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단조 수렴 정리
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1. 개요[편집]
단조 수렴 정리(單調 收斂 定理, monotone convergence theorem, MCT)는 해석학에서 수열의 극한과 관련된 정리 중 하나이다. 증명하는 방법은 완비 공리(completeness axiom)를 이용하여 실수의 완비성(completeness of real number)을 밝혀내는 것이다.
2. 상세[편집]
단조 수렴 정리를 바르게 이해하기 위해서는, 단조수열(monotone sequence)과 유계(bounded)라는 개념을 정확히 이해할 필요가 있다.
일단 무한수열 {an}이 주어져 있다고 하자.
모든 자연수 n에 대하여 [math(a_n \leq a_{n+1})]이면 [math(\{a_n\})]은 (단조)증가수열이다.
모든 자연수 n에 대하여 [math(a_n \geq a_{n+1})]이면 [math(\{a_n\})]은 (단조)감소수열이다.
{an}이 증가수열 또는 감소수열일 때, 단조수열이라고 부른다.
실수 [math(M)]이 존재하고 모든 자연수 n에 대하여 [math(a_n \leq M)]일 때 [math(\{a_n\})]은 위로 유계(bounded above)이다. 이때 [math(M)]을 상계(upper bound)라고 한다.
실수 [math(m)]이 존재하고 모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(a_n \geq m)]일 때 [math(\{a_n\})]은 아래로 유계(bounded below)이다. 이때 [math(m)]을 하계(lower bound)라고 한다.
[math(\{a_n\})]이 위로 유계이면서 아래로 유계일 때, 유계라고 부른다.
"유계이면서 단조인 실수열은 모두 수렴한다(If a real sequence is bounded and monotone, it converges.)"라는 것이 단조 수렴 정리의 내용이다.
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