문서 보기문서 편집수정 내역 중간값 정리 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:다른 뜻1, other1=현대자동차그룹에서 사용하는 무단변속기 IVT, rd1=CVT)] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[中]][[間]][[値]] [[定]][[理]] / intermediate value theorem}}} [[해석학(수학)|해석학]]의 한 이론. 구간에서 연속인 함수에 대해서 구간에 대한 함수의 상도 구간으로 나온다는 정리이다. == 명칭 개정 문제 == 대한수학회 기준으로는 '정리'만큼은 중간값 정리 또는 중간값(의) 정리로 표기되어있다(사잇값 정리 또는 사이값 정리는 미인정). 단, '값'에 한정하여서는 사잇값도 인정하고 있다. [[2007 개정 교육과정]]까지는 '중간값의 정리'라고 하였으나 [[2009 개정 교육과정]]에 '사이값 정리'라고 바꿔 표기하였다. 단, 사전적으로는 '사잇값'이라고 [[사이시옷]]을 써야 [[https://www.korean.go.kr/front/onlineQna/onlineQnaView.do?mn_id=216&qna_seq=107506|맞으며]] 2009 개정 교육과정 최종수정본에는 '사잇값 정리'라고 되어있긴 하다. [[2015 개정 교육과정]]에서는 '사잇값 정리'로 표기되고 있다. == 증명 == 함수 [math(f)]가 [math(\left[a,b\right])]에서 연속이고 [math(k)]가 [math(f\left(a\right))]와 [math(f\left(b\right))]사이의 임의의 값이라 하자. 당연히 [math(f\left(a\right)\neq f\left(b\right))]임을 가정한다. [math(f\left(a\right)0)]가 존재하여 [math(\forall x\in\left[a,a+\delta _1\right) : f\left(x\right)0)]가 존재하여 [math(\forall x\in\left(b-\delta _2,b\right]: f\left(x\right)>k)]이다.[* f가 연속임을 이용하여, ε=k-f(a)로 두면 된다.] 따라서 [math(a0 )]가 존재하게 되어 모순이므로, [math(f\left(c\right)\geq k)]이다. 한편 상한(supremum)의 정의에 의해 임의의 [math(\epsilon >0)]에 대하여 [math(c-\epsilon0)]에 대하여 [math(f\left(c\right)각 자연수 [math(n)]에 대하여, * [math(\displaystyle f(\frac{x_n+y_n}{2})\leq k)]라면 [math(\displaystyle x_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2}, y_{n+1}=y_{n})] * [math(\displaystyle f(\frac{x_n+y_n}{2})> k)]라면 [math(\displaystyle x_{n+1}=x_{n}, y_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2})] || 그렇다면 이 폐구간열은 축소 폐구간열이 되며, 따라서 축소구간정리에 따라 [math(\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_{n}\neq \emptyset)]이며, 이 구간의 길이. 즉 측도는 계속해서 반으로 줄어드므로 그 극한은 0. 공집합이 아닌데 측도가 0인 집합은 점집합이므로 즉 이 구간열의 무한교집합은 어느 한 점을 가지는 단원소집합이 된다. 그 값을 [math(\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_{n}=\{c\})]라고 하자. 또한, [math(\forall n \in \mathbb{N})]에 대하여 [math(f(x_n)\leq k < f(y_n))]에, [math(a\leq x_n\leq c[math(f)]가 연결집합 [math(D)]에서 정의된 연속인 실함수일 때, [math(a,b\in f\left(D\right))]이고 [math(a모든 [math(p\in D)]에 대하여 [math(f\left(p\right)\neq c)]이면 [math(f\left(p\right)>c)] 또는 [math(f\left(p\right)c\right\},V=\left\{p\in D:f\left(p\right)0)]이고 나머지 점의 함수값은 0이 된다. 점 D와 마주보는 점을 B라 하면 [math(f\left(B\right)-f\left(D\right)<0)]이고 테이블을 180도 돌리면 A와 C, B와 D의 위치가 바뀌고 [math(f\left(B\right)-f\left(D\right)>0)]이 된다. 또한 [math(f\left(B\right)-f\left(D\right))]의 값은 연속적인 값이므로 중간값의 정리에 의해 [math(f\left(B\right)-f\left(D\right)=0)], 즉 테이블이 흔들리지 않게 되는 점이 180도 회전할 때 적어도 하나 존재하게 되는 것이다. 같은 원리로 임의의 순간 지표면 어딘가에는 지구 반대편과 기온과 기압이 같은 위치가 존재한다는 걸 보일 수도 있다. 지구 반대편과의 온도차를 [math(f)]라 두면 [math(f)]는 연속이고 지구를 반바퀴 돌면 [math(f)]의 값이 -1이 곱해지므로 [math(f=0)]인 지점이 존재할 것이다. 그런데 지표면은 3차원 지구의 2차원 표면이므로 [math(f>0)]인 구간과 [math(f<0)]인 구간을 나누는 [math(f=0)]인 고리가 존재하거나 항상 [math(f=0)]이거나 할 것이다. 이 고리 위에 지구 반대편과의 기압차 [math(g)]를 정의하면 같은 방법으로 [math(g=0)]인 지점이 있음을 보일 수 있다. === 중간값 정리로부터 완비성 공리의 유도 === 완비성 공리로부터 중간값 정리의 유도는 많은 책에 나와있지만 중간값 정리로부터 완비성 공리를 유도할 수도 있다. [math(S)]를 실수의 부분집합으로써 위로 유계이고 공집합이 아닌 임의의 집합이라고 하고 상한이 존재하지 않는다고 가정하자. 실함수 [math(f)]를 [math(x)]가 [math(S)]의 상계인 경우에 [math(f(x)=1)], [math(x)]가 [math(S)]의 상계가 아닌 경우에 [math(f(x)=0)]이라고 하자. [math(x)]가 [math(S)]의 상계가 아니라면 [math(x)]보다 큰 [math(S)]의 원소 [math(y)]가 존재하고 [math(\delta=y-x)]라고 하면 [math((x-\delta,x+\delta))]에서 [math(f(x)=0)]이므로 [math(x)]에서 연속이며 [math(x)]가 [math(S)]의 상계라면 [math(x)]는 최소상계가 아니므로 [math(x)]보다 작은 [math(S)]의 상계 [math(y)]가 존재한다. 이제 [math(\delta=x-y)]라고 하면 [math((x-\delta,x+\delta))]에서 [math(f(x)=1)]이므로 [math(x)]에서 연속이다. 또한 [math(S)]가 공집합이 아니고 유계인 실수의 부분집합이므로 [math(f(a)=1)]인 [math(a)]와 [math(f(b)=0)]인 [math(b)]가 존재한다. 따라서 중간값 정리에 의해 [math(f(x)=\dfrac{1}2)]인 [math(x)]가 존재하고 이는 모순이다. 따라서 [math(S)]는 상한을 가진다. == 다르부의 중간값 정리 == Darboux's theorem 일반적으로 중간값 정리는 연속함수에 대해서 성립하지만, 연속함수가 아니면서 중간값 정리의 성질을 만족시킬 수 있다. 이러한 함수들을 다르부 함수(Darboux Function)이라고 하며 대표적인 예로 도함수 [math(f'\left(x\right))]가 있다. 다르부의 정리는 다음과 같다. >함수 [math(f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R)]이 열린구간 [math(\left(a, b\right))]에서 미분가능하고, 극한값 [math(\displaystyle \lim_{h\to 0+} {f\left(a+h\right)-f\left(a\right)\over h})], [math(\displaystyle \lim_{h\to 0-} {f\left(b+h\right)-f\left(b\right)\over h})]이 모두 존재한다고 하자. 이때 각 극한값을 [math(f'\left(a\right))], [math(f'\left(b\right))]로 나타내자. 그러면 [math(f'\left(a\right)\ne f'\left(b\right))]일 때 [math(f'\left(a\right))]와 [math(f'\left(b\right))]사이에 있는 임의의 실수 [math(k)]에 대하여 [math(f'\left(c\right)=k)]를 만족하는 실수 [math(c\in \left(a,b\right))]가 존재한다. 증명 [[수학에서 쓰이는 약어들|WLOG]] [math(f'\left(a\right)0)]이다. 따라서 [math(M\in \left(a, b\right))]이다. 그러면 페르마의 임계점 정리[* 미분가능한 함수의 극대/극소점에서의 미분계수는 항상 0이다.]에 의해 [math(g'\left(M\right)=f'\left(M\right)-k=0)]이므로 [math(f'\left(M\right)=k)]이다.|}} 다르부 함수의 대표적인 예시로 [math(\displaystyle f\left(x\right)=x^2\sin{\frac{1}{x}}\left(x\ne 0\right), f\left(0\right)=0)]의 도함수가 있다. 이 함수의 도함수는 x=0에서 불연속이지만, 중간값정리의 성질을 만족한다. == 중등 교육 == 고등학교 수학 [[미적분]] 파트, 정확하게는 미분의 바로 전 파트인 함수의 극한 마지막 부분에서 처음 보게되는 정리중 하나. 과거엔 중간값 정리라고 하였으나, 교육과정이 개편되면서 사잇값 정리로 바뀌었다. 중등 교육에서는 다소 소개하는 방법이 위와 다르다. >함수 [math(f\left(x\right))]가 닫힌 구간 [math(\left[a, b\right])]에서 연속이고 [math(f\left(a\right) \neq f\left(b\right))]일 때, [math(f\left(a\right))]와 [math(f\left(b\right))] 사이의 임의의 값 [math(k)]에 대하여 [math(f\left(c\right)=k)]인 [math(c)]가 열린 구간 [math(\left(a,b\right))]내에 적어도 하나 존재한다. 이 정리 바로 앞에 나올 [[최대·최소의 정리]]와 마찬가지로 고교과정에선 증명을 하지 않고 그냥 사용한다. 사실 증명을 하려 해도 할 수 없는게, 대학 해석학 수준에서 배울 여러가지 내용[* 실수의 완비성에서 유도되는 상한정리, 혹은 집합론의 연결집합에 대한 정리등을 이용한다.]을 이용해서 증명하기 때문이다. * [[7차 교육과정]]: [[수학Ⅱ(7차)|수학Ⅱ]] * [[2007 개정 교육과정]]: [[미적분과 통계 기본]], [[수학Ⅱ(2007)|수학Ⅱ]] * [[2009 개정 교육과정]]: [[미적분Ⅰ(2009)|미적분Ⅰ]] * [[2015 개정 교육과정]]: [[수학Ⅱ(2015)|수학Ⅱ]] == 관련 문서 == * [[해석학(수학)]] * [[연속함수]] * --[[CVT]]--[* 자동차 트랜스미션 종류중에 ivt(cvt가 있다.)] [[분류:해석학(수학)]]캡챠되돌리기