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타원 적분
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1. 개요[편집]
elliptic integral · 楕圓 積分
타원 적분은 타원의 둘레를 구하는 과정에서 등장한 적분꼴 함수이며, 초등함수의 원시함수가 초등함수로 표현되지 않는 대표적인 경우이다.[1]
이 문서는 초등적인 방법으로 타원 적분을 다루고 있으므로 타원 적분에 대한 심층적인 내용 정보가 필요하면 이곳(영어)을 참고해볼 것을 권한다.
2. 상세[편집]
2.1. 르장드르 형태[편집]
2.1.1. 제1종 타원 적분[편집]
불완전 제1종 타원 적분(incomplete elliptic integral of the first kind)은 다음과 같이 정의되는 함수이다.
[math(\displaystyle F(\phi,\,k) = \int_{0}^{\phi} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,{\rm d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) )]
특히, [math(\phi=\pi/2)]인 경우를 완전 제1종 타원 적분(complete elliptic integral of the first kind)이라 하며
[math(\displaystyle K(k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,{\rm d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) )]
로 정의된다.
2.1.2. 제2종 타원 적분[편집]
불완전 제2종 타원 적분(incomplete elliptic integral of the second kind)은 다음과 같이 정의되는 함수이다.
[math(\displaystyle E(\phi,\,k) = \int_{0}^{\phi} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,{\rm d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) )]
특히, [math(\phi=\pi/2)]인 경우를 완전 제2종 타원 적분(complete elliptic integral of the second kind)이라 하며
[math(\displaystyle E(k) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,{\rm d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) )]
로 정의된다.
2.2. 야코비 형태[편집]
야코비 형태의 유도는 위의 르장드르 형태에서 라이프니츠 표기법을 이용하여 변수를 치환하는 것부터 시작한다.
[math(\displaystyle t = \sin{\theta} )]
라 놓으면
[math(\displaystyle {\rm d}\theta=\frac{{\rm d}t}{\cos{\theta}}=\frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^{2} }})]
가 되고, 적분 영역은
[math(\displaystyle 0 \leq \theta \leq \phi \,\to\, 0 \leq t \leq x )]
로 바뀐다. 여기서 [math(x = \sin{\phi})]이다.
이것을 이용하여 야코비 형태로 바꿀 수 있다.
2.2.1. 제1종 타원 적분[편집]
야코비 형태의 불완전 제1종 타원 적분은 아래와 같다.
[math(\displaystyle F(x,\,k) = \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}\,{\rm d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) )]
완전한 경우에 대해선, [math(x=1)]인 경우이므로 아래와 같이 표현된다.
[math(\displaystyle K(k) = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2}} }\,{\rm d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) )]
참고로, 완전 제1종 타원 적분은 멱급수로 전개할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} K(k) &=\frac{\pi}{2} \left[1+ \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2}{k^{2n}} \right]\\& =\frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}} \right ]^{2}k^{2n} \end{aligned})]
2.2.2. 제2종 타원 적분[편집]
야코비 형태의 불완전 제2종 타원 적분은 아래와 같다.
[math(\displaystyle E(x,\,k) = \int_{0}^{x} \frac{\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}{\sqrt{1-t^{2} }}\,{\rm d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) )]
완전한 경우에 대해선, [math(x=1)]인 경우이므로 아래와 같이 표현된다.
[math(\displaystyle E(k) = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}{\sqrt{1-t^{2} }}\,{\rm d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) )]
완전 제1종 타원 적분의 경우와 마찬가지로 완전 제2종 타원 적분도 멱급수로 전개할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.
[math(\displaystyle E(k) =\frac{\pi}{2} \left[1- \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2} \frac{k^{2n}}{2n-1} \right] )]
2.3. 초기하함수를 통한 정의[편집]
완전 제1종⋅제2종 타원 적분은 다음과 같이 초기하함수를 사용해 나타낼 수 있다.
2.4. 그래프[편집]
2.4.1. 불완전 타원 적분[편집]
아래는 [math(k^{2}=0.9)]일 때, [math(F(\phi,\,k))]와 [math(E(\phi,\,k))]의 그래프를 [math([0,\,2\pi])] 영역에서 나타낸 것이다.
2.4.2. 완전 타원 적분[편집]
아래는 [math(\displaystyle K(k))]와 [math(\displaystyle E(k))]의 그래프를 [math(\displaystyle 0 \leq k \leq 1)]의 영역에서 나타낸 것이다.
이때, 다음이 성립한다.
2.4.3. 완전 타원 적분의 극한값[편집]
- [math(\displaystyle \lim_{k \to 0} E(k)=\lim_{k \to 0} K(k) =\frac{\pi}{2})]
- [math(\displaystyle \lim_{k \to 1} E(k)=1)]
- [math(\displaystyle \lim_{k \to 1} K(k)= \infty)]
- [math(\displaystyle \lim_{k \to -\infty} E(k) =\infty)]
- [math(\displaystyle \lim_{k \to -\infty} K(k)=0)]
2.5. 관련 공식[편집]
[1]
[math(\displaystyle \begin{aligned} F(-\phi,\,k)&=-F(\phi,\,k) \\ E(-\phi,\,k)&=-E(\phi,\,k) \end{aligned} )]
이 결과는 정의식을 이용하여 도출할 수 있으며, 이는 타원 적분이 곧 홀함수(odd function; 기함수)임을 얻는다.
[2]
[math(\displaystyle \begin{aligned} F(n \pi \pm \phi,\,k)&=2nK(k) \pm F(\phi,\,k) \\ E(n \pi \pm \phi,\,k)&=2nE(k) \pm E(\phi,\,k) \end{aligned} )]
(단, 여기서 [math(n \in \mathbb{N})]이고, 복부호 동순이다.)
[3]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{\phi_{1}}^{\phi_{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,{\rm d} \theta&=F(\phi_{2},\,k)-F(\phi_{1},\,k) \\ \int_{\phi_{1}}^{\phi_{2}} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,{\rm d} \theta&=E(\phi_{2},\,k)-E(\phi_{1},\,k) \end{aligned} )]
[4] 르장드르 항등식
[math(\displaystyle K(k)E(1-k^{2})+K(1-k^{2})E(k)-K(k)K(1-k^{2})=\frac{\pi}{2} )]
3. 야코비 타원 함수[편집]
자세한 내용은 야코비 타원 함수 문서를 참고하십시오.
4. 기타 [편집]
- 타원 적분은 공식적으로 확정된 표기법이 없어 책이나 교재, 수치 계산 프로그램에 따라 다르다. 그렇기 때문에 타원 적분을 사용할 때는 사용하는 매체의 표기가 어떤지를 주의 깊게 살펴본 후 써야 한다.
- 수치 계산 프로그램인 매스매티카는 매개변수 [math(k^{2} := m)]을 사용한다. 이는 해당 프로그램을 기반으로 만들어진 검색엔진인 Wolfram Alpha도 마찬가지이다.
- 타원의 둘레를 구할 때 등장하며, 긴 반지름이 [math(r_{\text{max}})]이고 이심률이 [math(k)]인 타원의 둘레는 [math(4r_{\text{max}} E(k))]가 된다.
- 사인 곡선의 길이를 구할 때도 등장하게 되며, [math(1/4)]주기의 사인 곡선 [math(y(x)=a\sin{bx})]의 길이는
[math( \displaystyle \frac{\sqrt{a^2 b^2 + 1}}{b} \, E \biggl( \sqrt{1 - \frac{1}{a^2 b^2 + 1}} \biggr) )]
이다. 코사인 곡선 또한 사인 곡선의 평행 이동이므로 [math(1/4)]주기의 코사인 곡선의 길이 또한 같다.
5. 관련 문서[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-21 23:53:33에 나무위키 타원 적분 문서에서 가져왔습니다.
[1] 다른 경우로는 지수 적분 함수, 로그 적분 함수, 삼각 적분 함수, 쌍곡선 적분 함수, 프레넬 적분 함수, 오차함수 등이 있다.[2] 즉, 미소 진동이 아닌 일반적 진동 상황을 고려할 때.