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각속도
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1. 개요[편집]
angular velocity · 角速度
강체 운동을 대표하는 물리량 중 하나로, 기준이 되는 축 주위로 얼마나 빠르게 도는지를 나타낸다.[1]
기호는 주로 [math(\omega)][2] 나 [math(\Omega)][3] 를 쓰며, 단위는 SI 단위 체계로 [math(\mathrm{rad/s})]로 나타낸다. 물론 라디안은 무차원량이라 가끔 [math(\mathrm{s^{-1}})], 초의 역수로 표기하기도 한다. 일상에서는 분당 회전수로 [math(\mathrm{RPM})][4] 을 많이 쓴다.
2. 각 변위[편집]
각속도를 정의하기 전에 각 변위를 살펴볼 필요가 있다.
어떠한 축의 방향을 가진 단위 벡터 [math(\mathbf{\hat n}=a\mathbf{\hat{x}}+b\mathbf{\hat{y}}+c\mathbf{\hat{z}})]를 고려해보자.
파일:namu_각속도_1111.png
이때, 위 그림과 같이 [math(\mathbf{\hat{n}})]을 축으로 [math(\theta)]만큼 회전하는 상황을 고려하자. 이때, 회전 방향은 [math(\mathbf{\hat{n}})]에 대하여 오른손 법칙에 따라 정한다.
초기 벡터 [math(\mathbf{r})]이 나중 벡터 [math(\mathbf{r'})]로 변했다고 할 때, 이는 선형 변환으로 기술되며, 다음과 같은 관계에 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{r'}=\pmb{\mathsf{R}}\mathbf{r} )]
이때, 선형 변환을 기술하는 행렬은
[math(\displaystyle \pmb{\mathsf{R}}= (1-\cos{\theta}) \begin{bmatrix} a^2 & ab & ac \\ ab & b^{2} & bc \\ ac & bc & c^{2} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -c\sin{\theta} & b\sin{\theta} \\ c\sin{\theta} & \cos{\theta} & -a\sin{\theta} \\ -b\sin{\theta} & a\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} )][출처]
[출처] Howard Anton, Robert C. Busby, 《Contemporary Linear Algebra》, pp.290
으로 기술된다. 여기서 변위가 얼마나 변했는지 나타내는 것은 곧
[math(\displaystyle \mathbf{r'-r}=(\pmb{\mathsf{R}}-\pmb{\mathsf{E}})\mathbf{r} )]
이다. [math(\pmb{\mathsf{E}})]는 단위 행렬이다. 즉, 행렬 [math(\pmb{\mathsf{R}}-\pmb{\mathsf{E}} \equiv \pmb{\mathsf{\Theta}})]는 얼마나 회전했는지를 담고있다고 볼 수 있다. 이러한 행렬은 교환 법칙이 성립하지 않기 때문에 벡터로는 취급할 수 없다.
이제 무한소 회전을 고려해보자. [math(\theta \to \delta \theta \ll 1 )]의 변환을 거치면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\delta \theta)} &\approx \delta \theta \\ \cos{(\delta \theta)} &\approx 1 \end{aligned} )]
이기 때문에
[math(\displaystyle \delta \pmb{\mathsf{\Theta}}= \begin{bmatrix} 0 & -c\,\delta\theta & b\,\delta\theta \\ c\,\delta\theta & 0 & -a\,\delta\theta \\ -b\,\delta\theta & a\,\delta\theta & 0 \end{bmatrix} )]
으로 써진다. 이 행렬은 명백한 반대칭 행렬(anti-symmetric matrix)이고, 반대칭 행렬은 벡터로 표현 가능하기에
[math(\displaystyle \begin{aligned} \delta \boldsymbol{\theta}&=\mathbf{\hat{x}}a\,\delta\theta+\mathbf{\hat{y}}b\,\delta\theta+\mathbf{\hat{z}}c\,\delta\theta \\&=\delta \theta \,\mathbf{\hat{n}} \end{aligned} )]
라 하면
[math(\displaystyle \delta \mathbf{r}=\delta \boldsymbol{\theta} \times \mathbf{r} )]
으로 쓸 수 있는 것이다. 여기서 [math(\delta \boldsymbol{\theta})]를 각 변위라 한다. 여기서 중요한 건 [math(\delta \boldsymbol{\theta})]의 방향은 [math(\mathbf{\hat{n}})]의 방향과 일치한다는 점이다. 즉, 각 변위는 회전축 방향을 향한다.
각 변위는 유한한 회전을 다루는 경우 벡터로 다룰 수 없지만 무한소 회전을 다루는 경우 벡터가 된다는 것이 특징이다.
3. 정의[편집]
위에서 도출된
[math(\displaystyle \delta \mathbf{r}=\delta \boldsymbol{\theta} \times \mathbf{r} )]
에서 시간 [math(\delta t)]을 나누고, [math(\delta t \to 0)]의 극한을 취하자.
[math(\displaystyle \lim_{\delta t \to 0}\frac{\delta \mathbf{r}}{\delta t}=\lim_{\delta t \to 0}\frac{\delta \boldsymbol{\theta}}{\delta t} \times \mathbf{r} )]
이는 곧 시간 미분으로 대체되므로
[math(\displaystyle \mathbf{\dot{r}}=\frac{{\rm d} \boldsymbol{\theta}}{{\rm d} t} \times \mathbf{r} )]
여기서 나온 물리량
[math(\displaystyle \frac{{\rm d} \boldsymbol{\theta}}{{\rm d} t} \equiv \boldsymbol{\omega} )]
을 각속도라 정의한다. 즉, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \mathbf{\dot{r}}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} )]
이때, [math(\bf{\dot r}=\bf{v})]이다.
4. 유사 벡터 여부[편집]
일반적인 벡터, 특히 물리학에서는 변위 벡터와 같이 반사에 대하여 부호가 반대되지 않는 벡터와 달리 부호가 반대되는 벡터를 유사 벡터(pseudovector)라 한다.
각속도 또한 유사 벡터인데, 이것은 아래와 같이 쉽게 보일 수 있다.
파일:namu_각속도_2.png
일반적인 벡터의 경우 (a)와 같이 반전시켜도 달라지지 않으나 각속도 벡터의 경우 (b)와 같이 부호가 반대가 된다. 따라서 각속도는 유사 벡터이다.
5. 각가속도[편집]
각가속도(angular acceleration, 角加速度)는 강체의 회전 운동을 대표하는 물리량 중 하나로, 기준이 되는 축 주위로 각속도가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타낸다.
기호로는 주로 [math(\alpha)]를 쓰며, 단위는 SI 단위 체계로 [math(\mathrm{rad/s^2})]로 나타낸다. 물론 라디안은 무차원량이라 가끔 [math(\mathrm{s^{-2}})], 초의 제곱역수로 표기하기도 한다.
각가속도는 각속도의 시간 미분으로 주어진다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\alpha} \equiv \frac{{\rm d} \boldsymbol{\omega}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}^{2} \boldsymbol{\theta}}{{\rm d}t^{2}} )]
각가속도는 곧 각속도의 변화량이므로 한 축을 기준으로 회전하는 물체의 경우 각가속도와 각속도는 평행하다. 그러나 팽이와 같이 세차 운동이 일어나는 경우엔 그렇다고 말할 수 없다.
6. 회전 좌표계에서[편집]
고정 좌표계와 물체와 함께 회전하는 회전 좌표계를 고려하자. 이 회전 좌표계에서 봤을 때, 어떤 벡터 [math(\mathbf{Q})]가 존재한다고 생각하자. 회전 좌표계의 기저를 [math(\mathbf{e}_{j})]라 할 때 이 벡터의 시간 미분을 고려해보자. 고정 좌표계에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{fixed}}&=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\sum_{i}Q_{i}\mathbf{e}_{i} \\&=\sum_{i} (\dot{Q}_{i}\mathbf{e}_{i}+Q_{i}\mathbf{\dot{e}}_{i}) \\&=\biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{rotating}}+\sum_{i}Q_{i}\mathbf{\dot{e}}_{i} \end{aligned} )]
으로 써진다. 여기서 마지막 항의 [math(\mathbf{\dot e}_{i})]를 다음과 같이 어떠한 변환 행렬 [math(\pmb{\mathsf{\lambda}})]가 존재하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\dot{e}}_{i}=\sum_{j} \lambda_{ij} \mathbf{e}_{j} \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있다고 가정해보자.
한편, [math(\mathbf{e}_{i} \boldsymbol{\cdot } \mathbf{e}_{j}=\delta_{ij})](단, [math(\delta_{ij})]는 크로네커 델타이다.) 양변을 시간 미분하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\dot e}_{i} \boldsymbol{\cdot } \mathbf{e}_{j}+\mathbf{e}_{i} \boldsymbol{\cdot } \mathbf{\dot e}_{j}=0 \end{aligned} )]
위에서의 가정을 대입하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k} \lambda_{ik}\mathbf{e}_{k} \boldsymbol{\cdot } \mathbf{e}_{j}+\sum_{k}\lambda_{jk} \mathbf{e}_{i} \boldsymbol{\cdot } \mathbf{ e}_{k}&=\sum_{k} \lambda_{ik}\delta_{jk}+\sum_{k}\lambda_{jk} \delta_{ik} \\&=\lambda_{ij}+\lambda_{ji} \end{aligned} )]
따라서 [math(\lambda_{ji}=-\lambda_{ij})]로, 행렬 [math(\pmb{\mathsf{\lambda}})]는 반대칭 행렬인 것이다. 행렬 [math(\pmb{\mathsf{\lambda}})]를 다음과 같은 꼴로 생각하면
[math(\pmb{\mathsf{\lambda}}=\begin{bmatrix}
0 & \lambda_{3} & -\lambda_{2} \\
-\lambda_{3} &0 & \lambda_{1} \\
\lambda_{2} & -\lambda_{1} &0
\end{bmatrix})]
인데, 즉 행렬의 성분을
[math(\displaystyle \lambda_{ij}=\sum_{k}\varepsilon_{ijk}\lambda_{k})]
로 나타낼 수 있는 것이다. [math(\varepsilon_{ijk})]는 레비-치비타 기호이다. 이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\dot{e}}_{i}=\sum_{jk} \varepsilon_{ijk}\lambda_{k} \mathbf{e}_{j} \end{aligned} )]
이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{i}Q_{i}\mathbf{\dot{e}}_{i}&=\sum_{ijk} \varepsilon_{ijk}Q_{i}\lambda_{k} \mathbf{e}_{j} \\&=\sum_{j}\biggl[ \sum_{ik} \varepsilon_{jki}\lambda_{k}Q_{i} \biggr] \mathbf{e}_{j} \\&=\sum_{j} [\boldsymbol{\lambda} \times \mathbf{Q}]_{j}\mathbf{e}_{j} \\&=\boldsymbol{\lambda} \times \mathbf{Q} \end{aligned} )]
이다. 이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{fixed}}=\biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{rotating}}+\boldsymbol{\lambda} \times \mathbf{Q} \end{aligned} )]
를 얻는다.
이제 남은 것은 [math(\boldsymbol{\lambda})]를 결정하는 것이다. 이를 위해 [math(\mathbf{Q})]가 임의의 벡터라는 점에 착안하여 그것을 위치 벡터 [math(\mathbf{r})]로 설정하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{r}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{fixed}}=\biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{r}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{rotating}}+\boldsymbol{\lambda} \times \mathbf{r} \end{aligned} )]
여기서 만약 우변의 첫 번째 항이 0이라고 가정하면, 즉 이 상황은 회전 좌표계에서 병진 운동이 일어나지 않는 상황과 동치인데, 이는 [math(\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{\omega})]라는 결론에 다다르게 된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore \biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{fixed}}=\biggl( \frac{{\rm d} \mathbf{Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\textsf{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{Q} \end{aligned} )]
즉, 이 식은 회전 좌표계에 있는 벡터를 각 좌표계의 시간 미분을 할 때 서로의 관계식을 나타낸다.
이 논의는 비관성 좌표계를 논할 때 다시 나온다.
7. 물리량과의 관계[편집]
7.1. 회전 운동 에너지[편집]
강체의 운동 에너지는 질량 중심의 병진 운동 에너지와 질량 중심 주위로의 회전 운동 에너지의 합으로 쓸 수 있다. 이때, 회전 운동 에너지는
[math(\displaystyle \begin{aligned} T_{\textsf{rotating}}=\sum_{j}\frac{1}{2}m_{j}(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_{j})^{2} \end{aligned} )]
여기서 [math(\mathbf{r}_{j})]는 질량 중심을 시점으로한 질점 [math(m_{j})]까지의 위치 벡터이다.
이것은 관성 텐서 [math(\pmb{\mathsf{I}})]를 도입하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} T_{\textsf{rotating}}&=\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}^{T} \pmb{\mathsf{I}}\boldsymbol{\omega} \\ &= \sum_{ij}\frac{1}{2} I_{ij} \omega_{i}\omega_{j} \end{aligned} )]
논의를 축을 중심으로 회전하는 강체에 대해 국한 시키면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} T_{\textsf{rotating}}=\frac{1}{2}I\omega^{2} \end{aligned} )]
이다. [math(I)]는 강체의 관성 모멘트이다.
7.2. 각운동량[편집]
마찬 가지로 관성 텐서 [math(\pmb{\mathsf{I}})]를 도입하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{L}&=\pmb{\mathsf{I}}\boldsymbol{\omega} \\&=\sum_{j} I_{ij}\omega_{j} \end{aligned} )]
관성 주축을 회전 축을 하게 되거나 어떤 축을 중심으로 회전하는 강체는 관성 모멘트 [math(I)]를 도입하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{L}&=I\boldsymbol{\omega} \\& \end{aligned} )]
로 쓸 수 있다.
8. 관련 문서[편집]
[각주]