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글레이셔-킨켈린 상수
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분류
1. 개요[편집]
Glaisher-Kinkelin constant
글레이셔-킨켈린 상수는 다음과 같이 정의되는 상수로, 잉글랜드의 수학자 제임스 위트브레드 리 글레이셔와 스위스의 수학자 헤르만 킨켈린의 이름을 따서 지어졌다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
A &= \lim_{n\to\infty} \frac{\prod_{k=1}^n k^k}{n^{\frac{n^2}2+\frac n2+\frac1{12}} e^{-\frac{n^2}4}} \\
&\approx 1.2824271291
\end{aligned} )]
로그를 취하면 다음과 같다.
2. 항등식[편집]
- 제타 함수의 미분값 중 일부는 이 상수를 이용해 표현할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
&\approx -0.1654211437
\end{aligned} )]
- 일부는 로그 함수를 사용한 급수로도 표현할 수 있다. 여기서 [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다.
- 위 급수에 지수함수를 취하면 다음과 같다. 홀수 버전도 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
&\approx 2.5537126827 \\
\prod_{n=1,3,5,\cdots}^\infty n^{^{\small\frac1{n^2}} } &= \biggl( \frac{A^{36}}{2^4\pi^3e^{3\gamma}} \biggr)^{\!\normalsize\frac{\pi^2}{24}} \\
&\approx 1.5190966334
\end{aligned} )]
- 소수를 사용한 비슷한 식도 있다. 아래에서 [math(p_n)]은 [math(n)]번째 소수이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
&\approx 1.7681980782
\end{aligned} )]
- 로그 감마 함수 관련 적분에도 이 상수가 등장한다.
- 기타 적분
3. 벤더스키-아담칙 상수[편집]
글레이셔-킨켈린 상수는 일반화될 수 있다. 이를 일반화된 글레이셔-킨클린 상수(generalized Glaisher-Kinkelin constants) 또는 벤더스키-아담칙 상수(Bendersky-Adamchik constants)라고 부른다. 미국의 수학자 Victor S. Adamchik와 벨기에의 수학자 L. Bendersky의 이름을 따서 지어졌다. 정의는 복잡하므로 두 논문 링크로 대체한다. 이 논문의 "5. Generalized Glaisher's constants" 문단과 이 논문의 "2 Bendersky-Adamchik constants" 문단을 참고하라.
몇몇 예시는 아래와 같다. 편의를 위해 로그를 취한 상태로 나열했다. 아래에서 [math(A_0 = \sqrt{2\pi})]은 스털링 상수이고 [math(A_1)]이 바로 글레이셔-킨켈린 상수이다.
4. 여담[편집]
- 아직까지 글레이셔-킨켈린 상수와 벤더스키-아담칙 상수가 무리수인지 아닌지에 대한 논의는 없는 실정이다.
5. 관련 문서[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2024-04-10 20:44:13에 나무위키 글레이셔-킨켈린 상수 문서에서 가져왔습니다.