0으로 나누기 (r1 버전으로 되돌리기)

[include(틀:수와 연산)]
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== 개요 ==
[[0]]을 [[제수]]([[除]][[數]])로 하여 어떤 수를 [[나눗셈]]하는 행위. 

== 기본적인 수 체계에서 ==
사람들이 흔히 쓰는 실수나 복소수 정도에서는, 0이라는 수의 특성상 이는 수학적으로 성립되지 않는 개념이다. 0으로 나누기를 허용하게 되면 [[무연근]]을 진짜 근으로 오해하거나, [[1=2]]가 참이 되는 등,[* 단순히 1과 2의 값이 같아진다는 게 아니라 '''무려 모든 수가 같은 값이 된다.''' 심지어 양의 무한대와 음의 무한대마저도 상대적 무한이라면 같은 값이 되어버린다. 0×m=0×n에서 양변을 0으로 나누면 m=n이 성립하므로. 원래 아주 미세하게라도 차이가 있는 서로 다른 수가 서로 같은 값이 되는 그 사실만으로도 수학에서는 [[1=2]]가 [[모순|성립되어버린다.]]] 수학의 기초 그 자체가 무너진다.

쉽게 설명하면 이렇게 된다.
 1. 나눗셈은 나누어지는 수(a)에 나누는 수(b)를 몇 번(q) 뺄 수 있는지 계산하면 된다.
 1. ([[무한]]은 숫자가 아니지만) 그 어떤 수도 0으로는 계속, 그러니까 [[무한]] 번 뺄 수 있다.
 1. 나눈 결과(q)를 나누는 수(b)와 곱하고 [[나머지]](r)를 더하면 나누어지는 수(a)가 되어야 한다.
 1. 하지만 0으로 곱하면 무조건 결과는 0이 되고 나머지는 없다. 
 1. 따라서 이는 성립하지 않는다.

나눗셈이라는 연산은 '뺄셈의 반복'이다. 수식 a÷b=c는 a를 0으로 만들기 위해 a에서 b를 빼는 것을 반복한 횟수가 c이라는 뜻이다.[*예 12÷4=3은 12에서 4를 빼는 것을 3회 반복하면 0이 된다는 뜻이다. 45÷5=9의 경우, 45-5=40, 40-5=35, ..., 이런 식으로 45에서 5를 9번 빼주면 0이 된다는 뜻이다.] 즉, 임의의 수를 0으로 나눈다는 것은 해당 수에서 0을 뺀 횟수를 세는 것과 동일하다. 그런데 0은 [[덧셈]]에 대한 항등원이므로, 아무리 0으로 뺄셈을 해도 값이 변하지 않아 연산의 의미가 없어진다. 예를 들어 1÷0=을 뺄셈으로 풀어 생각하면, 1-0=1, 1-0=1...만 무한 반복하게 되며 이런 식으로는 영원히 답이 나올 수 없다.

=== 관련 특징 ===
 * 0으로 나누기를 정의하지 않기 때문에, [[유리수]], [[실수(수학)|실수]], [[복소수]]의 [[집합]]은 [[사칙연산]]에 대해서 [[닫혀 있다]]고 본다. 임의의 유리수, 실수, 복소수를 0으로 나누었을 때의 결과가 각각 유리수, 실수, 복소수가 아닌 수가 나온다는 약속이 되어 있다면 닫혀 있다고 할 수 없겠으나, 아예 값이 '정의되어 있지 않다'는 것이다.

 * 0을 0으로 나누는 것[math(\displaystyle \left ( \frac{0}{0} \right ))]도 똑같이 정의되지 않는다.[* 아이러니하게도 분모와 분자가 각각 0인 분수는 나누기 기호처럼 생겼다.(...)] 무한 곱하기 0, 무한을 무한으로 나누는 것, 무한에서 무한을 빼기도 같은 원리다. 다만, 이를 변형하여 [math(0\cdot x = 0)]이라는 방정식의 해를 구하는 것이라면, 이는 모든 실수 [math(x)] 에 대해서 성립하므로 '[[부정#s-3]]'이라고 표현한다. [math(0\cdot x = 1)]이라는 방정식에는 해가 하나도 없어서 '[[불능]]'이라고 표현하는 것과 조금 차이가 있다.
  * 반대로 0을 0이 아닌 수로 나누는 건 가능하다. 결과는 무조건 0. 그 까닭은 [math(a)]가 [[0]]이 아닌 [[복소수]]범위 안의 [[숫자|수]]일 때, [math(\displaystyle \frac{0}{a} = b \rightarrow 0 = a \times b)]가 되어 [math(b)]는 반드시 [[0]]밖에 될 수 없기 때문이다.

 * 0에 [[무한대]]를 곱하는 것[math(\displaystyle \left(0 \times \infty\right))]도 일반적으로 정의되지 않는다. 무한대는 수가 아니기 때문이다. 예외적으로 극한에서 정의되는 경우가 있긴 하다. 극한에서[math(\displaystyle \frac{0}{0})] 꼴이나 [math(\displaystyle \frac{\infty}{\infty})] 꼴로 나오는 경우가 있는데, 이때는 진리의 [[로피탈의 정리]]로 해결되는 경우가 대부분이고 아니면 [[테일러 급수]]도 널리 쓰인다.

 * 비슷한 것으로 [[0의 0제곱]]이 있다. 조건에 따라 결과가 달라지는 [[부정형]]이다.

 * 0이 아닌 수를 0으로 나눈 몫은 [[무한대]](∞)도 [[절대적 무한]](Ω)도 아니다. 이유는 양수끼리의 나누기에서 나누는 수가 0에 수렴할수록 양의 절댓값은 커지게 되는데 정작 양수를 음수로 나누려고 하면 나누는 수가 0에 수렴할수록 음의 절댓값이 커지기 때문. 그런데 0은 -0이기도 하기 때문에 0으로 나누는 건 논리적으로 절대 불가능하다.
 {{{#!folding [ 예시 펼치기 · 접기 ]
간단히 설명하자면 100을 -0.01로 나눠보자. -10000이 되는데 양수를 음수로 나누기는 나누는 음수가 0에 수렴할수록 음의 절댓값은 커지게 된다. 그런데 양수를 양수로 나누기 역시나 나누는 양수가 0에 수렴할수록 양의 절댓값은 커지게 된다. 그럼 여기서 0으로 나누기의 [[모순]]이 생긴다.

0으로 나누기가 단순히 [[1=2]]가 맞다는 꼴이 되어버린다 식으로 설명할 수 있는 문제가 아니다. 만약 나누기를 다시 정의해서 나누는 수가 음양 상관없이 0에 수렴할수록 나눌 수가 음수든 양수든 절댓값이 커진다고 생각해보자.

쉽게 설명하자면 -100을 0.01 또는 -0.01로 나누면 -10000이 되고 반대로 100을 0.01 또는 -0.01로 나누면 10000이 되는 것이다. 이런 식의 나누기에서 0으로 나누게 되면 몫은 나눌 수와 음양이 같은 [[절대적 무한]]이어야 하는데 어차피 절대적 무한은 말 그대로 크기의 한계가 절대적으로 존재하지 않기 때문에 [[1=2]]는 틀렸다는 것을 잘 지켰다.[* 일반적으로 [[극한]]에서 설명하는 [[부정형]]은 무한대 곱하기 0이나 1의 무한제곱같은 것에 대해서 답이 여러 개라고 하지만 이는 완벽한 0, 1이 아니라 실제 0, 1과는 [[무한소]]만큼의 차이가 있다는 전제 하에 계산하는 것이다. 즉 아무리 무한대라도 0을 곱하면 '0'이 되고 1의 무한제곱 역시 그냥 '1'이다. 0과 곱했을 때 0이 아닌 수는 크기의 한계가 절대적으로 없는 [[절대적 무한]] 그 하나밖에 없다.] 동시에 1/0보다 100/0이 더 크다고 할 수 없는 이유이기도 하다.[* 100/0은 물론이고 10000/0이든 무한/0이든 마냥 더 크다고 할 수는 없다.]

그런데 실제 나누기에서는 상술했다시피 양수를 음수로 나눌 경우 나누는 수가 0에 수렴할수록 음의 절댓값이 커진다.[* 참고로 [[오버플로]] 개념에서도 비슷한 게 있는데 2147483647에 1을 더하면 -2147483647이 된다. 시계를 생각해보자. 12에 1을 더하면 오히려 1이 된다. 그런데 여기서 수학에서처럼 아무리 크거나 작은 값이라도 다룰 수 있다면 [[절대적 무한]]은 어떨까? 양의 절대적 무한이면서도 동시에 음의 절대적 무한일 것이다. 이건 0으로 나누기와 비슷하다.] [[극과 극은 통한다|결과적으로 0으로 나눈 몫은 양의 절대적 무한이면서도 동시에 음의 절대적 무한일 수도 있다는 뜻이다.]] 0 나누기 0의 값은 그 어떤 수든 정답이 될 수 있는데 이와는 달리 0이 아닌 수를 0으로 나눈 값이 존재한다는 것 자체가 모순이다. 이 세상에 존재하는 모든 수가 결과값이 되는 0 나누기 0의 몫은 있어도 결과값이 2개 이상이면서도 결과값의 개수 자체가 무한하지는 않은 수는 없으니까. 그런데 정작 0이 아닌 수를 0으로 나눈 몫은 결과값이 2개다. 0 나누기 0 같은 부정형을 제외하면 결과값은 항상 1개여야 한다. 그 부정형마저도 결과값에 해당하는 수는 무한히 많다. 이는 결국 양의 무한과 음의 무한이 서로 같은 값이라고 인정하는 꼴이며 동시에 [[1=2]]가 맞다고 인정하는 꼴이다. 더 자세한 것은 [[바퀴 이론]] 문서 참조.

그럼 [[절대적 무한]]으로 나눈 몫은 무엇인가? 0 아닌가? 상식적으로 생각해봐도 1을 3으로 나눈 수와 같이 딱 떨어지는 무한소수일 경우 소수점 뒤에 붙은 숫자의 개수가 절대적으로 무한할 수밖에 없다. 이 경우 예외적으로 0으로 나누는 행위에 대해 허용한다. 하지만 이러한 조건이 주어지지 않는다면 0이 아닌 수를 0으로 나눈 몫이 양의 절대적 무한인지 음의 절대적 무한인지 알 수 없다. 또한 연속확률분포에서도 1과 2 사이의 랜덤의 실수를 뽑을 수 있는데 완전한 확률 0은 일어날 수 없지만 뽑은 실수의 소수점 뒤에는 절대적으로 무한한 개수의 숫자가 있다. 무리수의 개수는 그냥 무한이지 절대적 무한은 아니다. 알고 보면 상당히 심오한 내용이다.}}}
== 수학에서 엄밀한 정의 ==
'0으로 나누기'를 정의하기에 앞서 '나눗셈'을, 그보다 앞서 '수'를 정의할 필요가 있다.

수학에서 '수'를 정의하는 것의 제일 처음은 [[ZFC 공리계]]를 통한 [[자연수]]의 정의이다. 자연수는 같은 자연수간의 덧셈과 곱셈이 정의되는 수이다. 여기서 자연수를 [[정수]]로 확장하면 정수 간의 뺄셈도 정수가 되어 뺄셈의 연산이 추가로 닫히게 되고, 또 다시 이를 확장하여 [[유리수]]를 정의하고 나면 정의에 따라 모든 나눗셈의 결과는 유리수가 되므로 나눗셈의 연산이 닫히게 되어 자유롭게 나눗셈을 수행할 수 있다. 자연수에서도 나눗셈을 정의할 수는 있지만, 이는 '7을 3으로 나누면 몫이 2이고 나머지가 1이다'와 같은 제한적이고 직관적인 수준을 벗어날 수 없으므로 여기에서는 부적절하다. 이런 것들은 [[체(대수학)|체]]의 조건을 만족시키지 않는 [[군(대수학)|군]]에 속한다. 고급 수학으로 가면 '유한 체'나 'p진 정수' 같은 괴이쩍은 것들이 존재하긴 한다. 

이제 유리수나 실수에서 나눗셈은 '그 수의 역원을 곱하는 것'으로 정의된다. 예를 들어 [math( a\div b)] 는 b의 곱셈에 대한 역원 [math( b^{-1})] 를 구해서 이를 a에 곱하는 것과 같다. 즉 [math( a\div b \equiv a\cdot b^{-1})] 이다. 그러므로, 0으로 나눈다는 것은 0에 대한 곱셈의 역원을 구해서 곱하는 것과 같다. 곱셈의 역원은 곱해서 곱셈의 항등원이 되는 수이다. 즉 [math( b\cdot b^{-1} = 1 )] 이다. 이제 0의 역원을 구하기 위해 [math( b^{-1} )] 대신 [math( x )] 로 치환하고, [math( b = 0 )] 을 대입하자. 그러면 [math( 0\cdot x = 1 )] 와 같은 방정식이 나온다. 환의 정의에 의해 [math(0=0+0)]과 분배법칙을 이용하면 [math(0\cdot x = (0+0)\cdot x =  0\cdot x + 0\cdot x)]이 되고 양변에 [math(-(0\cdot x))]를 더하면 [math(0\cdot x =0)]이 되어 [math( 0 = 1 )]이 나온다.

그런데 [math( 0 = 1 )]이 가능한 건 수가 0밖에 없는 0환뿐이다. 왜냐하면 1은 곱셈의 항등원이므로 임의의 [math( x )]에 대해 [math( x = 1\cdot x = 0\cdot x = 0)]이 되어 수가 0밖에 없게 되기 때문이다.[* [math( 0\cdot x = 0 )]이 될 수밖에 없는 이유는 위에서 설명했다.] 따라서 실수체, 복소수체를 비롯하여 0환이 아닌 모든 환에서는 0에 대한 곱셈의 역원이 존재하지 않으므로, 0으로 나눈다는 연산은 나눗셈의 정의에 의해 시행이 불가능하다. 이래서 0환을 자명환(trivial ring), 직역 시 하찮은 환이라 부른다.

수학에서 말하는 [[특이점#s-2.1]]이 대부분 이 경우이다. [math(1/x^a)]([math(a)]는 임의의 양수), [math(\mathrm{Si}(x))], [math(\mathrm{Ci}(x))]([[삼각 적분 함수]]), [math(\mathrm{Ei}(x))]([[지수 적분 함수]], 이상 [math(x=0)]이 특이점), [math(\mathrm{li}(x))]([[로그 적분 함수]], [math(x=1)]이 특이점) 등에서 0으로 나누게 되는 특이점을 찾을 수 있다.


 * [[이원수]] 및 분할복소수에서는 [math(\epsilon^2 = 0, \epsilon \neq 0)]으로 정의하는 멱영원, [math(j^2 = 1, j \neq \pm 1)]로 정의하는 멱일원의 성질로 [math(\epsilon^2 = (1 + j)(1 - j) = 0)]라는 성질을 이용해서 [math(\epsilon^2)] 또는 [math((1 + j)(1 - j))]로 나눌 수 있다. 물론 이렇게 나누고 나면 더 이상 이원수나 분할복소수로 나타낼수 없는 수이므로 별 의미는 없다.[* 엄밀히 말해서 이원수와 분할복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈구조(환)을 망가뜨리지 않고 추가할 방법이 없다. 0으로 나누기가 가능한 환은 0환뿐이기 때문]

 * [[수 체계]]를 바꾸면 0으로 나누기가 성립할 수도 있다. 가령 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere|Riemann Sphere]]에서는 무한이 숫자로 간주되고 이를 이용하여 0으로 나누기를 정의한다.[* 연산도 흔히 보던 것과 다르게 변한다. 0으로 나누기가 가능하려면 환구조를 포기하거나 1=0인 0환이어야 하는데, Riemann Sphere는 [math(\infty=-1\times\infty)]가 되어버리므로 [math(\infty-\infty=\infty+\infty)]나 [math(0\times-\infty=0\times\infty)]가 잘 정의되지 않아 환이 아닌 경우에 속한다.]

=== [[바퀴 이론]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=바퀴 이론)]

== 프로그램에서 ==
||<tablealign=right><tablewidth=300><tablebordercolor=#fff,#000><width=45.1%>{{{#!wiki style="margin: -5px -10px"
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||<rowcolor=#000,#fff> '''OnePlus 계산기에서의 결과''' || '''삼성 계산기에서의 [[Stealing the Diamond#÷0|결과]]'''[* 아예 계산 버튼이 눌리지 않는다. 최신 버전에선 '0으로 나눌 수 없어요.'라는 토스트 메시지가 나오며, 0을 0으로 나누면 '완성되지 않은 수식입니다.'라는 토스트 메시지가 나온다.] ||
[[계산기]]나 [[컴퓨터]] 등에 0으로 나누기를 시키면 "0으로는 나눌 수 없습니다"라는 메시지를 보낸다. 계산기에서 나눗셈은 일반적으로 '뺄셈의 반복'으로 구현했기 때문. 예를 들면 8÷2를 하면 피제수에서 제수를 0보다 작거나 같게 될때까지 계속 뺀다. 즉 8-2-2-2-2... 를 하면 0이 되는데, 이때 -2를 4번 반복했으므로 몫은 4가 되는 식. 이래서 대부분의 경우 계산기나 컴퓨터에서 나눗셈은 몫만 구한다. 근데 만약 0으로 나눈다면 -0을 해야하는데, 어떤 숫자에서 0을 빼봤자 그 숫자는 아무 변화도 일어나지 않는다. 하지만 계산원리상 피제수가 0이 될때까지 제수를 빼야 하니까, 계속 -0을 하는 것으로 [[무한 루프]]가 되어 영원히 끝나지 않으며, 같은 작업만 무한 반복하다가 과열로 물리적인 손상까지 일으킬 수 있다. 그래서 나눗셈을 하기 전에 제수가 0인지 확인하여, 만약 0이면 즉시 division by zero 또는 divided by zero 에러를 출력하게 된다. [[Microsoft Excel|엑셀]]에서는 숫자를 0으로 나눌 시 '#DIV/0!' 이라는 오류가 뜬다. 삼성 갤럭시 S2로 나누기 0을 하면 무한루프 기호를 출력한다.[* [math(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(\frac{n}{x})=\infty)]으로, 제수의 절대값이 작아질 수록 몫이 커지는 데, 이것 때문인 듯하다.] 아이폰은 오류라고 뜬다.[* Siri를 통해서 계산하면 쿠키 몬스터의 비유를 들며 ‘부정’이라는 값을 내놓는다.]

다만 현재의 CPU는 뺄셈의 반복으로 나눗셈을 구현하지 않는다. 나눠야할 수가 크면 더 많은 연산이 필요하기에 오버헤드가 상당해지기 때문이다. 따라서 나눗셈을 빠르게 처리하기 위해 여러 알고리즘이 적용되어 있다. 그리고 아예 0으로 나누기가 인터럽트로 구현되어 있어 0으로 나누기가 발생할 경우 인터럽트가 발생한다. OS는 인터럽트를 적절하게 처리하여 프로세스에 전달한다.

일부 언어에서는 0으로 나누면 에러를 출력하는 대신, 양 또는 음의 [[무한대]](Infinity) 또는 [[NaN]](Not a number)을 결과값으로 리턴하기도 한다.[* c++에서는 부동소수점을 0으로 나눌 경우, inf가 출력되는데 프로그램에서 명시된 0을 '''0에 근접하는 어떠한 수'''로 취급하기 때문이다. 극한의 개념으로 이해하면 쉽다. 이러한 수로 나누면 분모 분자가 한없이 작아지며 음이나 양의 무한대로 발산해서 inf를 리턴하게 되는것이다. 다만, 부동소수점 특성상 정확한 표기가 불가능하여 근삿값으로 치환하기에 극한에 가까운 개념이지만, '''극한은 아니다.''' 왜 극한이 아닌지는 [[극한]]문서 참조.] 어떤 상황에서도 프로그램이 죽지 않는 환경을 만들기 위해서 필요하다. 어떻게 보면 0으로 나누는 문제는 단순히 정의하지 않으면 끝인 수학과는 달리, 0으로 나누어서도 나오는 결과를 특수한 숫자로 반환해야 하고, 또한 이렇게 생긴 특수한 숫자에서 생긴 대수까지 정의해야 하기 때문에 수학자들보다 프로그래머들이 이 문제에 대해 더 깊이 고민하는 경우가 많다.

수학 문제를 풀 때처럼 미리 0이 되는지 판별하고 공식을 적용하듯이, 프로그래밍에서도 똑같이 적용할 수 있느냐고 반론할 수 있지만,
임의의 프로그램이 0이라는 결과를 내는지 프로그램을 직접 돌리기 전에 판별하는 문제는 [[정지 문제]]로 환원될 수 있기 때문에 (If 0일때 무한 루프를 돌리는 알고리즘이 정지하는지 판별하는 문제로 변환할 수 있다) 이런 문제를 프로그래밍으로 해결하는 것은 불가능하다.

|| [youtube(7Kd3R_RlXgc, start=94)] ||
|| 20세기 중반에 사용하던 [[기계식 계산기]]에서 0으로 나눴을 때 발생하는 현상. ||
0으로 나누자 계산기가 멈추지 않고 계속 작동하는 것을 볼 수 있다. 이 계산기에서는 0으로 나누기 오류에서 빠져나가기 위해 "DIV STOP(나눗셈 정지)" 레버가 따로 달려 있다. 고의든 실수든 0으로 나누기를 해서 [[무한 루프]]에 빠지는 상황을 대비하기 위한 것.

과거 [[운영체제]]들에서 프로그램이 0으로 나누기를 시전하면 [[커널 패닉]]에 빠졌다. [[Windows 9x|윈도우 9x]] 계열에서는 오류를 잡지 못하면 [[블루스크린]]이 뜬다.[* 정확히는 그 오류를 잡았건 못 잡았건 블루스크린이 뜨는 것에 가깝다. 당시의 블루스크린은 현재의 블루스크린과 달리(정확히는 2000 부터의 블루스크린) [[커널 패닉]]이 아닌 프로그램 오류로도 뜰 수 있었기 때문. 자세한 건 [[블루스크린]] 참조.] 요즘 운영체제들은 프로그램만 죽고 OS는 영향을 받지 않는다. 
특이한 사례로 [[MS-DOS]]의 편집기에서 특정한 파일을 열려고 하면 '0으로 나누었습니다'라는 오류(?)가 뜨기도 한다.

미 해군의 [[타이콘데로가급 순양함]] CG-48 [[요크타운]] 호도 1997년 엔진 제어 프로그램에서 0으로 나누기 버그가 일어나는 바람에 바다 위에 무려 3시간 동안 고철처럼 떠있기도 했다.

== 창작물에서 ==
 * 창작물에서 이 계산이 개그로 쓰이며, 이 식이 적힌 부분에서 검은 구멍이 생기더니 그대로 블랙홀이 생성되어 온 세상이 그대로 어둠에 휩싸이는 개그가 [[https://youtu.be/oIcevk665II|존재한다.]]
  * [[헨리 스틱민]] 시리즈 중 〈[[Stealing the Diamond]]〉의 선택지 중에 %0이 있는데, 이것을 누르면 계산기가 [[1337]]÷0을 시전하여 [[블랙홀]]이 나온다.
  * [[1337]]을 0으로 나누면 지구가 폭발하는 개그가 있다. [[https://www.youtube.com/watch?v=WgQl8T4W4Ws|(#)]]

 * [[검볼(애니메이션)|검볼]]에서 다윈이 토비아스가 핸드폰에 온 메일을 보지 못하게 하려고 "[[Siri|퀴리]]야 0으로 나누기해"라고 하자 핸드폰에서 블랙홀이 생성되어 토비아스를 빨아들였다... 그리고 리차드가 계산기를 게임으로 착각하고 0으로 나눴더니 컴퓨터가 터지는 장면도 있다.

 * [[테드 창]]의 단편 [[영으로 나누면]]은 0으로 나누지 않고 [[1=2]]임을 증명한 수학자의 이야기다.

 * [[수학 귀신]]에선 주인공 로베르트가 '왜 0으로 나누면 안돼?'라고 굳이 질문하자, 수학귀신인 테플로탁슬은 '그러면 수학이란 세계 자체가 무너져 버린다'라며 0으로 나누기가 왜 안 되는지를 설명한다.

 * 0으로 나누기가 컴퓨터를 바보로 만들어 버린다는 것이 널리 알려지기 시작한 1990년대부터 이는 각종 창작물에서 전자기기나 그에 기반한 로봇, 안드로이드 캐릭터들을 무력화하는 수단으로 취급되었다. 최근에 와서는 현실에서 프로그래머들이 이를 쉽게 해결해 버리자 잘 다뤄지지 않게 되었다. 이 뒤에 등장한 방법은 옛날부터 쓰던 바이러스, [[분산 서비스 거부 공격|프로그램 수백개 실행]], [[EMP]] 등이 쓰인다.

 * 수학자가 만든 카드게임인 [[매직 더 개더링]]에선 [[영으로 나누기]]란 이름으로 등장. 비용이 0만 아니라면 전장이건 스택이건 카드 하나를 손으로 돌려보내고 학습하는 효과를 가지고 있다.
[[분류:수학]][[분류:0]][[분류:오류]]
0으로 나누기 (r1 버전으로 되돌리기)

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