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|| [[파일:external/www.math2000.co.kr/m3-22.jpg]] ||
|| 사면체의 모습. ||

== 개요 ==
[[四]][[面]][[體]], Tetrahedron, Tetrahedral

한 개의 꼭짓점에 세 개의 [[면]]이 만나고, 네 개의 [[삼각형]]면으로 이루어진 다면체. 가장 적은 수의 면으로 구성된 다면체인 [[단체(기하학)|단체(simplex)]][* 유클리드 기하학에서는 3개 이하의 면으로는 절대로 다면체를 만들 수 없다.]로, 삼각뿔이라고도 불린다. 면들이 모두 정삼각형일 경우 '''정사면체'''라고 부른다. 정사면체 단독으로만은 [[정육면체]]와 같이 공간을 빈틈 없이 채울 수 없으나, 정팔면체의 면과 정사면체의 면을 이어붙이는 방식으로 함께 배열할 경우 공간을 빈틈 없이 채울 수 있다. 무게중심이 정육면체보다 아래에 있어서 더 안정적이다.

== 정사면체 ==
[Include(틀:정다면체)]

|| [[파일:external/upload.wikimedia.org/Tetrahedron.gif]] ||
|| [[정다면체]]중 하나인 정사면체의 모습. ||

[[正]][[四]][[面]][[體]], Regular tetrahedron[* 복수는 regular tetrahedra]

면들이 모두 정삼각형인 사면체를 특별히 정사면체라고 부른다. 정사면체는 정삼각뿔의 일종이다. 정사면체 다섯 개로 [[4차원]] 도형인 [[정오포체]]를 만들 수 있다. 16개로는 [[정십육포체]]를,  600개로는 [[정육백포체]]를 만들 수 있다.

=== 정사면체에 대한 정보 ===
|| '''단위/특성''' || '''개수''' || '''비고''' ||
|| [[슐레플리 부호]] || || {3,3} ||
|| 꼭짓점(vertex, 0차원) || 4 || ||
|| 모서리(edge), 1차원) || 6 || ||
|| 면(face, 2차원) || 4 || [[정삼각형]] ||
|| 쌍대 || || [[정사면체|정사면체 {3,3}]] ||
|| 포함 관계[* 반드시 이 다면체를 지칭하지는 않으며, 해당 이름이 비슷하게 생긴 고르지 않은 다면체도 포함하는 경우][br]또는 '''다른 이름'''[* 반드시 이 도형과 닮거나 합동인 도형을 지칭하는 이름.] || || 정삼각뿔(Equilateral triangular Pyramid)[br]'''3-[[단체(기하학)|단체]](3-Simplex)'''[br]'''3-[[반초입방체]](3-Demihypercube)''' ||

한 변의 길이가 [math(a)]인 정사면체가 있을 때
 * 높이(height)[* 한 면에서 반대쪽 꼭짓점까지의 거리] = [math(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}a)]
 * 외접구의 반지름 = [math(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{4}a)][*A 정사면체의 각 꼭짓점에서 마주보는 면에 수선의 발을 그으면, 모든 수선이 한 점에서 만난다. 밑면 높이의 일부 및 정사면체 높이의 전체를 이루는 선분으로 구성된 직각삼각형과 옆면 높이의 일부 및 정사면체 높이의 일부를 이루는 선분으로 구성된 직각삼각형은 서로 AA 닮음(직각 및 그 외의 공통각)이다. 정사면체의 이면각은 익히 알려져있다시피 [[역삼각함수|[math(\arccos\left(\dfrac{1}{3}\right))]]]이므로 외접구의 반지름과 내접구의 반지름은 정사면체의 높이를 3:1로 내분한다. 따라서 외접구의 반지름은 정사면체 높이의 [math(\displaystyle\frac{3}{4})]이고, 내접구의 반지름은 정사면체 높이의 [math(\displaystyle\frac{1}{4})]이다.]
 * 모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{4}a)]
 * 내접구의 반지름 = [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{12}a)][*A]
 * 총 모서리 길이(total edge length) = [math(6a)]
 * 겉넓이(surface area) = [math(\sqrt{3}a^2)]
 * 부피(volume) = [math(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}a^3)]≈0.1179a^^3^^

=== 다른 정다면체들과의 관계 ===
 * 정사면체는 특이하게도 정사면체 자기 자신과 쌍대(Dual)[* 어떤 다면체의 꼭짓점을 면으로, 면을 꼭짓점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.] 도형이다. [* 정사면체는 한 꼭지점에 세 개의 정삼각형이 만나기 때문에 {3, 3} 한 꼭지점에서 정삼각형이 세 개 만나는 도형인 자기 자신{3, 3}과 쌍대인 것은 당연하다.][* 정사면체 뿐만 아니라 모든 다각뿔의 쌍대 다면체 또한 자기 자신이다.]
 * 정사면체의 꼭짓점에서 모서리들의 절반 지점에 있는 점들을 이은 4개의 면들로 잘라내면 [[정팔면체]]가 만들어진다.
 * [[정육면체]]의 8개 꼭지점 중에서 서로 이웃하지 않은 꼭짓점을 이은 선분으로 이루어진 도형은 정사면체이다.
 * 정사면체를 단위로 해서 만들 수 있는 [[4차원]] 도형로 [[정오포체]], [[정십육포체]], [[정육백포체]]가 있다.

=== 여담 ===
정다면체들 중에서 유일하게 안정적으로 세워놓았을 때 연직 방향 위를 향하는 면이 없다. 따라서 [[주사위]]를 만들었을 때 면이 아닌 꼭짓점을 기준으로 숫자를 표기하기도 한다.

고등학교 [[기하와 벡터]] 내용이랑 같이 [[수학 영역]]에 수시로 등장해 학생들이 정사면체의 높이, 무게중심, 이면각[* cosθ=1/3. 이 정도는 머릿속에 집어넣자.], 넓이 등등의 정보를 머릿속으로 귀띔하게 되었다.

== 현실에서의 예시 ==
 * [[테트라포드]]
 * 사면체형 [[우유]] 팩. 국내에서는 [[커피포리]]가 유명하다.
 * [[마름쇠]]
 * [[분자]]
  * [[메테인]], 실레인[* SiH4, 규화수소], [[암모니아]], [[암모늄]], 포스핀, [[아르신]][* AsH3, 비화수소] 이온 등 일부 4~5분자 화합물. 5분자 화합물의 경우 중심 원자를 제외한 나머지 원자들이 사면체 모양을 가진다.
 * [[피라밍크스]]
 * [[주사위#s-3.1.4|정사면체 주사위]]
[각주]
[[분류:다면체]]
[include(틀:포크됨2, title=사면체, d=2023-12-02 03:40:41)]
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