이곳은 개발을 위한 베타 사이트 입니다.기여내역은 언제든 초기화될 수 있으며, 예기치 못한 오류가 발생할 수 있습니다. 문서 보기문서 편집수정 내역 헤비사이드 계단함수 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:특수함수의 목록)] [목차] == 개요 == {{{+1 Heaviside Step Function}}} [[영국]]의 [[전기공학]]자 [[올리버 헤비사이드]]가 연구한 [[함수]]라 하여 명명되었으며, [[특수함수]]의 일종이다. 단위 계단함수(Unit Step Function, [[單]][[位]] [[階]][[段]][[函]][[數]])라고도 하며 정의는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle u(x)\equiv\int_{-\infty}^{x}\delta(t)\,\mathrm{d}t)] }}} 위에서 [math(\delta(x))]는 [[디랙 델타 함수]]이다. 중요성에 비해 표기가 통일되어 있지 않아 [math(H(x))], [math(\theta(x))]로 표기하기도 한다. 이 문서에서는 [math(u(x))]라고 표기했다.[* [[수리물리학#s-2.4.2|G. B. Arfken의 MMP]]에서도 [math(u)] 표기를 쓴다.][* [[Wolfram Alpha|울프럼 알파]]와 같은 울프럼 언어에서는 [math(\theta(x))]를 쓴다.] 구체적인 함숫값은 아래와 같다. 단, [math(x=0)]일 때는 대부분 [math(1/2)]로 정의하나 아래 항목에서와 같이 여러 의견이 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle u(x) = \begin{cases} 1 & (x>0)\\ 1/2 & (x=0)\\ 0 & (x<0) \end{cases} )] }}} 적분 기호 없이 간단하게 정의하자면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(u(x)=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{sgn}\,x+1\right))] }}} 위에서 [math(\mathrm{sgn}\,x)]는 [[부호 함수]]이다. 형태에서 보듯 부호 함수를 절반으로 줄여 놓고 [math(x)]축 위쪽으로 올려 놓은 모양새라 [[홍철 없는 홍철팀|부호 없는 부호 함수]]라고 이해해도 무리가 없을 정도. 아래는 헤비사이드 계단함수의 그래프를 나타낸 것이다. 이때, [math(u(0)=1/2)]로 택하였다. [[파일:나무_헤비사이드_계단함수_그래프.png|width=195&align=center]] == u(0)의 값 == 수학자마다 [math(u(0))]의 함숫값 정의가 달라 논란이 많다.[* 사실 크게 유의미한 논란은 아닌 것이 다수론인 [math(1/2)]을 따르되 굳이 정수로 만들고 싶으면 거기에 [[최대 정수 함수|바닥함수나 천장함수]]만 씌우면 되기 때문이다.] * '''[math(\boldsymbol{u(0)={1}/{2}})] 설''' * 다수설로, 위의 부호 함수로 쉽게 정의할 수 있고 [math({\mathrm{d}}(\mathrm{sgn}\,x)/\mathrm{d}x=2\delta(x))]가 성립한다는 근거를 들어 설명한다. * '''[math(\boldsymbol{u(0)=0})] 설''' * [[집합 판별 함수|자연수 판별 함수]]를 이용해 [math(u(x)=\bold{1}_{\mathbb N}(\mathrm{sgn}\,x))]로 깔끔하게 정의할 수 있기 때문에 선호하는 경우가 있다. * '''[math(\boldsymbol{u(0)=1})] 설''' * 위와 비슷하나[* 이 경우 정의가 [[범자연수]] 집합을 쓴 [math(u(x)=\bold{1}_{\mathbb N_{0}}(\mathrm{sgn}\,x))]로 바뀐다.], [[0으로 나누기]] 같은 골칫거리가 생기지 않아서 선호하는 경우가 있다. 한편 이 함수로 유도되는 발판 함수(ramp function) [math(R(x) = x u(x))][* 헤비사이드 계단함수의 [[원시함수]]이기도 하다.]는 정의상 '''어차피 0으로 곱해져버리기 때문'''에 이런 논란은 없다. == 라플라스 변환 == 헤비사이드 함수의 [[라플라스 변환]]은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \displaystyle \mathcal{L}\{u(t-a)\}(s) &= \int_{0}^{\infty}e^{-st}u(t-a){\,\mathrm{d}}t \\&=\int_{a}^{\infty}e^{-st}{\,\mathrm{d}}t \\&= \biggl[\frac{e^{-st}}{-s}\biggr]_{a}^{\infty}\\&=\frac{e^{-as}}{s} \end{aligned})] }}} 여기서 [math(a \ge 0)]이다. 한편, [math(u(t))]의 경우 간단히 [math(\mathcal{L}\{u(t)\}(s)=s^{-1})]이 된다. == 관련 문서 == * [[지시 함수]] [[분류:비초등함수]]캡챠되돌리기