영 부등식

1. 개요[편집]

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[math(1/p+1/q=1)]일때, [math(ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q})]가 성립한다.(등호는 [math(a^p = b^q)]일때만 성립)
횔더 부등식을 증명할 때 이용된다.

2. 증명[편집]

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젠센 부등식이 사용되니 참조.

[math(\ln(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}))]에서 자연로그함수는 오목함수이니 젠센 부등식을 이용하면 [math(1/p\ln(a^p)+1/q\ln(b^q))]보다 큼을 알 수 있다.

로그법칙에 의해 [math(1/p\ln(a^p)+1/q\ln(b^q) = \ln{a}+\ln{b})]이다. 즉,

[math(\ln(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}) \geq \ln{a}+\ln{b})]이다.

[math(\therefore ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q})]