나눗셈 정리 (r1판)
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1. 개요[편집]
Division Algorithm
처음 나눗셈을 배울 때 몫과 나머지가 당연히 존재한다고 생각하고 나눗셈을 한다. 하지만 소인수분해의 존재성과 마찬가지로 몫과 나머지의 존재성은 당연한 결과가 아니며[1] 수학적인 증명이 필요하다. 나눗셈 정리는 우리가 나눗셈을 통해 몫과 나머지를 자연스럽게 구하게 할 수 있게 만들어 주는 정리이다. 자세한 정리는 아래와 같다.
임의의 양의 정수 [math(a,b)]에 대하여, [math(b=aq+r,\,\left(0\leq r<a\right))]를 만족시키는 정수 [math(q,r)]이 유일하게 존재한다.
2. 증명[편집]
크게 존재성과 유일성, 두 파트로 나뉜다.
2.1. 존재성[편집]
집합 [math(A=\left\{b-na|n\in \mathbb{Z},\, b-an\geq0\right\})]을 생각하자. 그럼 집합 [math(A)]는 공집합이 아니고,[2] [math(A\subseteq \mathbb{N})][3]이므로 well-ordering 원리에 의해 집합 [math(A)]에는 가장 작은 원소가 존재한다. 그 원소를 [math(r)]이라 하면 적당한 정수 [math(q)]에 대해 [math(r=b-aq)]로 표시된다. 즉, [math(b=aq+r)]이고 [math(r\geq0)]이다. 만약 [math(r\geq a)]라 가정하면 [math(b-\left(q+1\right)a=b-aq-a=r-a\geq0)]이므로 [math(r-a\in A)]이다. 그런데 [math(a>0)]이므로 [math(r-a<r)]이고, 이는 곧 [math(r)]이 집합 [math(A)]의 가장 작은 원소라는 사실에 모순된다. 따라서 [math(r<a)]이다.
2.2. 유일성[편집]
정수 [math(p,s)]가 [math(b=ap+s,\,\left(0\leq s<a\right))]을 만족시킨다고 하자. 그러면 [math(ap+s=aq+r)]로 부터 [math(\left(p-q\right)a=r-s)]이다. 여기서 만약 [math(p\neq q)]이라고 하면,[4] [math(\left|a\right|\leq\left|p-q\right|\cdot\left|a\right|)][5][math(=\left|\left(p-q\right)a\right|=\left|r-s\right|<\left|a\right|)]가 되어 모순이다. 따라서 [math(p=q)]이어야 하고, 이는 곧 [math(r=s)]를 의미한다. 즉, 몫과 나머지가 유일하게 존재한다.
3. 활용[편집]
이 당연해 보이는 성질을 어떻게 활용하냐면, 정수론에서의 유클리드 호제법이나 다항식에서의 나머지 정리 등, 여러 가지로 활용된다. 유클리드 호제법은 이 나눗셈 정리가 없다면 애초에 성립조차 할 수 없으며, 이 나눗셈 정리의 다항식 버전이 고등학교에서 배우는 나머지 정리가 되기 때문. 또한, 최대공약수의 성질의 증명에서도 활용된다. 즉, 나눗셈 정리는 정수론의 기초 중에 기초라고 할 수 있다.
한편, 현대대수학에서는 이를 다항식, 그것도 사칙연산 모두가 잘 정의되는 체를 계수로 하는 다항식만이 아니라 계수가 환일 경우에 대해서까지 소개한다. 가환환일 경우와 비가환환일 경우를 모두 고려하여 왼쪽곱, 오른쪽곱에 대해 따로 증명할만큼의