각뿔대

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1. 개요[편집]

파일:각뿔대.png
角錐臺(각추대) / frustum

각뿔을 밑면과 평행한 면으로 자른 도형을 말한다. 흔히 각뿔대라고 하며 각추대나 절두체라고도 한다.


2. 특징[편집]

일단 뿔대에 속하기 때문에 뿔대처럼 밑면과 윗면은 항상 닮음이다. 모든 옆면들은 항상 사다리꼴이며, 밑면이 [math(n)]각형이라고 하면 다음 특징을 만족한다.
개수
면[math(n)][1]+[math(2)][2]
꼭짓점[math(2n)]
모서리[math(3n)]

각뿔의 이름을 붙일때는 밑면의 도형 종류에 따라 이름이 붙여진다.


2.1. 부피[편집]

각뿔대의 부피는 원래 각뿔의 부피에서 잘려나간 부분의 부피를 빼주면 된다. 예를 들어 원래 형태의 각뿔의 부피를 [math(V_1)], 잘려나간 부분의 부피를 [math(V_2)]라고한다면, 부피는 다음과 같다.
[math(V=V_1-V_2)]
아니면 더욱 변형시켜보자.
원래 형태의 각뿔의 높이를 [math(h_1)], 잘라 만든 각뿔대의 높이를 [math(h_2)], 밑면의 넓이를 [math(S)]라고 한다면 부피는 다음과 같다.
[math(V=\dfrac{S}3(\dfrac{(h_1)^3-(h_2)^3}{(h_1)^2}))]


2.2. 겉넓이[편집]

각뿔대의 겉넓이는 4개의 사다리꼴의 넓이와 윗면과 밑면의 넓이를 더해주면 된다. 그런데 만약 밑면이 모든 변의 길이가 같은 마름모나 정다각형이라면 옆면들이 모두 평행해진다. 그레서 모든 변의 길이가 같은 [math(n)]각형의 밑면의 넓이를 [math(S_1)], 윗면의 넓이는 [math(S_2)]라고 하고 옆면의 넓이는 [math(s)]라 한다면 다음과 같다.
[math(S=S_1+S_2+ns)]
(단, 밑변의 모든 변의 길이는 같음)

만약 밑면의 변의 길이가 서로 다르다면 옆면의 넓이도 하나하나 구한 다음에 더해줘야 한다.


2.3. 여담[편집]

  • 중국의 피라미드가 각뿔대 모양이다.
  • 각뿔은 오목한 다면체도 있는 방면, 각뿔대는 오목한 다면체가 없다.
  • 각뿔의 대가리를 처낸것이라고 외우면 이름 외우기 쉽다.
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[1] 사다리꼴의 개수[2] [math(n)]각형의 개수