무한강하법

1. 개요[편집]

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無限降下法, method of infinite descent
귀류법의 일종으로, '공집합이 아닌 자연수의 부분집합에는 항상 최소 원소가 존재한다' 라는 성질을 이용하여 모순을 이끌어내는 증명법이다.

2. 간단한 설명[편집]

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간단히 설명하자면, 어떤 식이 자연수 [math(n)]에 대해서 성립한다고 가정할 때, [math(n)]보다 작은 값인 [math(n')]에 대해서도 성립함을 보이는 것으로 시작된다. 그러면 [math(n')]보다 작은 [math(n'')]에 대해서도 성립하게 되고, 이보다 작은 값에 대해서도 성립해야 한다.

그런데, [math(n)]보다 작은 자연수의 집합은 유한집합이므로, 이를 계속하다 보면 언젠가는 더 작은 값이 존재할 수 없게 되어 처음의 가정이 틀렸음이 도출된다.

예를 들어 [math(\sqrt 2)]가 무리수임을 증명할 때, [math(\sqrt{2})]가 유리수라고 가정하면 [math(\sqrt{2} = \dfrac{a}{b})]라고 하면, [math(a)], [math(b)]가 모두 짝수가 되어 서로소라는 조건에 어긋남을 보이는 것이다. 사실 서로소라는 조건이 '가장 작은 [math(a)], [math(b)]'라는 조건과 동치인데, 이보다 작은 값이 존재한다는 점을 이용해서 무한강하법으로 해석해도 된다. 사실상 같은 의미이다. 아니면, 증명을 살짝 바꿔 [math(a)], [math(b)] 모두 짝수이므로 [math(a' = \dfrac{a}{2})], [math(b' = \dfrac{b}{2})]로 놓고, [math(\sqrt{2} = \dfrac{a'}{b'})]로 써도 성립함을 보일 수 있다. [math(a)], [math(b)]보다 더 작은 [math(a')], [math(b')]에 대해서 성립함을 보였으므로, 무한강하법을 적용하면 이 가정이 틀렸다는 결론을 얻을 수 있다.

3. 활용[편집]

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• √2가 무리수임을 증명할 때 사용할 수 있다.
• 페르마의 마지막 정리에서 오일러와 페르마가 [math(n=3)]과 [math(n=4)]인 경우를 증명할 때 사용되었다.