선은 왼쪽 그림에서는 직선이 [math(x=\beta)]에서 접하므로 [math((\beta,\,f(\beta)))]를, 오른쪽 그림에서는 직선이 [math(x=\alpha)]에서 접하므로 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]를 지난다.
이 역시 앞서 설명한 원리에 따라 당연히 성립하는 사실로서, 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 따라 다음이 성립하게 된다.
한편, 이상에서 알아본 사실을 활용하여 삼차함수#다항함수/공식 문서에서 밝혔던 [math(x)]좌표 간 거리의 성질을 기하학적으로 이해할 수도 있다. 다음 그림을 보자. 설명에 앞서, 위에서 여러 번 보았듯 두 실근의 평균을 [math(x)]좌표로 하는 곡선 [math(f(x))] 위의 점을 편의상 해당 두 실근의 '평균점'이라고 부르기로 하자.
파일:두 실근의 평균점의 접선과 삼차함수의 성질_수정.jpg
위 그림에서, 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프와 세 번 만나는 임의의 [math(y)]축에 수직인 직선에 대하여 항상 초록색 선분이 빨간색 선분보다 길다는 사실을 삼차함수 문서에서 밝혔다. 위 그림의 주황색 점은 한 직선 위의 빨간색 점과 초록색 점을 이은 선분의 중점으로, 항상 극대점보다 [math(x)]좌표가 클 수밖에 없다. 따라서 이때 두 실근의 평균점에서의 [math(f(x))]의 미분계수는 음수이므로, 평균점에서의 접선은 우하향하여 오른쪽에 있는 검은색 점과 만날 수 있게 된다.
만약 초록색 선분과 빨간색 선분의 길이가 같다면, 평균점은 극대점이 될 것이며 평균점에서의 접선의 기울기는 [math(0)]이 되어 검은색 점과 만날 수 없게 되므로 모순이다. 또한 초록색 선분이 빨간색 선분보다 짧다면, 평균점은 극대점보다 왼쪽에 있게 되어 평균점에서의 접선의 기울기는 양수가 되므로 이 경우에도 평균점에서의 접선은 검은색 점과 만날 수 없게 되어 모순이다. 결론적으로, 위에서 설명한 사실이 성립하기 위해서는 초록색 선분이 빨간색 선분보다 길어야만 한다. 즉, 이 형태에서 평균점에서의 접선의 방정식은 상수식일 수 없으며 항상 일차식이다. 앞서 평균점에서의 접선의 방정식을 바로 일차식이라고 단정하지 않고 일차 이하의 다항식이라고 했었지만 이제는 일차식이라고 확신할 수 있는 것이다.
위에서 밝혔듯이 [math(n)]차방정식 [math(f(x)=0)]의 모든 근의 합은 [math(f(x))]의 [math(n)]차항의 계수와 [math((n-1))]차항의 계수에만 의존한다. 따라서 [math(n=2)]일 때만 일차항의 계수가 중요하며, [math(n\geq3)]이면 일차항의 계수는 모든 근의 합에 아무런 영향을 미치지 못한다. 바로 그렇기 때문에 유독 이차함수의 경우에만 직선의 기울기를 동일하게 유지시켜야만 했던 것이다. 이와 달리 삼차 이상의 경우에는 직선의 기울기를 마구 바꾸더라도 세 근의 합을 얼마든지 동일하게 유지할 수 있다는 것이 결정적인 차이점이다.
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이는 Heaviside cover-up method와 깊은 관련이 있다. 공식과 그에 대한 증명과 예제는 부분분수분해 문서를 참고하자. 이 공식은 본 문서의 4.3.1 문단에서도 증명에 활용된다.
이 문단의 일부에서는 다항함수/공식/길이 문서와 다항함수/공식/넓이 문서에서 설명한 길이 공식과 넓이 공식의 관계를 설명하므로 해당 내용들을 먼저 참고하라.
파일:namu_삼차함수_이차함수_넓이_길이_수정.png
그래프의 개형이 위 그림과 같은 삼차함수 [math(y=f(x))]와 그 도함수 [math(y=f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하고, [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면, [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(3a)]이므로 색칠된 부분의 넓이 [math(S)]와 [math(y=f(x))]의 극댓값과 극솟값의 차 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac{|3a|}{2\cdot 3}(\beta-\alpha)^{3}=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^{3} \\ l&=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^{3}\\ \therefore S&=l \end{aligned} )]
이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분은 [math(x)]축보다 아래에 있으므로 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned} S&=-\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\beta)-f(\alpha)\}\\&=f(\alpha)-f(\beta)\\&=l \end{aligned})]
파일:namu_삼차이차관계_수정.png
개형이 위의 그림과 같은 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프의 극점을 위쪽부터 [math(\rm A)], [math(\rm B)]라 하고, 이 두 점의 접선이 삼차함수의 그래프와 교차하는 점을 위쪽부터 [math(\rm P)], [math(\rm Q)]라 하면 위의 성질에 따라 다음이 성립한다.
[math(S_{1}=S_{2}=S_{3})]
파일:나무_삼차함수_사차함수_넓이_길이_관계.png
그래프의 개형이 위 그림과 같은 사차함수 [math(f(x))]와 도함수 [math(f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자. 한편 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면 [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(4a)]이므로, 색칠된 부분의 넓이 [math(S)]와 접선의 기울기가 [math(0)]인 [math(f(x))]의 그래프 위의 점들의 [math(y)]좌표 간 거리 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} S&=\dfrac{|4a|}{3\cdot 4}(\beta-\alpha)^{4}=\dfrac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^{4} \\ l&=\dfrac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^{4}\\ \therefore S&=l \end{aligned} )]
이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분은 [math(x)]축보다 아래에 있으므로 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned} S&=-\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\beta)-f(\alpha)\}\\&=f(\alpha)-f(\beta)\\&=l \end{aligned})]
파일:삼차함수 사차함수 관계5.png
그래프의 개형이 위 그림과 같은 사차함수 [math(f(x))]와 도함수 [math(f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(0)], [math(3\alpha)]라 하자. 이때 위 그림에서 색칠된 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]에 대하여, 다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 길이 관계에 따라서 [math(f(-\alpha)=f(3\alpha))]이기 때문에 다음이 성립한다.
파일:삼차함수넓이관계27 수정.png
나아가 위 그림과 같이 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프에 접점이 변곡점이 아닌 임의의 접선 [math(y=g(x))]를 그었을 때, 곡선 [math(f(x))]와 직선 [math(g(x))]가 [math(x=\beta)]에서 교차하고 [math(x=\gamma)]에서 접한다고 하자. 이때, 각기 다른 색으로 표시된 두 영역은 다음과 같이 정의되며 위 그림과 같이 [math(\boldsymbol{\gamma-\beta=3(\beta-\alpha)})]일 때 마찬가지의 넓이 관계가 성립한다.
파일:삼차함수 이차함수 넓이 4 수정.png
나아가 위 그림과 같이 삼차함수의 그래프와 이차함수의 그래프가 왼쪽 점에서 접하고 오른쪽 점에서 교차할 때, 두 점의 [math(x)]좌표를 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하면 [math(\boldsymbol{\gamma-\beta=3(\beta-\alpha)})]일 때 마찬가지의 넓이 관계가 성립한다.
파일:삼차함수 사차함수 관계.png
그래프의 개형이 위 그림과 같은 사차함수 [math(f(x))]와 도함수 [math(f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하자. 이때, [math(\beta)]는 [math(\alpha)]와 [math(\gamma)]의 평균으로서 점 [math((\beta,\,f'(\beta)))]는 곡선 [math(f'(x))]의 변곡점이다. 한편 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면 [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(4a)]이므로, 색칠된 부분의 넓이 [math(S_1)] 및 [math(S_2)]와 접선의 기울기가 0인 [math(f(x))]의 그래프 위의 점들의 [math(y)]좌표 간 거리 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} S_1=S_2&=\dfrac{|4a|}4(\beta-\alpha)^{4}=|a|(\beta-\alpha)^{4}\\&=\dfrac{|4a|}4(\gamma-\beta)^{4}=|a|(\gamma-\beta)^{4} \\ l&=|a|(\beta-\alpha)^{4}\\ \therefore S&=l \end{aligned} )]
이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분 중 [math(S_1)]은 [math(x)]축보다 위에, [math(S_2)]는 아래에 있으므로 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned} S_1&=\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=f(\beta)-f(\alpha)\\=S_2&=-\displaystyle\int_\beta^\gamma f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\gamma)-f(\beta)\}\\&=f(\beta)-f(\gamma)\\&=l\end{aligned})]
파일:사차함수 같은 넓이.jpg
위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 [math(x=\alpha)]에서 [math(x)]축과 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 곡선 [math(f(x))]와 [math(x)]축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의된다.
그러면 [math(\boldsymbol{S_1=S_2})]이기 위한 필요충분조건은 [math(\boldsymbol{(\beta-\alpha):(\gamma-\beta)}=3:2)]이다. 또한 이때의 [math(S_1=S_2)]의 값은 다음과 같다.
파일:사차함수 같은 넓이_일차.jpg
나아가 위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 일차함수 [math(g(x))]의 그래프와 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 곡선 [math(f(x))]와 직선 [math(g(x))]로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의되며 마찬가지의 관계가 성립한다.
나아가 위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 이차함수 [math(g(x))]의 그래프와 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 두 곡선 [math(f(x))]와 [math(g(x))]로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의되며 마찬가지의 관계가 성립한다.
나아가 위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 삼차함수 [math(g(x))]의 그래프와 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 두 곡선 [math(f(x))]와 [math(g(x))]로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의되며 마찬가지의 관계가 성립한다.
나아가 위 그림과 같이 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 두 사차함수 [math(f(x))] 및 [math(g(x))]의 그래프가 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 두 곡선 [math(f(x))]와 [math(g(x))]로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의된다.
이 문단에서는 다항함수/공식/길이 문서에서 설명한 길이 공식과 위에서 설명한 기울기 공식의 관계를 설명하므로 해당 내용들을 먼저 참고하라.
파일:이차함수접선_수정2.png
다항함수/공식/길이 문서에서 밝혔듯이, 위 그림에서 색이 같은 선분끼리는 길이가 같다고 했다. 곧, 곡선 [math(f(x))] 위의 세 점의 [math(x)]좌표는 등차수열을 이룬다. 또한, 위 그림에서 직선 [math(y=g_1(x))]와 [math(y=g_2(x))]는 평행하다고 했다. 다시 말해서 이차함수의 그래프 위의 임의의 두 점을 지나는 직선의 기울기는, 이 두 점의 [math(x)]좌표의 평균을 [math(x)]좌표로 하는 곡선 [math(f(x))] 위의 점에서의 접선의 기울기와 같다. 또한, 곡선 [math(f(x))] 위의 세 점의 [math(x)]좌표가 등차수열을 이루면 각 접선의 기울기 역시 등차수열을 이룬다고 했으므로, 최종적으로는 이차함수의 그래프 위의 임의의 두 점을 지나는 직선의 기울기가 두 점에서의 접선의 기울기의 평균과 같음이 여기에서도 확인된 셈이다.
파일:이차함수 길이 기울기 수정.png
다항함수/공식/길이 문서에서 밝혔듯이, [math(f(x))]가 이차함수이면 [math(\overline{\rm BD}=\overline{\rm DE})]라고 했다. 또한 [math(\overline{\rm AD})]의 기울기와 [math(\overline{\rm AE})]의 기울기의 비는 [math(1:2)]라고 했다. 이 두 공식은 다음과 같이 연계할 수 있다.
이 문단에서는 다항함수/공식/넓이 문서에서 설명한 넓이 공식과 위에서 설명한 기울기 공식의 관계를 설명하므로 해당 내용들을 먼저 참고하라.
파일:이차함수 삼각형 넓이 최대 3.png
상수 [math(\alpha)], [math(\beta)]와 [math(a<t<b)]인 실수 [math(t)]에 대하여, 위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 이차함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 세 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))], [math((\beta,\,f(\beta)))], [math((t,\,f(t)))] 즉 [math(\rm A)], [math(\rm T)], [math(\rm B)]를 이은 삼각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 [math(t)]의 값은 다항함수/공식/넓이 문서에서 밝혔듯이 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 평균, 곧 [math((\alpha+\beta)/2)]이다. 이번에는 기하학적인 방법으로 구해 보자.
삼각형의 넓이는 결국, 선분 [math(\overline{\rm AB})]의 길이에, [math(\overline{\rm AB})]와 점 [math(\rm T)]의 거리를 곱한 뒤 [math(2)]로 나눈 값이다. 이때, 선분 [math(\overline{\rm AB})]의 길이는 정해져 있으므로 결국 삼각형의 넓이는 해당 선분과 점의 거리에 의존한다. 곧, 선분 [math(\overline{\rm AB})]와의 거리가 최대가 되는 점 [math(\rm T)]를 찾으면 되는 것이다. 거리가 최대가 되기 위해서는 기하학적으로 이 점 [math(\rm T)]에서의 곡선 [math(f(x))]에 대한 접선의 기울기가 다음 그림과 같이 선분 [math(\overline{\rm AB})]와 같아야 한다.
파일:이차함수 삼각형 넓이 최대 4.png
위에서 밝혔듯이 두 선이 평행하기 위해서는 점 [math(\rm T)]의 [math(x)]좌표가 나머지 두 점의 [math(x)]좌표의 평균이어야 하므로, 대수적으로 구할 때와 마찬가지로 구하는 [math(t)]의 값은 다음과 같다.
파일:이차함수 기울기 3 수정.png
앞서 밝혔듯이 이차함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 서로 다른 임의의 세 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))], [math((\beta,\,f(\beta)))], [math((\gamma,\,f(\gamma)))]에 대하여 다음이 성립한다.
그런데 이는 사실 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해서도 증명된다.
파일:두 실근의 평균점의 접선 일반_이차_수정.jpg
위 그림과 같이 직선의 기울기가 일정하면 이차방정식의 두 근의 합도 일정하므로, 직선이 접하여 그에 따른 이차방정식이 중근을 가질 때는 두 근의 평균을 중근으로 가져야 두 근의 합이 일정하게 유지된다는 것을 앞서 알아본 바 있다.
이와 같이 이차함수는 임의의 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 점이 항상 해당 구간의 정중앙에 존재한다는 사실은 근과 계수의 관계를 통해 이해하는 편이 더욱 직관적이고 유용하다. 그뿐만 아니라 단순히 직접 평균변화율과 순간변화율을 계산하여 두 값이 같음을 보이는 것은 추가적인 통찰이나 응용의 여지를 가져다주기가 어렵기도 하다. 반면 근과 계수의 관계의 테크닉은 삼차함수에 그대로 적용할 경우 요긴한 공식이 많이 도출된다.
[각주]
관련 문서: 다항함수/추론
1. 개요[편집]
이미 다항함수의 차수나 그래프의 개형이 알려져 있을 때 적용할 수 있는 공식을 소개하는 문서이다. 경우에 따라 적용할 수 있는 공식이 다르다. 길이 공식이 가장 기본이 되며, 이를 토대로 넓이 공식, 나아가 기울기 공식 등을 깊게 다룰 수 있으므로 길이와 넓이 공식을 먼저 숙지할 것을 권한다.
해당 내용에 대한 대수학적·해석기하학적 증명 그리고 평가원, 교육청, EBS, 각종 대학별 고사 등의 주요 대학 입시 관련 기출 문제를 실었다.
2. 길이·거리[편집]
"display: none; display: 문단=inline"를
참고하십시오.
3. 넓이[편집]
"display: none; display: 문단=inline"를
참고하십시오.
4. 기울기[편집]
다항함수의 그래프 위의 주요 점들을 지나는 직선의 기울기를 여러 공식으로 편리하게 구할 수 있다.
4.1. 이차함수[편집]
파일:이차함수 기울기 3 수정.png
이차함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 서로 다른 임의의 세 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\beta,\,f(\beta)))], [math((\gamma,\,f(\gamma)))]에 대하여 다음이 성립한다.
[math(\dfrac{\alpha+\gamma}2=\beta\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{f'(\alpha)+f'(\gamma)}2=f'(\beta))]
곧, 이차함수의 그래프 위의 세 점의 [math(x)]좌표가 등차수열을 이루면, 세 점에서의 접선의 기울기 역시 등차수열을 이루며, 역도 성립한다. 이는 이차함수의 도함수가 일차함수이기 때문인데, 등차수열을 이루는 세 수를 임의의 일차식에 대입하면 그 값들 역시 등차수열을 이룰 수밖에 없는 것이다.
또한, 위에서 간접적으로 밝혔듯이 두 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\gamma,\,f(\gamma)))]를 이은 선분의 기울기는 두 점의 평균점에서의 접선의 기울기와 같다. 곧, 다음이 성립한다.
[math(\dfrac{f(\gamma)-f(\alpha)}{\gamma-\alpha}=f'\left(\dfrac{\alpha+\gamma}2\right))]
다시 말해서, 이차함수의 그래프에 대하여 임의의 닫힌 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 점은 해당 구간의 정중앙에 존재한다. 한편, 만약 위 그림처럼 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]가 등차수열을 이루면 [math(f'(\beta))]와도 값이 같음은 물론이다. 따라서 이차함수 [math(f(x))]에 대하여
[math(\dfrac{f(\gamma)-f(\alpha)}{\gamma-\alpha}=f'(\beta))]
이면 [math(\boldsymbol\alpha)], [math(\boldsymbol\beta)], [math(\boldsymbol\gamma)]는 등차수열을 이룬다.
증명 [펼치기·접기]
파일:이차함수 기울기 증명.png
위 그림과 같이 이차함수 [math(f(x))]의 그래프와 일차함수 [math(g(x))]의 그래프가 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\beta)]에서 만날 때,[math(\begin{aligned}f(x)&=ax^2+bx+c\\g(x)&=mx+n\\f(x)-g(x)&=a(x-\alpha)(x-\beta)\\&=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta\end{aligned})]
으로 놓을 수 있다. 따라서 계수비교법에 의하여 [math(g(x))]의 기울기는 다음과 같다.[math(m=b-\{-a(\alpha+\beta)\}=a(\alpha+\beta)+b)]
한편, [math(f(x))]를 미분하여 [math(f'(\alpha))]와 [math(f'(\beta))]의 평균을 구하면 다음과 같다.[math(\begin{aligned}f'(x)&=2ax+b\\f'(\alpha)&=2a\alpha+b\\f'(\beta)&=2a\beta+b\\\\\therefore\dfrac{f'(\alpha)+f'(\beta)}2&=\dfrac{(2a\alpha+b)+(2a\beta+b)}2\\&=a(\alpha+\beta)+b\end{aligned})]
이는 [math(m)]의 값과 일치하므로, 해당 사실이 증명되었다.
예제 [펼치기·접기] - 이 사실을 그대로 가져다 쓸 수 있는, 이차함수만의 특성을 확연하게 드러내는 문제이다. 말하자면 [math(f(x))]가 이차함수여서 가능한 문제로, [math(f(x))]의 차수가 달라진다면 유의미하면서도 지나치게 복잡하지 않은 문제를 낼 수가 없게 된다.
[math(f(x))]는 이차함수이므로 닫힌구간 [math([n,\,n+1])]에서 평균값 정리를 만족시키는 점은 정중앙, 즉 [math(x=n+1/2)]에 존재한다. 따라서 다음이 성립한다.[math(\displaystyle\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^n\left(k+\dfrac12\right)=60)]
실제 수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 공식을 알지 못한 채 직접 계산하는 것은 다소 번거롭다.
파일:2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 52쪽 4번 수특 해설.jpg이 사실을 활용할 수 있는 대표적인 형태가 나오는 문제이다.
[math(f(x))]는 이차함수이고 문제의 해당 접점 [math(\rm A)]와 [math(\rm B)]를 지나는 직선의 기울기가 [math(-2)]이므로, 이 두 점의 접선의 기울기의 평균 역시 [math(-2)]여야 한다. 따라서, 두 점의 [math(x)]좌표를 각각 [math(a)], [math(b)]라 하면 다음이 성립한다.[math(\dfrac{f'(a)+f'(b)}2=\dfrac{-5+f'(b)}2=-2)]
[math(\therefore f'(b)=1)]
수능특강의 해설에는 다음과 같은 복잡한 풀이가 제시되어 있는데, 공식을 사용하면 문제가 훨씬 빠르게 해결됨을 실감할 수 있다.
파일:2018 수능특강 미적분I 149쪽 5번 해설.png
2022학년도 EBS 수능완성 수학Ⅰ·수학Ⅱ·미적분Ⅰ 실전 모의고사 4회 9번에도 정확히 같은 형태의 그래프가 출제되었는데, 마찬가지의 원리로 답은 ③이다.
특히, 위 그림의 [math(\rm{(b)})]와 같이 두 접점의 [math(y)]좌표가 같으면 [math(m=0)]이 되고 이차함수의 그래프의 대칭성 때문에 두 접선의 기울기의 합 역시 [math(0)]이 되므로 마찬가지의 사실이 성립한다.
파일:이차함수 기울기 2 재재수정.png
또한, 위 그림처럼 [math(f'(\alpha))]와 [math(f'(\beta))] 중 어느 하나가 [math(0)]이면 다른 하나는 [math(m)]의 두 배이다. 곧, 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}{\rm(c)}:\qquad\quad m&=\dfrac{f'(\alpha)+f'(\beta)}2=\dfrac{f'(\beta)}2\\\therefore f'(\beta)&=2m\\\\{\rm(d)}:\qquad\quad m&=\dfrac{f'(\alpha)+f'(\beta)}2=\dfrac{f'(\alpha)}2\\\therefore f'(\alpha)&=2m\end{aligned})]
파일:이차함수 기울기 재재수정.png
특히, 위 그림의 [math(\rm{(a)})]와 같이, 이차함수 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]의 그래프 위의 서로 다른 두 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\beta,\,f(\beta)))]를 지나는 직선 [math(y=mx+n)]에 대하여 다음이 성립한다.
[math(m=\dfrac{f'(\alpha)+f'(\beta)}2=a(\alpha+\beta)+b)]
곧, 이차함수의 그래프 위의 서로 다른 임의의 두 점에 대하여, 이 두 점을 이은 직선의 기울기는 각 점에서의 접선의 기울기의 평균과 같으며, 그 값은 [math(a(\alpha+\beta)+b)]이다. 이는 바로 위에서 설명한 평균값 정리에 관한 이차함수의 성질과 사실상 같은 의미이다.
또한, 이차함수의 그래프는 원뿔곡선의 일종으로서 포물선에 해당하므로 준선에 관한 성질이 그대로 적용되기도 한다. 포물선 참고.
4.2. 삼차함수[편집]
파일:삼차함수 기울기 4 수정.png
위 그림의 [math((\rm a))]와 같이, 최고차항의 계수가 [math(a)]인 삼차함수 [math(f(x))]와 상수함수 [math(y=k)]의 그래프의 교점을 왼쪽부터 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)]라 하고 각각의 [math(x)]좌표를 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하면 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}f'(\alpha)&=a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AC}\\f'(\beta)&=-a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}\\f'(\gamma)&=a\times\overline{\rm AC}\times\overline{\rm BC}\\\\\therefore\dfrac{f'(\alpha)}{f'(\beta)}&=-\dfrac{\overline{\rm AC}}{\overline{\rm BC}},\;\dfrac{f'(\beta)}{f'(\gamma)}=-\dfrac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm AC}},\;\dfrac{f'(\alpha)}{f'(\gamma)}=\dfrac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm BC}}\end{aligned})]
즉, 각 교점에서의 [math(f(x))]에 대한 접선의 기울기 또는 기울기끼리의 비는 교점들을 이은 선분의 길이로 나타낼 수 있다.
특히, 위 그림의 [math((\rm b))]와 같이, 점 [math((\beta,\,f(\beta)))]가 곡선 [math(f(x))]의 변곡점이면 [math(\gamma-\beta=\beta-\alpha)]이므로 [math(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC})]이다. 따라서 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}f'(\alpha)&=a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AC}=a\times\overline{\rm AC}\times\overline{\rm BC}=f'(\gamma)\\f'(\beta)&=a\times\overline{\rm AB}^2=a\times\overline{\rm BC}^2\end{aligned})]
증명 [펼치기·접기]
직접 [math(f(x))]를 곱미분하여 각 값을 대입하면 다음과 같다.[math(\begin{aligned}f'(\alpha)&=a(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)=a(\beta-\alpha)(\gamma-\alpha)\\&=a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AC}\\f'(\beta)&=a(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)=-a(\beta-\alpha)(\gamma-\beta)\\&=-a\times\overline{\rm AB}\times\overline{\rm BC}\\f'(\gamma)&=a(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)\\&=a\times\overline{\rm AC}\times\overline{\rm BC}\end{aligned})]
혹은 미분계수의 정의를 이용하여 다음과 같이 증명할 수도 있다.[math(\begin{aligned}f'(a)&=\displaystyle\lim_{x\to\alpha}\dfrac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}\\&=\lim_{x\to\alpha}\dfrac{a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}{x-\alpha}\\&=\lim_{x\to\alpha}a(x-\beta)(x-\gamma)\\&=a(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)\end{aligned})]
[math(f'(\beta))]와 [math(f'(\gamma))]의 경우에도 같은 방식으로 증명할 수 있다.
이와 같이 접선의 기울기가 교점을 이은 선분의 길이에 의존하므로, 다음과 같이 선분의 길이의 대소를 통해 접선의 기울기의 대소를 판별할 수 있다.
파일:삼차함수 기울기 대소 재수정.png
예제 [펼치기·접기] - 이 사실을 그대로 가져다 쓸 수 있는 문제이다. [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 [math(1)]이므로, 위에서 밝힌 바 그대로 정답은 ②이다.이 사실을 활용할 수 있는 문제이다. [math(f(a)=f(2)=f(6)=k)]라 하면, [math(f(x))]는 삼차함수이므로 곡선 [math(f(x))]와 직선 [math(y=k)]의 교점은 [math(x=a)], [math(x=2)], [math(x=6)]에서 발생한다. 이때, [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 양수이고 [math(f'(2)=-4)]로 0보다 작으므로 점 [math((2,f(2)))](또는 [math((2,\,k))])는 세 교점 중 가운데에 위치하게 된다. 따라서 다음 그림처럼 [math(a<2<6)]이다.
파일:2013 10월 A형 26번 해설.png
이제 [math(f'(2)=-4)]라는 단서를 이용하여 [math(a)]의 값을 구하자. 위에서 소개한 공식을 사용하면[math(1\times(2-a)\times(2-6)=-4)]
[math(\rightarrow a=1)]
이고, 또 공식을 사용하면 답은 다음과 같다.[math(f'(a)=f'(1)=1\times(1-2)\times(1-6)=5)]
파일:삼차함수 기울기_수정.png
위 그림과 같이 극값이 두 개인 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프에서, 두 극점을 지나는 직선을 [math({\color{dc4343}y=g_1(x)})], 변곡점의 접선을 [math({\color{#36BF72}y=g_2(x)})]라 하자. 각 직선의 기울기를 순서대로 [math({\color{dc4343}g_1})], [math({\color{#36BF72}g_2})]라 하면 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}{\color{dc4343}g_1}&=-\dfrac{a}2(\beta-\alpha)^2\\{\color{#36BF72}g_2}&=-\dfrac{3a}4(\beta-\alpha)^2\\\therefore{\color{dc4343}g_1}:{\color{#36BF72}g_2}&={\color{dc4343}2}:{\color{#36BF72}3}\end{aligned})]
증명 [펼치기·접기]
[math({\color{dc4343}g_1})]의 값은 위에서 설명한 삼차함수의 극값의 차 공식을 이용하여 구할 수 있는데, [math(f(x))]의 최고차항의 계수 [math(a)]의 부호에 따라 계산이 약간 다르다. 다음과 같이 경우를 분류해 보자.
[1] [math(\boldsymbol{a>0\;(g_1,\,g_2<0)})]
파일:삼차함수 기울기2_수정.png[math(\begin{aligned}{\color{dc4343}g_1}&=\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=\cfrac{-\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^3}{\beta-\alpha}\\&=-\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^2=-\dfrac{a}2(\beta-\alpha)^2\quad(\because a>0)\end{aligned})]
[2] [math(\boldsymbol{a<0\;(g_1,\,g_2>0)})]
파일:삼차함수 기울기 3_수정.png[math(\begin{aligned}{\color{dc4343}g_1}&=\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=\cfrac{\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^3}{\beta-\alpha}\\&=\dfrac{|a|}2(\beta-\alpha)^2=-\dfrac{a}2(\beta-\alpha)^2\quad(\because a<0)\end{aligned})]
[math(a>0)]이면 [math(|a|=a)]이고, [math(a<0)]이면 [math(|a|=-a)]임에 유의하자. 곧, [math(a)]의 부호에 관계없이 공식 자체는 같다.
한편, [math({\color{#36BF72}g_2})]의 값은 변곡점에서의 접선의 기울기이므로, [math(f'(x))]를 구하자. 위 그림에서 [math(f(x))]는 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\beta)]에서 극값을 가지므로 [math(f'(\alpha)=f'(\beta)=0)]이며, [math(f(x))]의 최고차항은 [math(ax^3)]이므로 [math(f'(x))]의 최고차항은 [math(3ax^2)]이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(f'(x)=3a(x-\alpha)(x-\beta))]
또한 변곡점의 [math(x)]좌표는 두 극점의 [math(x)]좌표의 평균이므로 [math((\alpha+\beta)/2)]이다. 따라서 다음이 성립한다.[math(\begin{aligned}{\color{#36BF72}g_2}&=f'\left(\dfrac{\alpha+\beta}2\right)\\&=3a\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\alpha\right)\left(\dfrac{\alpha+\beta}2-\beta\right)\\&=-3a\left(\dfrac{\beta-\alpha}2\right)^2=-\dfrac{3a}4(\beta-\alpha)^2\end{aligned})]
파일:삼차함수 기울기 5.png
위 그림과 같이 극값이 두 개인 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프의 변곡점을 지나도록 [math(y)]축에 수직인 직선을 그을 때, 세 교점의 [math(x)]좌표를 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하면 다음이 성립한다.
[math(|f'(\alpha)|:|f'(\beta)|:|f'(\gamma)|=2:1:2)]
증명 [펼치기·접기]
삼차함수의 그래프는 변곡점 대칭이므로, 계산의 단순화를 위하여 [math(\beta=0)]이라 하면 [math(\alpha=-\gamma)]이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\begin{aligned}\therefore |f'(\alpha)|:|f'(\beta)|:|f'(\gamma)|&=\left|2a\gamma^2\right|:\left|-a\gamma^2\right|:\left|2\gamma^2\right|\\&=2:1:2\end{aligned})]
4.3. 여러 차수: 영점에서의 기울기[편집]
파일:여러 차수_영점에서의 기울기.jpg
위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 다항함수 [math(f(x))]의 그래프와 [math(y)]축에 수직인 직선 [math(y=t)]가
[math(x=x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_i,\,\cdots,\,x_n)]
에서 접점이 아닌[1] 서로 다른 [math(n)]개의 교점을 가지며 이외의 점에서는 교점이 발생하지 않는다고 하자. 그러면
[math(\begin{aligned}f(x)-t&=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\\&=a\displaystyle\prod_{i=1}^n(x-x_i)\end{aligned})]
[1] [math(x=x_i)]에서 접점이 발생한다는 것은, 방정식 [math(f(x)-t=0)]이 [math(x=x_i)]를 중근으로 갖는다는 의미이므로, 앞으로 전개할 논리로는 포괄하지 못하는 경우가 되고 만다.
이며, 이때 [math(x=x_i)]에서의 접선의 기울기는 다음과 같다.
[math(f'(x_i)=a\displaystyle\prod_{j\neq i}(x_i-x_j))]
다시 말해서, [math(\boldsymbol{f(x)})]에서 상수항과 [math(\boldsymbol{(x-x_i)})]를 지운 뒤 [math(\boldsymbol{x=x_i})]를 대입한 값이다. 예를 들어 다음과 같이 구하면 된다.
[math(\begin{aligned}f(x)&=2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+5\\\\\rightarrow f'(4)&=2\times(4-1)\times(4-2)\times(4-3)=12\end{aligned})]
이는 다름이 아니라 바로 위 문단에서 설명한 삼차함수 공식의 일반화이다. 다만 사차함수부터는 교점이 너무 많아지므로 접선의 기울기를 교점끼리의 거리로 해석하여 설명하기에는 지나치게 복잡해지므로 삼차함수만을 그런 방식으로 설명한 것이다.
증명 및 해설 [펼치기·접기]
미분계수의 정의를 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 위 그림에서 [math(n)] 이하의 모든 자연수 [math(i)]에 대하여 [math(f(x_i)=t)]이므로 다음이 성립한다.즉, [math(f'(x_i))]는 [math(f(x))]에서 상수항과 [math((x-x_i))]를 지운 뒤 [math(x_i)]를 대입한 값임이 증명되었다.
[math(f(x))]를 직접 곱미분하여 증명할 수도 있다. 먼저 두 그래프의 교점의 좌표를 이용하여 [math(f(x))]의 식을 세워 계산하면 다음과 같다.이때, [math((\rm a))]는 [math(n)]개의 식이 더해진 형태로서, [math(i)]번째 항만이 [math((x-x_i))]를 인수로 가지지 않으므로 [math((\rm a))]에 [math(x=x_i)]를 대입하면 [math(i)]번째 항을 제외하면 모두 [math(0)]이 된다. 즉, [math(f'(x_i))]는 [math((\rm a))]에서 [math(i)]번째 항만을 계산한 값과 같다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.[math(\begin{aligned}f'(x_i)&=a\displaystyle\sum_{k=1}^n\left[\prod_{j\neq k}(x_i-x_j)\right]\\&=a\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)\end{aligned})]
예제 [펼치기·접기] - [math(f'(1))]은 [math((x-1))]을 제외한 나머지 항에 [math(1)]을, [math(f'(4))]는 [math((x-4))]를 제외한 나머지 항에 [math(4)]를 대입한 값이므로 다음과 같이 빠르게 계산할 수 있다.[math(f(x))]의 곱미분을 시도해 보면 금방 규칙을 발견하게 될 뿐만 아니라, [math(f(x))]를 전개한 뒤 미분을 하면 계산이 지나치게 복잡해지므로, 애초에 식을 위와 같이 간단히 정리할 수 있는지를 시험하기 위한 문제였다고 할 수 있다.
또한 이러한 내용은 전형적인 극한 문제와도 의외로 연관이 깊다.우선 문제에서 두 극한식의 분모는 모두 [math(0)]으로 수렴하는 가운데 극한의 수렴값이 존재하므로, 분자 역시 다음과 같이 [math(0)]으로 수렴해야 한다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)&=f(0)\\=\lim_{x\to1}f(x)&=f(1)\\&=0\end{aligned})]
[math(f(x))]는 다항함수이므로 [math(x)] 그리고 [math((x-1))]을 인수로 갖는다. 따라서 위 공식에 따라 다음이 성립한다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}x=\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x-{\color{#DA3832}0}}&=f'({\color{#DA3832}0})\\\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)}{x-{\color{#DA3832}1}}&=f'({\color{#DA3832}1})\\\\\therefore f'(0)=f'(1)=1\end{aligned})]
이는 [math(0/0)] 꼴의 부정형의 전형적인 극한 문제로서, 다음의 공식과 일맥상통한다.- [math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{x-a}=b)]이면 [math(f(a)=0,\,f'(a)=b)]
또한 이 공식을 적용할 때는 반드시 함수를 먼저
[math(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n))]
의 꼴로 고쳐야 한다. 그 다음에야 [math(f'(x_i))]의 값을 구할 때 [math((x-x_i))]를 지운 채 [math(x=x_i)]를 대입할 수 있는 것이다. 예를 들어
[math(f(x)=(2x-3)(3x-4)(4x-5))]
에서 [math(f'(3/2))]의 값을 다음과 같이 구하면 안 된다.
[math(\begin{aligned}f'\left(\dfrac32\right)&=\left(3\times\dfrac32-4\right)\times\left(4\times\dfrac32-5\right)\\&=\dfrac12\times1=\dfrac12\end{aligned})]
올바르게 공식을 적용하는 방법은 다음과 같다.
두 값은 [math(2)]배 차이가 나는데, 이 [math(2)]라는 수는 다름 아닌
[math(2x-3=2\left(x-\dfrac32\right))]
의 우변에 있는 [math(2)]에서 비롯된 것이다. 마찬가지 이유로 위에서 설명한 잘못된 방법과 올바른 방법으로 [math(f'(4/3))] 및 [math(f'(5/4))]의 값을 구하면 각각 [math(3)]배, [math(4)]배 차이가 나게 된다.
잘못된 방법으로 값을 구하게 되면
[math(f(x)=(200x-300)(3x-4)(4x-5))]
와 같이 [math(f(x))]가 [math(100)]배가 되었는데도 [math(f'(3/2))]의 값을 똑같이 [math(1/2)]로 구하게 되는 것만 보더라도 이 방법은 수학적으로 말이 되지 않는다. 이 경우에는 올바른 방식으로 값을 구하면 [math(1/2)]의 [math(200)]배인 [math(100)]이 나오게 된다.
물론 공식을 적용할 때 지우는 항의 일차항의 계수가 [math(1)]이기만 하면 다른 항은 굳이 조작하지 않아도 된다. 예를 들어
[math(f(x)=(x-1)(2x-3)(3x-4))]
일 때 [math(f'(1))]의 값을 구할 때는 바로
[math(\begin{aligned}f'(1)&=(2\times1-3)\times(3\times1-4)\\&=(-1)\times(-1)=1\end{aligned})]
과 같이 구해도 무방하며, 오히려 이쪽이 계산이 더 편할 것이다. 왜냐하면 [math(f(x))]를
[math(\begin{aligned}f(x)&=2\times3\times(x-1)\left(x-\dfrac32\right)\left(x-\dfrac43\right)\\&=6\times(x-1)\left(x-\dfrac32\right)\left(x-\dfrac43\right)\end{aligned})]
로 고친 다음
[math(\begin{aligned}f'(1)&=6\times\left(1-\dfrac32\right)\times\left(1-\dfrac43\right)\\&=6\times\left(-\dfrac12\right)\times\left(-\dfrac13\right)=1\end{aligned})]
과 같이 구하는 것과 다를 것이 없기 때문이다. 그러나 이때에도 [math(f'(3/2))] 및 [math(f'(4/3))]의 값을 구할 때는 앞서 밝힌 대로 식을 고치지 않은 채 공식을 적용하려 하면 올바른 값과 각각 [math(2)]배, [math(3)]배의 차이가 나게 된다.
4.3.1. 역수의 합[편집]
[math(n\geq2)]이고 [math(i<j\,\Leftrightarrow\,x_i<x_j)]인 [math(n)]차 다항함수
[math(\begin{aligned}f(x)&=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\\&=a\displaystyle\prod_{i=1}^n(x-x_i)\end{aligned})]
에 대하여 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1{f'(x_i)}=0)]
다시 말해서, 두 개 이상의 단일 실근만을 근으로 갖는 다항방정식 [math(f(x)=0)]에 대하여, 각 근에서의 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 미분계수의 역수의 합은 항상 [math(\boldsymbol0)]이다.
증명 [펼치기 · 접기]
먼저, 부분분수분해 문서에 설명된 Heaviside cover-up method 그리고 앞서 밝힌 기울기 공식을 종합하여 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\frac1{f(x)}&=\sum_{i=1}^n\frac1{(x-x_i)}\times\frac1{\displaystyle a\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)}\\&=\sum_{i=1}^n\frac1{(x-x_i)f'(x_i)}\end{aligned})]
양변에 [math(f(x))]를 곱하면[math(\begin{aligned}1&=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1{f'(x_i)}\frac{a(x-x_1)\cdots(x-x_n)}{x-x_i}\\&=\sum_{i=1}^n\dfrac{\displaystyle\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)}{f'(x_i)}\;\cdots\,(\rm a)\end{aligned})]
이다. 여기에서 양변의 [math(x^{n-1})]의 계수를 조사하자. 각 [math(i)]들에 대하여 [math(x)]에 관한 [math((n-1))]차 다항식이 나오며, 그것의 최고차항의 계수는 [math(1/f'(x_i))]이다. 따라서 위 식의 최종적인 [math(x^{n-1})]의 계수는[math(\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac1{f'(x_i)})]
이다. 그런데 [math((\rm a))]의 계산 결과가 결국 [math(1)]이라는 상수에 불과하므로 [math(x^{n-1})]의 계수는 [math(0)]이 되어야 한다. 곧, 다음이 증명되었다.[math(\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac1{f'(x_i)}=0)]
또한 [math(n=1)]이면 부분분수분해 자체가 성립하지 않으므로 위와 같은 논리가 통하지 않는다. 즉, 이 사실은 [math(n\geq 2)]일 때만 성립한다.
고등학교에서는 부분분수분해를 거의 다루지 않긴 하지만 이 증명은 고등학생이 아주 이해하지 못할 수준은 아니다. 이것이 그나마 가장 쉬운 증명이며, 대학교 수준 이상의 더 많은 증명에 대해서는 sum of reciprocals of derivative of polynomial at its roots를 참고하자.
[math(n\geq2)]인 경우로 한정하는 이유를 알아보자. [math(n=1)]이면 [math(f(x))]는 일차함수이므로 [math(f(x)=ax+b)]로 쓸 수 있다. 이 경우 [math(f(x)=0)]의 근은 [math(x=-b/a)]뿐이며 이때의 미분계수는 당연히 [math(a)]이다. 따라서 미분계수의 역수의 합은 [math(1/a)]로, [math(0)]이 될 수 없다.
파일:다항함수 미분계수 역수의 합.png
나아가 위 그림에서 바로 알 수 있듯이 [math(f(x))]의 각 영점에서의 미분계수는 왼쪽부터 차례대로 양수와 음수가 번갈아 나오는데, 이 점을 이용하면 다음과 같은 결론을 추가로 도출할 수 있다.
[math(\therefore\displaystyle\sum_{i=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil}\dfrac1{f'(x_{2i-1})}=-\sum_{i=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor}\dfrac1{f'(x_{2i})})]
다시 말해서, 왼쪽부터 홀수 번째 그리고 짝수 번째 영점들의 미분계수의 합은 서로 반수 관계를 이룬다.
5. 방정식[편집]
관련 문서: 대수학의 기본정리
다항함수의 그래프 위의 주요 점들을 지나는 그래프의 방정식을 여러 공식으로 편리하게 구할 수 있다.
5.1. 이차함수: 행렬 대각화[편집]
보통 아래의 꼴로 정리한 뒤 대각화를 통해 영점(해)을 빠르게 구할 수 있다.
[math(y = {{\bf x}^t \boldsymbol{\mathsf{A}} {\bf x}} + {{\bf b}^t {\bf x}}+c \quad ({\boldsymbol{\mathsf{A}} ^t} {\boldsymbol{\mathsf{A}} } \neq 0))]
5.2. 삼차함수: 두 극점을 지나는 직선[편집]
파일:삼차함수방정식1.png
삼차함수 [math(f(x))]가 극값을 두 개 가질 때
[math(f(x)=f'(x)Q(x)+R(x))]
라 하여 [math(f(x))]를 도함수 [math(f'(x))]로 나눈 몫을 [math(Q(x))], 나머지를 [math(R(x))]라 하면
[math(y=R(x))]
는 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 두 극점을 지나는 직선의 방정식이다.
증명 [펼치기·접기]
[math(f(x))]가 삼차함수이므로 도함수 [math(f'(x))]는 이차식이며, 이에 따라 [math(Q(x))]는 일차식, [math(R(x))]는 일차 이하의 다항식이어야 한다. 곧, 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\begin{aligned}R(x)&=ax+b\\f(x)&=f'(x)Q(x)+ax+b\end{aligned})]
한편 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]를 곡선 [math(f(x))]의 두 극점의 [math(x)]좌표라 하면 [math(f'(\alpha)=f'(\beta)=0)]이다. 따라서 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)]를 위 식에 대입하면 다음과 같다.[math(\begin{aligned}f(\alpha)&=f'(\alpha)Q(\alpha)+a\alpha+b=a\alpha+b\;&\cdots(\rm 1)\\f(\beta)&=f'(\beta)Q(\beta)+a\beta+b=a\beta+b\;&\cdots(\rm 2)\end{aligned})]
이 두 식은 결국 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)]가 방정식[math(f(x)=R(x))]
의 서로 다른 실근이라는 뜻이므로 [math(R(x))]는 정확히 곡선 [math(f(x))]의 두 극점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\beta,\,f(\beta)))]를 지난다.
한편 [math((\rm 1)-(\rm 2))]를 계산하면[math(f(\alpha)-f(\beta)=a(\alpha-\beta))]
이고 [math(f(\alpha)-f(\beta)\neq 0,\,\alpha-\beta\neq 0)]이므로 [math(a\neq 0)]이다. 곧, [math(R(x))]는 일차식이다.
파일:삼차함수방정식2.png
또한, 위 그림과 같이 기하학적으로 [math(f(x))]와 [math(R(x))]는 최고차항의 계수의 부호가 서로 반대일 수밖에 없다.
위 사실을 이용하여 다음을 증명할 수 있다.
귀류법을 이용한다. 삼차함수의 그래프의 특성상 삼차방정식 [math(f(x)=0)]은 실근을 적어도 한 개 갖는다. 따라서 위 명제를 부정하면 [math(f(x)=0)]의 실근이 두 개 혹은 세 개라고 가정할 수 있다. 그런데 실근을 두 개 이상 가지려면 [math(f(x))]는 무조건 극값 두 개를 가져야 하며, 일대일대응이어서는 안 된다. 이때, 앞서 밝혔듯이 삼차함수의 그래프의 두 극점은 무조건 [math(y)]좌표가 다르므로 두 극점을 지나는 직선의 기울기는 0이 될 수 없다. 곧, 직선의 방정식은 상수가 아닌 일차식이어야 하므로 모순이다. 따라서 [math(f(x))]를 도함수 [math(f'(x))]로 나눈 나머지가 상수이면 방정식 [math(f(x)=0)]의 실근은 한 개여야만 한다.
그래프의 기하학적 개형을 고려하지 않고 대수적인 방식으로만 증명할 수도 있다.
대수적 증명 [펼치기·접기]
방정식 [math(f(x)=0)]의 실근의 개수는 곡선 [math(f(x))]와 [math(x)]축의 교점의 개수이므로, [math(f(x))]를 0이 아닌 실수배를 하여 최고차항의 계수를 바꾸어도 실근의 개수에는 영향이 없다. 곧, 다음이 성립한다.[math(\begin{aligned}x^3+ax^2+bx+c&=0\\\Leftrightarrow m(x^3+ax^2+bx+c)&=0\quad(m\neq 0)\end{aligned})]
따라서 계산의 단순화를 위해 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(1)]로 두어 다음과 같이 [math(f(x))]와 [math(f'(x))]를 써도 충분하다.[math(\begin{aligned}f(x)&=x^3+ax^2+bx+c\\f'(x)&=3x^2+2ax+b\end{aligned})]
[math(f(x))]를 [math(f'(x))]로 나눈 몫 [math(Q(x))]와 나머지 [math(R(x))]는 다음과 같다.[math(\begin{aligned}Q(x)&=\dfrac13x+\dfrac19a\\R(x)&=\dfrac29\left(3b-a^2\right)x+c\end{aligned})]
나머지가 상수가 되려면 다음이 성립해야 한다.[math(3b-a^2=a^2-3b=0)]
그런데 이는 도함수 [math(f'(x)=3x^2+2ax+b)]의 판별식 [math(D/4)]와 일치한다. 즉, [math(f'(x)=0)]은 중근을 가져서 [math(f'(x)\geq 0)]이므로 [math(f(x))]는 일대일대응이다. 결국, 방정식 [math(f(x)=0)]의 실근의 개수는 [math(1)]이다.
5.3. 사차함수[편집]
5.3.1. 세 극점을 지나는 포물선[편집]
파일:사차함수방정식.png
사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 극점을 세 개 가질 때
[math(f(x)=f'(x)Q(x)+R(x))]
라 하여 [math(f(x))]를 도함수 [math(f'(x))]로 나눈 몫을 [math(Q(x))], 나머지를 [math(R(x))]라 하면
[math(y=R(x))]
는 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 세 극점을 지나는 포물선의 방정식이다.
증명 [펼치기·접기]
[math(f(x))]가 사차함수이므로 도함수 [math(f'(x))]는 삼차식이며, 이에 따라 [math(Q(x))]는 일차식, [math(R(x))]는 이차 이하의 다항식이어야 한다. 곧, 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\begin{aligned}R(x)&=ax^2+bx+c\\f(x)&=f'(x)Q(x)+ax^2+bx+c\end{aligned})]
한편 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]를 곡선 [math(f(x))]의 세 극점의 [math(x)]좌표라 하면 [math(f'(\alpha)=f'(\beta)=f'(\gamma)=0)]이다. 따라서 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)], [math(x=\gamma)]를 위 식에 대입하면 다음과 같다.[math(\begin{aligned}f(\alpha)&=f'(\alpha)Q(\alpha)+a\alpha^2+b\alpha+c=a\alpha^2+b\alpha+c\\f(\beta)&=f'(\beta)Q(\beta)+a\beta^2+b\beta+c=a\beta^2+b\beta+c\\f(\gamma)&=f'(\gamma)Q(\gamma)+a\gamma^2+b\gamma+c=a\gamma^2+b\gamma+c\end{aligned})]
이 세 식은 결국 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)], [math(x=\gamma)]가 방정식[math(f(x)=R(x))]
의 서로 다른 실근이라는 뜻이므로 [math(R(x))]는 정확히 곡선 [math(f(x))]의 세 극점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))], [math((\beta,\,f(\beta)))], [math((\gamma,\,f(\gamma)))]를 지난다.
한편 [math(a=0)]이면 [math(R(x))]는 일차식이므로 곡선 [math(f(x))]의 세 극점은 한 직선 위에 있어야 하는데 이는 불가능하다. 따라서 [math(a\neq 0)]이고, [math(R(x))]는 이차식, 곧 포물선의 방정식이다.
파일:사차함수방정식4.png
또한, 위 그림과 같이 기하학적으로 [math(f(x))]와 [math(R(x))]는 최고차항의 계수의 부호가 서로 반대일 수밖에 없다.
5.3.2. 두 변곡점을 지나는 직선[편집]
파일:사차함수방정식2.png
사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 변곡점을 두 개 가질 때
[math(f(x)=f''(x)Q(x)+R(x))]
라 하여 [math(f(x))]를 이계도함수 [math(f''(x))]로 나눈 몫을 [math(Q(x))], 나머지를 [math(R(x))]라 하면
[math(y=R(x))]
는 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 두 변곡점을 지나는 직선의 방정식이다.
증명 [펼치기·접기]
[math(f(x))]가 사차함수이므로 이계도함수 [math(f''(x))]는 이차식이며, 이에 따라 [math(Q(x))]는 이차식, [math(R(x))]는 일차 이하의 다항식이어야 한다. 곧, 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\begin{aligned}R(x)&=ax+b\\f(x)&=f''(x)Q(x)+ax+b\end{aligned})]
한편 [math(\alpha)], [math(\beta)]를 곡선 [math(f(x))]의 두 변곡점의 [math(x)]좌표라 하면 [math(f''(\alpha)=f''(\beta)=0)]이다. 따라서 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)]를 위 식에 대입하면 다음과 같다.[math(\begin{aligned}f(\alpha)&=f''(\alpha)Q(\alpha)+a\alpha+b=a\alpha+b\\f(\beta)&=f''(\beta)Q(\beta)+a\beta+b=a\beta+b\end{aligned})]
이 두 식은 결국 [math(x=\alpha)], [math(x=\beta)]가 방정식[math(f(x)=R(x))]
의 서로 다른 실근이라는 뜻이므로 [math(R(x))]는 정확히 곡선 [math(f(x))]의 두 변곡점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]와 [math((\beta,\,f(\beta)))]를 지난다.
파일:사차함수방정식3.png
주의할 점은 앞서 살펴본 삼차함수의 그래프의 두 극점을 지나는 직선의 방정식과는 달리 [math(R(x))]의 기울기가 [math(0)]일 수 있다는 것이다. 삼차함수의 그래프의 두 극점과 달리 사차함수의 그래프의 두 변곡점은 [math(y)]좌표가 같을 수 있기 때문이다. 이 경우는 위와 같이 곡선 [math(f(x))]가 좌우 대칭이다.
파일:사차함수방정식5_수정.png
또한, 위 그림과 같이 기하학적으로 [math(f(x))]와 [math(R(x))]는 최고차항의 계수의 부호가 같을 수도 있고 다를 수도 있으며, 앞서 밝혔듯이 [math(R(x))]의 기울기는 양도 음도 아닌 [math(0)]일 수도 있다.
5.4. 근과 계수의 관계: 두 실근의 평균점의 접선 및 그 외[편집]
근과 계수의 관계(혹은 비에트의 정리)에 의하여, [math(n)]차방정식 [math(f(x)=0)]의 모든 근의 합은 [math(f(x))]의 [math(n)]차항의 계수와 [math((n-1))]차항의 계수에만 의존하므로, 이것이 동일하게 유지된다면 나머지 차수의 항들이 아무리 변하더라도 모든 근의 합은 변하지 않는다. 이러한 성질을 잘 이용하면 다항함수를 각 차수에 따라 더욱 깊이 있게 다룰 수 있다.
5.4.1. 이차함수[편집]
파일:두 실근의 평균점의 접선 일반_이차_수정.jpg
위 그림과 같이 이차함수 [math(f(x))]의 그래프와 직선 [math(g_1(x))]의 두 교점의 [math(x)]좌표가 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\beta)]일 때, 직선 [math(g_2(x))] 및 [math(g_3(x))]와 같이 [math(g_1(x))]와 기울기가 동일하고 곡선 [math(f(x))]와의 교점이 두 개인 직선들은 항상 교점의 [math(x)]좌표의 합이 [math(\alpha+\beta)]이다. 또한 직선 [math(g_4(x))]와 같이 [math(g_1(x))]와 기울기가 동일하고 곡선 [math(f(x))]에 접하는 직선은 그 접점의 [math(x)]좌표가 [math((\alpha+\beta)/2)]이다.
또한 이차방정식 [math(\boldsymbol{f(x)=0})]의 두 실근의 합은 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 꼭짓점의 [math(\boldsymbol x)]좌표의 [math(\boldsymbol2)]배이다.
증명 [펼치기·접기]
이차방정식의 근과 계수의 관계로 간단히 증명할 수 있다. 위 그림을 방정식으로 해석하면, 이차방정식 [math(f(x)-g_1(x))]의 서로 다른 두 실근이 [math(\alpha)], [math(\beta)]라고 할 수 있다. 이때 [math(f(x)-g_1(x))]의 이차항의 계수를 [math(a)], 일차항의 계수를 [math(b)]라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 다음이 성립한다.[math(\alpha+\beta=-\dfrac ba)]
그러면 [math(g_2(x))], [math(g_3(x))], [math(g_4(x))]는 직선 [math(g_1(x))]와 기울기가 같으므로 [math(f(x)-g_1(x))], [math(f(x)-g_2(x))], [math(f(x)-g_3(x))], [math(f(x)-g_4(x))] 모두 이차항의 계수가 같고 일차항의 계수도 같다. 따라서 네 방정식[math(\begin{aligned}f(x)-g_1(x)&=0,\,f(x)-g_2(x)=0\\f(x)-g_3(x)&=0,\,f(x)-g_4(x)=0\end{aligned})]
의 두 실근의 합은 모두[math(-\dfrac ba=\alpha+\beta)]
로 일치할 수밖에 없다. 이 가운데 방정식 [math(f(x)-g_4(x)=0)]은 중근을 가지므로, 그 중근을 [math(x=k)]라 하면 [math(2k=\alpha+\beta)]에서 [math(k=(\alpha+\beta)/2)]가 되는 것이다.
기하학적으로는 다음과 같이 이해하면 쉽다.
파일:두 실근의 평균점의 접선 일반_이차_증명_수정.jpg
위 그림은 [math(i=1,\,2,\,3,\,4)]에 대하여 [math(f(x)-g_i(x))]의 그래프를 그렸을 때 [math(x)]축이 위치하는 곳을 표시한 것이다. [math(f(x)-g_i(x))]는 모든 [math(i)]에 대하여 이차식이며, 다른 것은 상수항밖에 없다. 이차함수의 그래프의 선대칭성에 의하여 두 실근의 합은 항상 [math(\alpha+\beta)]가 될 수밖에 없다. 이때 방정식 [math(f(x)-g_4(x)=0)]의 중근이었던 [math((\alpha+\beta)/2)]는 위 이차함수의 그래프의 대칭축을 나타낸다. 따라서 꼭짓점의 [math(x)]좌표의 [math(2)]배가 바로 두 실근의 합임이 증명되었다.
5.4.2. 삼차함수[편집]
파일:두 실근의 평균점의 접선 일반_삼차.jpg
위 그림과 같이 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프와 [math(y)]축에 수직인 직선 [math(y=t)]의 세 교점의 [math(x)]좌표가 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]일 때, 이 세 상수 중 두 상수의 평균을 나타내는 곡선 [math(f(x))] 위의 점에서 그은 접선은 나머지 한 상수를 나타내는 교점을 지난다.
증명 [펼치기·접기]
삼차방정식의 근과 계수의 관계로 간단히 증명할 수 있다. 위 그림을 방정식으로 해석하면, 삼차방정식 [math(f(x)-t=0)]의 서로 다른 세 실근이 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라고 할 수 있다. 이때, [math(f(x)-t)]의 삼차항의 계수를 [math(a)], 이차항의 계수를 [math(b)]라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 다음이 성립한다.[math(\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac ba)]
또한 논의의 편의를 위하여 다음의 표현을 정의하자.[math(l_{i,\,j}(x)=f'\left(\dfrac{i+j}2\right)\left(x-\dfrac{i+j}2\right)+f\left(\dfrac{i+j}2\right))]
파일:두 실근의 평균점의 접선_삼차_증명2.jpg
즉, 위 그림과 같이 [math(\alpha)]와 [math(\beta)], [math(\beta)]와 [math(\gamma)], [math(\gamma)]와 [math(\alpha)]의 평균점에서 그은 접선의 방정식을 각각 [math(l_{\alpha,\,\beta})], [math(l_{\beta,\,\gamma})], [math(l_{\gamma,\,\alpha})]로 쓰자. 그러면 [math(l_{\alpha,\,\beta})], [math(l_{\beta,\,\gamma})], [math(l_{\gamma,\,\alpha})] 모두 직선의 방정식이므로 일차 이하의 다항식이다.[1] 따라서 [math(f(x)-t)], [math(f(x)-l_{\alpha,\,\beta})], [math(f(x)-l_{\beta,\,\gamma})], [math(f(x)-l_{\gamma,\,\alpha})] 모두 삼차항의 계수가 같고 이차항의 계수도 같다. 따라서 네 방정식[math(\begin{aligned}f(x)-t&=0,\,f(x)-l_{\alpha,\,\beta}=0\\f(x)-l_{\beta,\,\gamma}&=0,\,f(x)-l_{\gamma,\,\alpha}=0\end{aligned})]
의 세 실근의 합은 모두[math(-\dfrac ba=\alpha+\beta+\gamma)]
로 일치할 수밖에 없다. 이에 따라 다음 세 방정식의 실근을 조사하자. 설명에 앞서 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하자.- [math(\boldsymbol{f(x)-l_{\alpha,\,\beta}=0})]
- 직선 [math(y=l_{\alpha,\,\beta})]가 [math(x=\dfrac{\alpha+\beta}2)]에서 곡선 [math(f(x))]에 접함
- 중근 [math(x=\dfrac{\alpha+\beta}2)]를 가짐
- 나머지 한 단일근을 [math(k)]라 하면 [math(2\times\dfrac{\alpha+\beta}2+k=\alpha+\beta+\gamma)]에서 [math(k=\gamma)]
- [math(f(x)-l_{\alpha,\,\beta}=a\left(x-\dfrac{\alpha+\beta}2\right)^2(x-\gamma))]
- [math(\boldsymbol{f(x)-l_{\beta,\,\gamma}=0})]
- 직선 [math(y=l_{\beta,\,\gamma})]가 [math(x=\dfrac{\beta+\gamma}2)]에서 곡선 [math(f(x))]에 접함
- 중근 [math(x=\dfrac{\beta+\gamma}2)]를 가짐
- 나머지 한 단일근을 [math(k)]라 하면 [math(2\times\dfrac{\beta+\gamma}2+k=\alpha+\beta+\gamma)]에서 [math(k=\alpha)]
- [math(f(x)-l_{\beta,\,\gamma}=a\left(x-\dfrac{\beta+\gamma}2\right)^2(x-\alpha))]
- [math(\boldsymbol{f(x)-l_{\gamma,\,\alpha}=0})]
- 직선 [math(y=l_{\gamma,\,\alpha})]가 [math(x=\dfrac{\gamma+\alpha}2)]에서 곡선 [math(f(x))]에 접함
- 중근 [math(x=\dfrac{\gamma+\alpha}2)]를 가짐
- 나머지 한 단일근을 [math(k)]라 하면 [math(2\times\dfrac{\gamma+\alpha}2+k=\alpha+\beta+\gamma)]에서 [math(k=\beta)]
- [math(f(x)-l_{\beta,\,\gamma}=a\left(x-\dfrac{\gamma+\alpha}2\right)^2(x-\beta))]
이 결과를 요약하면 다음과 같다. 삼차방정식의 세 근의 합은 삼차항의 계수와 이차항의 계수에만 의존하므로, [math(f(x))]에서 빼는 일차 이하의 다항식이 어떻게 변하든지 세 근의 합은 같을 수밖에 없다. 이때 기존의 삼차방정식 [math(f(x)-t=0)]의 세 실근 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]에서 두 개를 뽑아 그것들의 평균을 중근으로 갖되 삼차항의 계수와 이차항의 계수가 그대로 유지되는 새로운 삼차방정식을 세우면, 이 방정식의 나머지 한 단일근은 앞서 뽑지 않았던 나머지 한 근이 되는 것이다.[1] 뒤에서 보겠지만 사실 상수식일 수는 없다. 그러나 이 사실이 증명되기 전이므로 우선 '일차 이하의 다항식'이라고만 하자.- [math(\boldsymbol{f(x)-l_{\alpha,\,\beta}=0})]
파일:두 실근의 평균점의 접선 등차수열_삼차_수정.jpg
나아가 위 그림과 같이 세 교점의 [math(x)]좌표 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]가 등차수열을 이룰 경우, 세 교점 및 두 접점의 [math(x)]좌표 역시 등차수열을 이룰 수밖에 없다. 이때, [math(\alpha)]와 [math(\gamma)]의 평균이 정확히 [math(\beta)]이므로, 점 [math((\beta,\,f(\beta)))]에서 그은 접선은 그 자체로 이미 [math(\alpha)]와 [math(\gamma)]을 제외한 나머지, 즉 [math(x)]좌표가 [math(\beta)]인 점을 지나고 있음에 주목하자. 그래서 이 접선은 다른 접선들과는 달리 곡선 [math(f(x))]와의 교점이 점 [math((\beta,\,f(\beta)))] 하나뿐이며, 이 점은 다름 아닌 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 변곡점이다. 이와 같이 직선이 접하면서 교차하는 형태에서는 다음과 같이 세제곱 인수가 도출된다. 이에 대해서는 다항함수/추론 참고.
[math(\begin{aligned}f(x)-l_{\alpha,\,\gamma}&=a\left(x-\dfrac{\alpha+\gamma}2\right)^3\\&=a(x-\beta)^3\end{aligned})]
따라서 방정식 [math(f(x)-l_{\alpha,\,\gamma}=0)]은 삼중근 [math(x=\beta)]를 가지며, [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]가 등차수열을 이루므로 세 근의 합은 다음과 같이 동일하게 유지된다.
[math(\alpha+\beta+\gamma=3\beta)]
즉, 삼차방정식 [math(\boldsymbol{f(x)=0})]의 세 실근의 합은 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 변곡점의 [math(\boldsymbol x)]좌표의 [math(\boldsymbol3)]배이다.
좀 더 정확히 말하면, 일단 [math(l_{\alpha+\gamma})]는 [math(x=\beta)]에서의 접선이므로 [math(f(x)-l_{\alpha+\gamma}=0)]은 [math(x=\beta)]를 중근으로 갖는다. 나머지 한 근의 값을 [math(k)]라 하면
[math(\beta+\beta+k=\alpha+\beta+\gamma)]
이므로 [math(k=\beta)]가 되는 것이다. 즉, 일단은 [math(\beta)]가 중근이라는 것만 아는 상태에서 나머지 한 근의 값을 계산하니 그것 역시 [math(\beta)]라는 것을 나중에 알게 된 것이다. 즉, [math(\beta)]가 중근이라는 사실에서 출발했는데 알고 보면 그것이 중근을 넘어 삼중근이라는 사실을 사후적으로 알게 되었다고 보면 된다.
파일:삼차방정식의 세 근의 합.jpg
나아가 위 그림과 같이 동일한 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프에 대하여 직선 [math(y=g_1(x))], [math(y=g_2(x))]를 그었을 때 발생하는 교점의 [math(x)]좌표가 각각 [math(\alpha')], [math(\beta')] 그리고 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라고 하자. 이때, [math((\alpha',\,f(\alpha')))]만이 접점이다. 그러면 [math(g_1(x))]와 [math(g_2(x))]는 직선의 방정식이므로 일차식인바, 두 방정식
[math(f(x)-g_1(x)=0,\,f(x)-g_2(x)=0)]
의 세 실근의 합은 앞서 밝힌 논리에 따라 동일하다. 즉, [math(f(x)-g_1(x))] 및 [math(f(x)-g_2(x))]의 삼차항의 계수를 [math(a)], 이차항의 계수를 [math(b)]라 하면 위 그림의 경우 다음이 성립한다.
[math(\alpha'+\alpha'+\beta'=\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac ba)]
그밖에도 삼차함수의 그래프와 직선이 그려진 다양한 모양에 대하여 얼마든지 이러한 원리를 적용할 수 있다.
예제 [펼치기·접기] - 직선 [math(\rm AB)]의 방정식을 [math(y=h(x))]라 하면, [math(h(x))]는 일차식이므로 삼차식 [math(f(x)-h(x))]의 삼차항의 계수와 이차항의 계수는 [math(f(x))]와 마찬가지로 각각 [math(1)]과 [math(-6)]이다. 곡선 [math(f(x))]와 직선 [math(h(x))]는 [math(x=0)]에서 교차하고 [math(x=k)]에서 접하므로, 삼차방정식 [math(f(x)-h(x)=0)]은 단일근 [math(x=0)]과 중근 [math(x=k)]를 갖는다. 따라서[math(0+k+k=-\dfrac{-6}1=6)]
에서 [math(k=3)]이다. 참고로 정답은 [math(\displaystyle\int_0^3g(x)\,{\rm d}x=-\dfrac{33}4)]이다.
경기도교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 직접 미분을 통하여 접선의 방정식을 세운 뒤 좌표를 대입하는 과정이 매우 번거롭다. 그러나 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하면 [math(f(x))]의 삼차항과 이차항만 보고도 [math(k)]의 값을 단숨에 알아낼 수 있다.
파일:2023학년도 4월 수학 12번 교육청 해설.jpg
파일:두 실근의 평균점의 접선 특수_삼차.jpg
특히, 위 그림과 같이 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프와 한 점에서 접하고 한 점에서 교차하는 어떤 직선에 대하여 두 점의 [math(x)]좌표를 작은 것부터 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자. 그러면 이 두 상수의 평균을 나타내는 곡선 [math(f(x))] 위의 점에서 그은 접선은 앞서 그었던 직선의 접점을 지난다. 즉, 평균점의 접선은 왼쪽 그림에서는 직선이 [math(x=\beta)]에서 접하므로 [math((\beta,\,f(\beta)))]를, 오른쪽 그림에서는 직선이 [math(x=\alpha)]에서 접하므로 [math((\alpha,\,f(\alpha)))]를 지난다.
이 역시 앞서 설명한 원리에 따라 당연히 성립하는 사실로서, 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 따라 다음이 성립하게 된다.
[math(\begin{aligned}\alpha+\alpha+\beta&=\alpha+\dfrac{\alpha+\beta}2+\dfrac{\alpha+\beta}2\\\alpha+\beta+\beta&=\dfrac{\alpha+\beta}2+\dfrac{\alpha+\beta}2+\beta\end{aligned})]
예제 [펼치기·접기]
이러한 형태의 그래프는 이미 그어진 접선의 두 교점의 '평균점'에서 새로운 접선을 긋는다기보다는, 사실상은 접선을 그었을 때 발생하는 '교점'에서 다시금 또 다른 접선을 긋는 상황에서 많이 출제된다. 이러한 상황을 다루는 문제를 두 개 소개한다.접선 [math(l)]과 [math(m)]의 방정식을 각각 [math(l(x))], [math(m(x))]라 하고, 점 [math(\rm B)]와 [math(\rm C)]의 [math(x)]좌표를 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자. 그러면 위에서 밝힌 논리에 따라 두 삼차방정식[math(f(x)-l(x)=0,\,f(x)-m(x)=0)]
의 세 근의 합은 동일하다. 이때, 직선 [math(l)]은 곡선 [math(f(x))]와 [math(x=0)]에서 접하고 [math(x=\alpha)]에서 교차하므로 전자의 방정식은 중근 [math(x=0)]과 단일근 [math(x=\alpha)]를 가지며, 직선 [math(m)]은 곡선 [math(f(x))]와 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)]에서 교차하므로 후자의 방정식은 중근 [math(x=\alpha)]와 단일근 [math(x=\beta)]를 갖는다. 따라서[math(0+0+\alpha=\alpha+\alpha+\beta)]
이므로 [math(\beta=-\alpha)]임을 쉽게 알아낼 수 있다. 참고로 추가적인 단서를 찾아 추론하면 정답은 ②이다.점 [math(\rm A)]와 [math(\rm B)]에서의 접선의 방정식을 각각 [math({\rm A}(x))], [math({\rm B}(x))]라 하면 세 삼차방정식[math(f(x)=0,\,f(x)-{\rm A}(x)=0,\,f(x)-{\rm B}(x)=0)]
의 세 근의 합은 모두[math(-\dfrac01=0)]
으로 일치한다. 따라서[math(-1+(-1)+b=b+b+c=0)]
에서 [math(b=2)], [math(c=-4)]이다. 이에 따라 [math(f(b)+f(c)=-80)]을 풀면 정답은 [math(a=12)]이다. 엄밀한 설명을 위하여 삼차방정식을 직접 명시했지만 사실상은 무엇이 중근이고 무엇이 단일근인지만 파악하여 마지막 줄만 계산하면 끝이므로 이보다 편리할 수 없을 것이다.
서울특별시교육청에서는 다음과 같은 해설을 대표로 제시했는데, 접선의 방정식을 세운 뒤 그것을 [math(f(x))]와 연립하여 방정식을 푸는 번거로운 과정이 두 번이나 반복되므로 계산이 너무 오래 걸린다.
파일:2013학년도 10월 A형 20번 교육청 해설.jpg
또한 다음과 같이 [math(f(x))]가 이차항이 없는 점을 이용한 다른 풀이도 제시했는데, 앞선 풀이보다는 편리하긴 하나 [math(f(x))]가 이차항이 없는 경우에만 그럴 뿐이므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하는 방법에 비하여 한계가 명확하며, 방정식을 직접 세워야 하는 등 계산 자체도 여전히 더 오래 걸린다.
파일:2013학년도 10월 A형 20번 교육청 해설 2.jpg
한편, 이상에서 알아본 사실을 활용하여 삼차함수#다항함수/공식 문서에서 밝혔던 [math(x)]좌표 간 거리의 성질을 기하학적으로 이해할 수도 있다. 다음 그림을 보자. 설명에 앞서, 위에서 여러 번 보았듯 두 실근의 평균을 [math(x)]좌표로 하는 곡선 [math(f(x))] 위의 점을 편의상 해당 두 실근의 '평균점'이라고 부르기로 하자.
파일:두 실근의 평균점의 접선과 삼차함수의 성질_수정.jpg
위 그림에서, 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프와 세 번 만나는 임의의 [math(y)]축에 수직인 직선에 대하여 항상 초록색 선분이 빨간색 선분보다 길다는 사실을 삼차함수 문서에서 밝혔다. 위 그림의 주황색 점은 한 직선 위의 빨간색 점과 초록색 점을 이은 선분의 중점으로, 항상 극대점보다 [math(x)]좌표가 클 수밖에 없다. 따라서 이때 두 실근의 평균점에서의 [math(f(x))]의 미분계수는 음수이므로, 평균점에서의 접선은 우하향하여 오른쪽에 있는 검은색 점과 만날 수 있게 된다.
만약 초록색 선분과 빨간색 선분의 길이가 같다면, 평균점은 극대점이 될 것이며 평균점에서의 접선의 기울기는 [math(0)]이 되어 검은색 점과 만날 수 없게 되므로 모순이다. 또한 초록색 선분이 빨간색 선분보다 짧다면, 평균점은 극대점보다 왼쪽에 있게 되어 평균점에서의 접선의 기울기는 양수가 되므로 이 경우에도 평균점에서의 접선은 검은색 점과 만날 수 없게 되어 모순이다. 결론적으로, 위에서 설명한 사실이 성립하기 위해서는 초록색 선분이 빨간색 선분보다 길어야만 한다. 즉, 이 형태에서 평균점에서의 접선의 방정식은 상수식일 수 없으며 항상 일차식이다. 앞서 평균점에서의 접선의 방정식을 바로 일차식이라고 단정하지 않고 일차 이하의 다항식이라고 했었지만 이제는 일차식이라고 확신할 수 있는 것이다.
5.4.3. 총정리[편집]
위에서 밝혔듯이 [math(n)]차방정식 [math(f(x)=0)]의 모든 근의 합은 [math(f(x))]의 [math(n)]차항의 계수와 [math((n-1))]차항의 계수에만 의존한다. 따라서 [math(n=2)]일 때만 일차항의 계수가 중요하며, [math(n\geq3)]이면 일차항의 계수는 모든 근의 합에 아무런 영향을 미치지 못한다. 바로 그렇기 때문에 유독 이차함수의 경우에만 직선의 기울기를 동일하게 유지시켜야만 했던 것이다. 이와 달리 삼차 이상의 경우에는 직선의 기울기를 마구 바꾸더라도 세 근의 합을 얼마든지 동일하게 유지할 수 있다는 것이 결정적인 차이점이다.
5.5. 부분분수분해: 영점에서의 함숫값의 역수의 합[편집]
"display: none; display: 문단=inline"를
참고하십시오.
이는 Heaviside cover-up method와 깊은 관련이 있다. 공식과 그에 대한 증명과 예제는 부분분수분해 문서를 참고하자. 이 공식은 본 문서의 4.3.1 문단에서도 증명에 활용된다.
6. 길이와 넓이의 관계[편집]
이 문단의 일부에서는 다항함수/공식/길이 문서와 다항함수/공식/넓이 문서에서 설명한 길이 공식과 넓이 공식의 관계를 설명하므로 해당 내용들을 먼저 참고하라.
6.1. 이차함수·삼차함수[편집]
파일:namu_삼차함수_이차함수_넓이_길이_수정.png
그래프의 개형이 위 그림과 같은 삼차함수 [math(y=f(x))]와 그 도함수 [math(y=f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하고, [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면, [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(3a)]이므로 색칠된 부분의 넓이 [math(S)]와 [math(y=f(x))]의 극댓값과 극솟값의 차 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac{|3a|}{2\cdot 3}(\beta-\alpha)^{3}=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^{3} \\ l&=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^{3}\\ \therefore S&=l \end{aligned} )]
이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분은 [math(x)]축보다 아래에 있으므로 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned} S&=-\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\beta)-f(\alpha)\}\\&=f(\alpha)-f(\beta)\\&=l \end{aligned})]
파일:namu_삼차이차관계_수정.png
개형이 위의 그림과 같은 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프의 극점을 위쪽부터 [math(\rm A)], [math(\rm B)]라 하고, 이 두 점의 접선이 삼차함수의 그래프와 교차하는 점을 위쪽부터 [math(\rm P)], [math(\rm Q)]라 하면 위의 성질에 따라 다음이 성립한다.
[math(S_{1}=S_{2}=S_{3})]
예제 [펼치기·접기] - 먼저 함수 [math(y=3x^2-6x)]의 그래프와 [math(x)]축과의 교점의 [math(x)]좌표를 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자.
함수 [math(y=3x^2-6x)]는 이차함수이므로, [math(A=B)]이려면[math((k-\alpha):(\beta-\alpha)=2:1)]
이어야 한다. 방정식 [math(3x^2-6x=0)]을 풀면 [math(x=0)] 또는 [math(x=2)]이므로 [math(\alpha=0)], [math(\beta=2)]이다. 따라서 [math(k=3)]이다.
2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 97쪽 5번에도 출제되었으며, 같은 원리로 정답은 ③이다.
6.2. 삼차함수·사차함수[편집]
파일:나무_삼차함수_사차함수_넓이_길이_관계.png
그래프의 개형이 위 그림과 같은 사차함수 [math(f(x))]와 도함수 [math(f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자. 한편 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면 [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(4a)]이므로, 색칠된 부분의 넓이 [math(S)]와 접선의 기울기가 [math(0)]인 [math(f(x))]의 그래프 위의 점들의 [math(y)]좌표 간 거리 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} S&=\dfrac{|4a|}{3\cdot 4}(\beta-\alpha)^{4}=\dfrac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^{4} \\ l&=\dfrac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^{4}\\ \therefore S&=l \end{aligned} )]
이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분은 [math(x)]축보다 아래에 있으므로 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned} S&=-\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\beta)-f(\alpha)\}\\&=f(\alpha)-f(\beta)\\&=l \end{aligned})]
파일:삼차함수 사차함수 관계5.png
그래프의 개형이 위 그림과 같은 사차함수 [math(f(x))]와 도함수 [math(f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(0)], [math(3\alpha)]라 하자. 이때 위 그림에서 색칠된 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]에 대하여, 다항함수/공식/길이 문서에서 밝힌 길이 관계에 따라서 [math(f(-\alpha)=f(3\alpha))]이기 때문에 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}S_1&=\left|\displaystyle\int_{-\alpha}^0f'(x)\;{\rm d}x\right|\\&=|f(0)-f(-\alpha)|=f(-\alpha)-f(0)\\=S_2&=\int_0^{3\alpha}f'(x)\;{\rm d}x=f(3\alpha)-f(0)\end{aligned})]
파일:삼차함수넓이관계27 수정.png
나아가 위 그림과 같이 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프에 접점이 변곡점이 아닌 임의의 접선 [math(y=g(x))]를 그었을 때, 곡선 [math(f(x))]와 직선 [math(g(x))]가 [math(x=\beta)]에서 교차하고 [math(x=\gamma)]에서 접한다고 하자. 이때, 각기 다른 색으로 표시된 두 영역은 다음과 같이 정의되며 위 그림과 같이 [math(\boldsymbol{\gamma-\beta=3(\beta-\alpha)})]일 때 마찬가지의 넓이 관계가 성립한다.
[math(\begin{aligned}{\color{#DA3832}S_1}&={\color{#DA3832}\displaystyle\int_\alpha^\beta\{g(x)-f(x)\}\;{\rm d}x}\\{\color{#55AE58}S_2}&={\color{#55AE58}\displaystyle\int_\beta^\gamma\{f(x)-g(x)\}\;{\rm d}x}\end{aligned})]
파일:삼차함수 이차함수 넓이 4 수정.png
나아가 위 그림과 같이 삼차함수의 그래프와 이차함수의 그래프가 왼쪽 점에서 접하고 오른쪽 점에서 교차할 때, 두 점의 [math(x)]좌표를 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하면 [math(\boldsymbol{\gamma-\beta=3(\beta-\alpha)})]일 때 마찬가지의 넓이 관계가 성립한다.
예제 [펼치기·접기] - 먼저 점 [math(A_p)]의 [math(x)]좌표를 구하자. 방정식 [math(x^3=px^2)]을 풀면 [math(x=0)] 또는 [math(x=p)]이고, 점 [math(A_p)]는 제1사분면 위의 점이므로 [math(x)]좌표는 [math(p)]이다. 삼차함수의 그래프와 이차함수의 그래프가 [math(x=0)]에서 접하고 점 [math(A_p)]에서 교차하며 [math(S_p=T_p)]라면 위에서 밝힌 비율 관계에 따라 다음이 성립한다.[math(\begin{aligned}(p-0):(a_p-p)&=3:1\\\rightarrow a_p&=\dfrac43p\\\\\therefore\displaystyle\lim_{p\to\infty}\dfrac{6a_p}{p+1}&=\cfrac{6\times\dfrac43}1=8\end{aligned})]
실제 수능완성에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 일일이 정적분을 계산해야 하므로 공식의 편리함을 실감할 수 있다.
파일:2022 수능완성 수학Ⅰ·수학Ⅱ·미적분Ⅰ 실전 모의고사 2회 19번 정식 해설.png
파일:삼차함수 사차함수 관계.png
그래프의 개형이 위 그림과 같은 사차함수 [math(f(x))]와 도함수 [math(f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하자. 이때, [math(\beta)]는 [math(\alpha)]와 [math(\gamma)]의 평균으로서 점 [math((\beta,\,f'(\beta)))]는 곡선 [math(f'(x))]의 변곡점이다. 한편 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면 [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(4a)]이므로, 색칠된 부분의 넓이 [math(S_1)] 및 [math(S_2)]와 접선의 기울기가 0인 [math(f(x))]의 그래프 위의 점들의 [math(y)]좌표 간 거리 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} S_1=S_2&=\dfrac{|4a|}4(\beta-\alpha)^{4}=|a|(\beta-\alpha)^{4}\\&=\dfrac{|4a|}4(\gamma-\beta)^{4}=|a|(\gamma-\beta)^{4} \\ l&=|a|(\beta-\alpha)^{4}\\ \therefore S&=l \end{aligned} )]
이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분 중 [math(S_1)]은 [math(x)]축보다 위에, [math(S_2)]는 아래에 있으므로 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned} S_1&=\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=f(\beta)-f(\alpha)\\=S_2&=-\displaystyle\int_\beta^\gamma f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\gamma)-f(\beta)\}\\&=f(\beta)-f(\gamma)\\&=l\end{aligned})]
6.3. 사차함수[편집]
파일:사차함수 같은 넓이.jpg
위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 [math(x=\alpha)]에서 [math(x)]축과 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 곡선 [math(f(x))]와 [math(x)]축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의된다.
[math(\begin{aligned}S_1&=\left|\displaystyle\int_\alpha^\beta f(x)\,{\rm d}x\right|\\S_2&=\left|\displaystyle\int_\beta^\gamma f(x)\,{\rm d}x\right|\end{aligned})]
그러면 [math(\boldsymbol{S_1=S_2})]이기 위한 필요충분조건은 [math(\boldsymbol{(\beta-\alpha):(\gamma-\beta)}=3:2)]이다. 또한 이때의 [math(S_1=S_2)]의 값은 다음과 같다.
증명 [펼치기·접기]
계산의 편의를 위하여 위 그림에서 [math(\alpha=0)], [math(\gamma=5k)]라 하여[math(f(x)=ax^2(x-\beta)(x-5k))]
라 하자. 그러면 [math(2(\beta-\alpha):3(\gamma-\beta))]이기 위해서는 [math(\beta=3k)]이면 된다. 따라서 [math(S_1=S_2)]가 되도록 하는 [math(\beta)]의 값이 [math(3k)]뿐임을 증명하면 된다. [math(S_1)]은 [math(x)]축 위쪽에, [math(S_2)]는 [math(x)]축 아래쪽에 해당하므로, [math(S_1=S_2)]이면 다음이 성립한다.[math(\displaystyle\int_0^{5k}f(x)\,{\rm d}x=0)]
이는 곧 [math(\beta)]에 대한 방정식이다. 이를 풀어 보자.[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^{5k}f(x)\,{\rm d}x&=\int_0^{5k}ax^2(x-\beta)(x-5k)\,{\rm d}x\\&=a\int_0^{5k}\left\{x^4-(\beta+5k)x^3+5\beta kx^2\right\}\,{\rm d}x\\&=a\left[\frac15x^5-\frac{\beta+5k}4x^4+\frac{5\beta k}3x^3\right]_0^{5k}\\&=a\left[\frac15(5k)^5-\frac{\beta+5k}4(5k)^4+\frac{5\beta k}3(5k)^3\right]\\&=a\left[\frac15(5k)^5-\frac14(5k)^5-\frac\beta4(5k)^4+\frac\beta3(5k)^4\right]\\&=a\left[\frac\beta{12}(5k)^4-\frac1{20}(5k)^5\right]\\&=a\times(5k)^4\times\left(\frac\beta{12}-\frac{k}4\right)=0\\\\\therefore\frac\beta{12}&=\frac{k}4,\,\beta=3k\end{aligned})]
이 방정식의 유일한 근이 [math(\beta=3k)]이므로 [math(S_1=S_2)]이기 위한 필요충분조건이 [math(\beta=3k)]임이 증명되었다.
이제 이때의 [math(S_1=S_2)]의 값을 구해 보자. 계산의 편의를 위하여 [math(S_1)]을 계산하자.[math(\begin{aligned}S_1&=\left|\displaystyle\int_0^{3k}ax^2(x-3k)(x-5k)\,{\rm d}x\right|\\&=\left|a\displaystyle\int_0^{3k}\left(x^4-8kx^3+15k^2x^2\right)\,{\rm d}x\right|\\&=\left|a\left[\frac15x^5-2kx^4+5k^2x^3\right]_0^{3k}\right|\\&=|a|\times\left|\frac15\times(3k)^5-2k\times(3k)^4+5k^2\times(3k)^3\right|\\&=|a|\times(3k)^3\times\left|\frac15\times(3k)^2-2k\times3k+5k^2\right|\\&=|a|\times(3k)^3\times\left|\frac45k^2\right|=\frac{108|a|}5k^5\quad(\because k>0)\end{aligned})]
이는 [math(\beta-\alpha=3k)]로 놓고 계산한 결과이므로, 앞서 소개한 대로 [math((\beta-\alpha))] 및 [math((\gamma-\beta))]의 꼴로 고치면 다음과 같다.[math(\begin{aligned}\dfrac{108|a|}5k^5&=\dfrac{108}5\times\left(\dfrac{\beta-\alpha}3\right)^5=\dfrac{4|a|}{45}(\beta-\alpha)^5\\&=\dfrac{108}5\times\left(\dfrac{\gamma-\beta}2\right)^5=\dfrac{27|a|}{40}(\gamma-\beta)^5\end{aligned})]
예제 [펼치기·접기] - [math(\begin{aligned}f(x)&=x^4-(1+a)x^3+ax^2\\&=x^2\left\{x^2-(1+a)x+a\right\}\\&=x^2(x-a)(x-1)\end{aligned})]
이고 [math(a)]는 [math(1)]이 아닌 양수이므로 [math(f(x))]의 그래프의 개형은 다음과 같다.
파일:2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 99쪽 5번 해설.jpg
비율 관계에 따라, [math(S_1=S_2)]이기 위해서는 [math(a<1)]이면 [math(a=3/5)], [math(a>1)]이면 [math(a=5/3)]이므로 정답은 [math(3/5+5/3=34/15)]이다.
실제 수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, [math(a<1)]인 경우와 [math(a>1)]인 경우로 나누어 사차함수의 정적분을 두 번이나 계산해야 하므로 매우 번거롭다. 그러나 공식을 사용하는 경우 [math(f(x))]를 인수분해하기만 하면 간단하게 답을 구할 수 있다.
파일:2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 99쪽 5번 수특 해설.jpg
2023학년도 수능특강 수학Ⅱ 97쪽 5번에도 출제되었으며, 같은 원리로 답은 ②이다.
파일:사차함수 같은 넓이_일차.jpg
나아가 위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 일차함수 [math(g(x))]의 그래프와 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 곡선 [math(f(x))]와 직선 [math(g(x))]로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의되며 마찬가지의 관계가 성립한다.
파일:사차함수 같은 넓이_이차.jpg
나아가 위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 이차함수 [math(g(x))]의 그래프와 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 두 곡선 [math(f(x))]와 [math(g(x))]로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의되며 마찬가지의 관계가 성립한다.
파일:사차함수 같은 넓이_삼차.jpg
나아가 위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 삼차함수 [math(g(x))]의 그래프와 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 두 곡선 [math(f(x))]와 [math(g(x))]로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의되며 마찬가지의 관계가 성립한다.
파일:사차함수 같은 넓이_사차.jpg
나아가 위 그림과 같이 상수 [math(\alpha<\beta<\gamma)]에 대하여 두 사차함수 [math(f(x))] 및 [math(g(x))]의 그래프가 [math(x=\alpha)]에서 접하고 [math(x=\beta)] 및 [math(x=\gamma)]에서 교차한다고 하자. 이때 두 곡선 [math(f(x))]와 [math(g(x))]로 둘러싸인 두 영역의 넓이 [math(S_1)]과 [math(S_2)]는 다음과 같이 정의된다.
이때, [math(S_1=S_2)]의 값은 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}S_1&=\dfrac{4|a-a'|}{45}(\beta-\alpha)^5\\=S_2&=\dfrac{27|a-a'|}{40}(\gamma-\beta)^5\end{aligned})]
7. 길이와 기울기의 관계[편집]
이 문단에서는 다항함수/공식/길이 문서에서 설명한 길이 공식과 위에서 설명한 기울기 공식의 관계를 설명하므로 해당 내용들을 먼저 참고하라.
7.1. 이차함수[편집]
파일:이차함수접선_수정2.png
다항함수/공식/길이 문서에서 밝혔듯이, 위 그림에서 색이 같은 선분끼리는 길이가 같다고 했다. 곧, 곡선 [math(f(x))] 위의 세 점의 [math(x)]좌표는 등차수열을 이룬다. 또한, 위 그림에서 직선 [math(y=g_1(x))]와 [math(y=g_2(x))]는 평행하다고 했다. 다시 말해서 이차함수의 그래프 위의 임의의 두 점을 지나는 직선의 기울기는, 이 두 점의 [math(x)]좌표의 평균을 [math(x)]좌표로 하는 곡선 [math(f(x))] 위의 점에서의 접선의 기울기와 같다. 또한, 곡선 [math(f(x))] 위의 세 점의 [math(x)]좌표가 등차수열을 이루면 각 접선의 기울기 역시 등차수열을 이룬다고 했으므로, 최종적으로는 이차함수의 그래프 위의 임의의 두 점을 지나는 직선의 기울기가 두 점에서의 접선의 기울기의 평균과 같음이 여기에서도 확인된 셈이다.
파일:이차함수 길이 기울기 수정.png
다항함수/공식/길이 문서에서 밝혔듯이, [math(f(x))]가 이차함수이면 [math(\overline{\rm BD}=\overline{\rm DE})]라고 했다. 또한 [math(\overline{\rm AD})]의 기울기와 [math(\overline{\rm AE})]의 기울기의 비는 [math(1:2)]라고 했다. 이 두 공식은 다음과 같이 연계할 수 있다.
[math(\left(\overline{\rm AD}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)=-\dfrac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm AB}},\,\left(\overline{\rm AE}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)=-\dfrac{\overline{\rm BE}}{\overline{\rm AB}})]
[math(\begin{aligned}\therefore\left(\overline{\rm AD}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right):\left(\overline{\rm AE}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)&=-\dfrac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm AB}}:-\dfrac{\overline{\rm BE}}{\overline{\rm AB}}\\&=\overline{\rm BD}:\overline{\rm BE}=1:2\end{aligned})]
[math(\left(\overline{\rm CD}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)=\dfrac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm BC}},\,\left(\overline{\rm CE}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)=\dfrac{\overline{\rm BE}}{\overline{\rm BC}})]
[math(\begin{aligned}\therefore\left(\overline{\rm CD}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right):\left(\overline{\rm CE}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)&=\dfrac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm BC}}:\dfrac{\overline{\rm BE}}{\overline{\rm BC}}\\&=\overline{\rm BD}:\overline{\rm BE}=1:2\end{aligned})]
[math(\begin{aligned}\therefore\left(\overline{\rm AD}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right):\left(\overline{\rm AE}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)&=-\dfrac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm AB}}:-\dfrac{\overline{\rm BE}}{\overline{\rm AB}}\\&=\overline{\rm BD}:\overline{\rm BE}=1:2\end{aligned})]
[math(\left(\overline{\rm CD}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)=\dfrac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm BC}},\,\left(\overline{\rm CE}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)=\dfrac{\overline{\rm BE}}{\overline{\rm BC}})]
[math(\begin{aligned}\therefore\left(\overline{\rm CD}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right):\left(\overline{\rm CE}\textsf{\footnotesize의 기울기}\right)&=\dfrac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm BC}}:\dfrac{\overline{\rm BE}}{\overline{\rm BC}}\\&=\overline{\rm BD}:\overline{\rm BE}=1:2\end{aligned})]
8. 넓이와 기울기의 관계[편집]
이 문단에서는 다항함수/공식/넓이 문서에서 설명한 넓이 공식과 위에서 설명한 기울기 공식의 관계를 설명하므로 해당 내용들을 먼저 참고하라.
8.1. 이차함수[편집]
파일:이차함수 삼각형 넓이 최대 3.png
상수 [math(\alpha)], [math(\beta)]와 [math(a<t<b)]인 실수 [math(t)]에 대하여, 위 그림과 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 이차함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 세 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))], [math((\beta,\,f(\beta)))], [math((t,\,f(t)))] 즉 [math(\rm A)], [math(\rm T)], [math(\rm B)]를 이은 삼각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 [math(t)]의 값은 다항함수/공식/넓이 문서에서 밝혔듯이 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 평균, 곧 [math((\alpha+\beta)/2)]이다. 이번에는 기하학적인 방법으로 구해 보자.
삼각형의 넓이는 결국, 선분 [math(\overline{\rm AB})]의 길이에, [math(\overline{\rm AB})]와 점 [math(\rm T)]의 거리를 곱한 뒤 [math(2)]로 나눈 값이다. 이때, 선분 [math(\overline{\rm AB})]의 길이는 정해져 있으므로 결국 삼각형의 넓이는 해당 선분과 점의 거리에 의존한다. 곧, 선분 [math(\overline{\rm AB})]와의 거리가 최대가 되는 점 [math(\rm T)]를 찾으면 되는 것이다. 거리가 최대가 되기 위해서는 기하학적으로 이 점 [math(\rm T)]에서의 곡선 [math(f(x))]에 대한 접선의 기울기가 다음 그림과 같이 선분 [math(\overline{\rm AB})]와 같아야 한다.
파일:이차함수 삼각형 넓이 최대 4.png
위에서 밝혔듯이 두 선이 평행하기 위해서는 점 [math(\rm T)]의 [math(x)]좌표가 나머지 두 점의 [math(x)]좌표의 평균이어야 하므로, 대수적으로 구할 때와 마찬가지로 구하는 [math(t)]의 값은 다음과 같다.
[math(t=\dfrac{\alpha+\beta}2)]
9. 기울기와 방정식의 관계[편집]
9.1. 이차함수[편집]
파일:이차함수 기울기 3 수정.png
앞서 밝혔듯이 이차함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 서로 다른 임의의 세 점 [math((\alpha,\,f(\alpha)))], [math((\beta,\,f(\beta)))], [math((\gamma,\,f(\gamma)))]에 대하여 다음이 성립한다.
[math(\dfrac{\alpha+\gamma}2=\beta\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{f(\gamma)-f(\alpha)}{\gamma-\alpha}=f'(\beta))]
그런데 이는 사실 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해서도 증명된다.
파일:두 실근의 평균점의 접선 일반_이차_수정.jpg
위 그림과 같이 직선의 기울기가 일정하면 이차방정식의 두 근의 합도 일정하므로, 직선이 접하여 그에 따른 이차방정식이 중근을 가질 때는 두 근의 평균을 중근으로 가져야 두 근의 합이 일정하게 유지된다는 것을 앞서 알아본 바 있다.
이와 같이 이차함수는 임의의 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 점이 항상 해당 구간의 정중앙에 존재한다는 사실은 근과 계수의 관계를 통해 이해하는 편이 더욱 직관적이고 유용하다. 그뿐만 아니라 단순히 직접 평균변화율과 순간변화율을 계산하여 두 값이 같음을 보이는 것은 추가적인 통찰이나 응용의 여지를 가져다주기가 어렵기도 하다. 반면 근과 계수의 관계의 테크닉은 삼차함수에 그대로 적용할 경우 요긴한 공식이 많이 도출된다.
10. 관련 문서[편집]
[각주]