부분적분(
部分積分, integration by parts)이란, 두 함수의 곱으로 정의된 함수를
적분하는 기법이다.
미분가능한 연속
함수 [math(f(x))], [math(g(x))]에 대해서 다음과 같이
부정적분,
정적분할 수 있다. 이때 [math(f(x))], [math(g(x))]의
도함수도 각각 연속이어야 한다.
곱의 미분법에서 도출된 공식이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x&=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x \\ \int_{a}^{b} f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x&=\biggl[ f(x)g(x) \biggr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned} )]
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곱의 미분법에 따라 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]=f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d}x}g(x) )]
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양변을 적분하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]\,\mathrm{d}x=\int f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)\,\mathrm{d}x )]
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그런데, 좌변은
[math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]\,\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}[f(x)g(x) ]=f(x)g(x) )]
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이므로 결국 다음 결과를 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle f(x)g(x)=\int f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)\,\mathrm{d}x )]
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위의 결과에서 이항을 하고 [math({\rm d}f(x)/{\rm d}x \equiv f'(x))], [math({\rm d}g(x)/{\rm d}x \equiv g'(x))]로 쓰면 다음과 같은 부분적분 공식이 유도된다.
[math(\displaystyle \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x )]
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"display: none; display: 문단=inline"를
의 [[부분적분/LIATE 법칙#s-"display: inline; display: 앵커=none@"
의
@앵커@@앵커_1@ 부분을
참고하십시오.
부분적분을 빠르게 계산하는 방법이다.
"display: none; display: 문단=inline"를
의 [[세로셈법#s-"display: inline; display: 앵커=none@"
의
도표적분법@앵커_1@ 부분을
참고하십시오.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int f(x)\,\mathrm{d}g(x) &= f(x)g(x) - \int g(x)\,\mathrm{d}f(x) \\ \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d} g(x) &= \biggl[ f(x)g(x)\biggr]_a^b-\int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d} f(x) \end{aligned} )]
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미분계수가 함수인 꼴의 부분적분도 가능하다. 이 경우 미분을 하지 않는다는 차이점이 있다.
[1] 다만 미분계수 쪽의 함수가 미분가능하다면 미분한 상태로 적분식에 곱해주어 일반 적분으로 바꿀 수 있다.
위 식에서 [math(f(x) = u)], [math(g(x) = v)]를 이용해 간략하게 나타낼 수 있다. 주로 영미권 원서에서 이런 표기를 사용한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int u\,\mathrm{d}v&=uv-\int v\,\mathrm{d}u \end{aligned} )]
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"display: none; display: 문단=inline"를
의 [[부분적분/예제#s-"display: inline; display: 앵커=none@"
의
@앵커@@앵커_1@ 부분을
참고하십시오.
7. 고등학교 교과과정에서[편집]
구 교육과정(2009 개정 교육과정)에선
미적분Ⅱ, 현 교육과정(2015 개정 교육과정)에선
미적분에서 자연계열 학생만 배우는 방법이다. 교과서나 EBS교재
[2] 등을 보면 항목 맨 위의 방법으로만 하라고 나와있어 [math( x \ln x )]나 [math( a x \cos x )]꼴의 함수 등을 계산하기 상당히 까다롭다.
세로셈식은 엄연한 정규 방법인데도
로피탈의 정리가 마검이면 이건 가히 엑스칼리버라 할 수 있을 만큼 쉬워진다. 그렇다고 저 정의식을 모르면 안되는 것이, 평가원이 가끔 정의식으로 해야 풀리는 문제를 출제한다.
[3] 2017학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 가형 21번 등.
또한 적분파트의 최종보스로
이게 부분적분 써야 하나 치환적분 써야 하나 헷갈리는 문제도 많다. 공식을 유도하고 기출문제를 풀어 감을 익히는 것이 중요하다. 부분적분은 이과 수학 중 가장
계산이 더럽고 복잡한 연산법이라고 흔히들 이야기하기도 한다.
다항함수의
정적분을 편리하게 계산하는 다음의 공식 역시 부분적분을 통하여 유도된다. 자세한 내용은
다항함수/공식/넓이 참고.
[math(\begin{aligned}\left|\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^m(x-\beta)^n\;{\rm d}x\right|&=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}|a|(x-\alpha)^m(\beta-x)^n\;{\rm d}x\\&=\dfrac{|a|(m!n!)}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}\end{aligned})]
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