이곳은 개발을 위한 베타 사이트 입니다.기여내역은 언제든 초기화될 수 있으며, 예기치 못한 오류가 발생할 수 있습니다. 문서 보기문서 편집수정 내역 정적분 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:관련 문서, top1=이상적분)] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == || [youtube(rfG8ce4nNh0)] || 닫힌 구간에서의 함수의 그래프 혹은 좌표축 따위로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 계산이다. 정적분을 사용하면, 대부분의 모양의 넓이를 구할 수 있다.[* '모든 도형'이라는 표현 대신, '대부분의 도형'이라 밝힌 것은 부정적분을 [[초등함수]]로 표현 불가능한 함수 [math( \mathrm{sinc}\,x )], [math(e^{-x^2})], [math(x^x)] 등이 존재하기 때문이다. 이런 경우에는 피적분함수를 테일러 급수로 전개한 후에 미적분학의 기본정리를 적용하는 등의 기교가 필요하다. 게다가, [[집합 판별 함수|디리클레 함수]]처럼 리만 적분 불가능한 함수도 있고, 심지어는 [[볼테라 함수]]의 도함수는 부정적분이 존재하는데도 리만 적분이 불가능하다. 또한, [math(\displaystyle e^{-x^2})]의 경우 [[가우스 적분|극좌표를 취한 뒤 야코비안 변환을 통하여]] 어찌저찌 넓이를 구할 수는 있다.] 계산하면 [[적분상수]]가 나와서 식이 완결되지 않는 [[부정적분]]과 달리, 이런 적분 상수가 나타나지 않는다는 점에서 부정적분의 반의어로 간주된다. == 정의[* 이 문단에서는 정적분을 리만 왼쪽 합 및 리만 오른쪽 합을 통해 유도하기로 한다.][anchor(리만 합)] == 닫힌 구간 [math([a,\,b])]에서 [[유계]][* 고등학교 2학년에 처음 정적분을 배울 때는 유계의 개념을 모르고 다루는 함수도 지극히 한정되어 있으므로 그냥 ''''연속'''일 때'로 배운다.][* 단, 닫힌구간에서 정의된 유계함수라고 해서 모두 리만적분 가능한 것은 아니다. 고등학교 수준에서는 성질이 매우 좋은 함수만 다루지만, 리만 적분이 안 되는 함수들도 있다. 닫힌구간에서 정의된 유계 함수가 리만 적분 가능할 필요충분조건은 거의 모든 점에서 연속인 것이다. '거의'인 이유는 적분구간 내에 불연속점이 있어도 '[[코시 주요값]]'을 취하는 방법으로 리만 적분할 수 있기 때문이다. 리만 적분이 안 되는 경우, [[르베그 적분]]을 할 수 있다. 이러한 예로 [[디리클레 함수]] [math({\bold 1}_{\mathbb Q}(x))]가 있다.]인 함수 [math(f(x))]를 생각해보자. 이때, 구간 [math([a,\,b])]를 [math(n)]등분하여 [math(a)]부터 [math(b)]까지의 각 분할점을 [math(a=x_{0})], [math(x_{1})], [math(x_{2})], [math(\cdots)], [math(x_{n}=b)]라 하자. 여기서 [math(1 \leq k \leq n)]인 각각의 자연수 [math(k)]에 대하여 [math(x_{k-1} \leq x_{k})]가 성립한다고 하자. 이때, 각 소구간 [math([x_{k-1},\,x_{k}])]에서 해당 구간의 오른쪽 끝점 [math(x_{k}=a+k \Delta x)]와 [math(\Delta x={(b-a)}/{n})]에 대하여 다음의 합을 정의하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} R_{n}&=\sum_{k=1}^{n} f(x_{k})\Delta x \\ &=\sum_{k=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n}k \right)\frac{b-a}{n} \end{aligned})]}}} 이것을 '''리만 오른쪽 합'''이라 한다. 비슷하게 각 소구간의 왼쪽 끝점 [math(x_{k-1})]에 대하여 다음과 같이 '''리만 왼쪽 합'''을 정의할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} L_{n}&=\sum_{k=1}^{n} f(x_{k-1})\Delta x \\&=\sum_{k=0}^{n-1} f(x_{k})\Delta x \\ &=\sum_{k=0}^{n-1} f\left(a+\frac{b-a}{n}k \right)\frac{b-a}{n} \end{aligned})]}}} [math(n \to \infty)]의 극한을 취하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} L_{n}=\lim_{n \to \infty} R_{n}=S \end{aligned})]}}} 가 성립한다. 곧, '''리만 왼쪽 합과 리만 오른쪽 합의 극한은 일치한다.''' 이를 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} S=\int_{a}^{b} f(x)\,{\rm d}x \end{aligned})]}}} 로 쓰고 구간 '''[math(\boldsymbol{[a,\,b]} )]에서의 함수 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 정적분'''이라 정의하며, 기호 [math(\int)]은 인티그럴 또는 인테그랄이라 읽는다. 또한 [math(a)], [math(b)]를 각각 '''하한(아래끝)''', '''상한(위끝)'''이라 한다. 일반적[* 다만 모든 함수가 적분 가능한 것은 아님에 유의해야 한다.]으로 무한히 분할했을 때 리만 왼쪽 합과 리만 오른쪽 합은 같게 되는데 이를 초등적으로 증명하여 보자. 두 합의 차는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} R_{n}-L_{n}&=\sum_{k=1}^{n} \{ f(x_{k})-f(x_{k-1}) \} \Delta x \\&=\{ f(x_{n})-f(x_{0}) \} \Delta x \\&= \dfrac{(b-a)\{ f(b)-f(a) \}}{n} \end{aligned})]}}} 이고, [math(n \to \infty )]일 때 분자는 결국 상수여서 [math(R_{n}-L_{n} \to 0 )]이므로 [math(L_{n})], [math(R_{n})]은 같은 값으로 수렴한다. 이것을 구간 내 함숫값이 양인 경우에 한하여 시각화하면 아래와 같다. 적색 영역은 리만 오른쪽 합과 리만 왼쪽 합의 오차를 나타낸 것이다. [[파일:나무_정적분_정의_상합_하합.png|width=230&align=center]] 더 자세하게 파고들면 사실 증분이 일정할 필요도 없고, 구간 내에서 함숫값을 왼쪽 경계나 오른쪽 경계로 택할 필요도 없으나[* 정확히는 이런 선택에 무관한 함수들만 리만적분 가능하다. 당장 디리클레 함수의 경우 균등 증분에 왼쪽경계로 적분 가능하다.] 고등학교 과정에선 너무 번잡하기 때문에 가장 간단한 형태로 교육하는 것이다. 이런 복잡한 정의는 [[유리함수]]의 정적분이 [[로그함수]]임을 증명하는 데 중요하게 쓰인다. == 상합과 하합 == 위에서 정의한 방식은 리만 왼쪽 합 또는 오른쪽 합을 통해 정적분을 계산한 것이고, 상합과 하합을 통해서도 정적분을 계산할 수 있다. 상합과 하합의 정의를 통해 정적분을 계산하는 것 또한 왼쪽 합이나 오른쪽 합을 통해 계산하는 방법과 비교하여 개념의 정의만 다를 뿐 방법은 대체적으로 같으니, 상합과 하합의 정의만 여기서 소개하기로 한다. 우선, 유계인 함수 [math(f:[a,\,b] \to \mathbb{R})]에 대하여 구간 [math([a,\,b])]를 [math(n)]등분하여 [math(a)]부터 [math(b)]까지의 각 분할점을 잡아 [math(a=x_{0})], [math(x_{1})], [math(x_{2})], [math(\cdots)], [math(x_{n}=b)]라 하자.[* 참고로 [math(n)]등분하지 않고 임의로 분할하더라도 성립함이 알려져있다.] 여기서 [math(1 \leq k \leq n)]인 각각의 자연수 [math(k)]에 대하여 [math(x_{k-1} \leq x_{k})]가 성립한다고 하자. 한편, 구간 [math([a,\,b])]의 분할 [math(P)]를 [math(P=\{)][math(x_{0})], [math(x_{1})], [math(x_{2})], [math(\cdots)], [math(x_{n})][math(\})]이라 하자. 이때, 유계인 함수 [math(f(x))]는 실수의 완비성 공리에 의하여 각 소구간 [math([x_{k-1}, \,x_{k}])]에서 상한(최소상계) [math(M_{k})]와 하한(최대하계) [math(m_{k})]가 각각 존재한다.[* 쉽게 말해 해당 소구간에서 함수 [math(f(x))]는 최댓값과 최솟값을 각각 갖는다는 의미이다. 사실 이것은 쉽게 설명하기 위해 이렇게 덧붙인 것이고 엄밀하게는 단순히 최소상계라 하여 최댓값이라 할 수는 없다. 최대하계의 경우도 마찬가지.] 분할 [math(P)]에 대한 [math(f)]의 상합, 하합을 아래와 같이 정의하며, 기호로 [math(U(P,\, f))], [math(L(P,\, f))]로 각각 나타낸다.[* 서술자에 따라 [math(U(f, \, P))], [math(L(f, \, P))] 또는 구간을 병기하여 [math(U(f,\, P,\, [a,\,b]))], [math(L(f,\, P,\, [a,\,b]))] 등과 같이 쓰기도 한다.][* 여기서 상합과 하합이 각각 [math(U)], [math(L)]로 나타내어지는 이유는 상합이 '''U'''pper sum, 하합이 '''L'''ower Sum이기 때문이다.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} U(P,\, f)&=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}M_{k}(x_{k}-x_{k-1}) \\ L(P,\, f)&= \sum_{k=1}^{n} m_{k}(x_{k}-x_{k-1}) \end{aligned} )]}}} [[파일:namu_상합_하합_소개.png|width=370&align=center]] 언뜻 보기에는 상합을 계산하는 방식이 리만 오른쪽 합으로 정적분을 계산하는 것과 같아 보일 수 있다. 그러나 상합을 계산하는 함수의 그림에서 함수가 감소하는 부분을 살펴보자. 리만 오른쪽 합으로 계산하고자 하였을 때 감소하는 부분의 각 소구간에서 택하게 될 [math(x_{k})]에서의 함숫값 [math(f(x_{k}))]는 상합을 계산하기 위해서 선택되지 않았고, 그 대신 상합의 정의에 따라 각 구간의 함숫값의 상한이 선택되었음을 확인할 수 있다. 하합을 계산하는 것도 마찬가지로 생각해보면 된다. 한편 구간 [math([a,\,b])]의 분할 전체의 집합 [math(\mathcal P [a,\,b])][* [math(\mathcal P)]는 해당하는 집합의 [[멱집합]]을 취한다는 의미다. 기호가 같은 [[코시 주요값]]과 헷갈리지 말 것.]에 대하여 상합의 하한을 상적분, 하합의 상한을 하적분이라 정의하고 상적분, 하적분을 각각 다음과 같이 쓴다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} \overline{\int_{a}^{b}}f(x)\,{\rm d}x&=\inf{\{U(P,\, f)|P\in (\mathcal P[a, \,b])\} } \\ \underline{\int_{a}^{b}}f(x)\,{\rm d}x&=\sup{\{L(P,\, f)|P\in (\mathcal P[a, \,b])\}} \end{aligned} )]}}} 다음과 같이 상적분과 하적분 값이 같을 때, 구간 [math([a,\,b])]에서 리만 적분 가능하다[* 엄밀히 말하면, 아래의 조건은 다르부 적분 가능 조건이나 리만 적분 가능 조건과 동치임이 알려져있다.]하고, 그 값을 정적분이라 정의한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} \overline{\int_{a}^{b}}f(x)\,{\rm d}x = \underline{\int_{a}^{b}}f(x)\,{\rm d}x=\int_{a}^{b}f(x)\,{\rm d}x \end{aligned} )]}}} == 기하학적 의미 == 닫힌 구간 [math([a,\,b])]에서 유계이고 음이 아닌 함수 [math(f(x))]를 생각해보자. [[파일:나무_정적분_정의.png|width=260&align=center]] 위에서 정의했던 리만 오른쪽 합 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} R_{n}&=\sum_{k=1}^{n} f(x_{k})\Delta x \\ &=\sum_{k=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n}k \right)\frac{b-a}{n} \end{aligned})]}}} 의 각 항의 의미를 해석하면 너비가 [math(\Delta x)]이고, 높이가 [math(f(x_{k}))]인 직사각형들의 넓이를 더해나가는 연산임을 알 수 있다. 이에 무수히 많은 직사각형들로 분할한다면, 리만 오른쪽 합은 곧 [math(y=f(x))]와 [math(x=a)], [math(x=b)], [math(x)]축으로 둘러싸인 영역의 넓이에 수렴하게 된다. 이것은 리만 왼쪽 합 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} L_{n}&=\sum_{k=0}^{n-1} f(x_{k})\Delta x \\ &=\sum_{k=0}^{n-1} f\left(a+\frac{b-a}{n}k \right)\frac{b-a}{n} \end{aligned})]}}} 의 경우에도 같은 방법으로 해석할 수 있다. [[파일:나무_정적분_정의_하합.png|width=260&align=center]] 만약 함수가 음의 값을 가진다면 [math(f(x_{k})=-|f(x_{k})| )]로 취급하여 각 항은 너비가 [math(\Delta x)]이고, 높이가 [math(|f(x_{k})|)]인 직사각형 높이에 음을 붙인 값이라 해석할 수 있다. 따라서 함숫값이 음인 구간 [math([a^{\ast},\,b^{\ast}])]에 대해서는 리만 왼쪽 합과 리만 오른쪽 합은 무수히 많은 직사각형으로 분할했을 때 [math(y=f(x))]의 그래프와 [math(x=a^{\ast})], [math(x=b^{\ast})], [math(x)]축으로 둘러싸인 영역의 넓이에 음을 붙인 값으로 수렴하게 될 것이다. 아래는 위의 내용을 시각화한 것이다. [[파일:namu_정적분_기하학적_의미.png|width=220&align=center]] 즉, 함숫값이 양인 구간 [math([a,\,b])]에서는 [math(y=f(x))]와 [math(x=a)], [math(x=b)], [math(x)]축으로 둘러싸인 영역의 넓이와 그 구간에 대한 정적분 값은 같으며, 음인 구간 [math([a^{\ast},\,b^{\ast}])]에서는 [math(y=f(x))]와 [math(x=a^{\ast})], [math(x=b^{\ast})], [math(x)]축으로 둘러싸인 영역의 넓이와 그 구간에 대한 정적분 값은 반수(opposite number) 관계가 된다. 당연히 일반적으로는 한 함수에서 함숫값이 양이 되는 구간과 음이 되는 구간 둘 다 존재할 수 있다. 이때 전체 구간에 대한 정적분은 양인 구간들에 대한 넓이의 합에서 음인 구간들에 대한 넓이를 뺀 값과 같다. 이 사항들을 수학적으로 정리하면 다음과 같다. * [math(\displaystyle\int_a^bf(x)\,{\rm d}x=\int_a^b|f(x)|\,{\rm d}x\quad\Leftrightarrow\quad f(x)\geq0\;(a\leq x\leq b))] * [math(\displaystyle\int_a^bf(x)\,{\rm d}x=-\int_a^b|f(x)|\,{\rm d}x\quad\Leftrightarrow\quad f(x)\leq0\;(a\leq x\leq b))] * [math(\displaystyle\int_a^b|f(x)|\,{\rm d}x≥\left|\displaystyle\int_a^bf(x)\,{\rm d}x\right|)] {{{#!folding [예제] ---- || [[파일:2016학년도 수능 A형 29.png|width=400]] || || '''2016학년도 수능 A형 29번''' || (가)에서, [math([0,\,2])]에서는 원 함수와 절댓값 함수의 정적분이 반수 관계이므로 이 구간에서 [math(f(x)\leq0)]이다. 또한 (나)에서, [math([2,\,3])]에서는 원 함수와 절댓값 함수의 정적분이 같으므로 이 구간에서 [math(f(x)\geq0)]이다. [math(f(0)=0)]이므로, 모든 단서를 종합하면 이차함수 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같은 형태가 된다. [[파일:2016학년도 수능 A형 29 해설.png.jpg|width=150&align=center]] 따라서 [math(f(x)=ax(x-2)\;(a>0))]로 놓을 수 있고, (가)의 정적분 값을 활용하면 [math(a)]의 값은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^2|f(x)|\,{\rm d}x&=\int_0^2|ax(x-2)|\,{\rm d}x\\&=\dfrac{|a|}6\times(2-0)^3=4\\\\\therefore a&=3\quad(\because a>0)\end{aligned})]}}} 따라서 [math(f(x)=3x(x-2))]이고 [math(f(5)=45)]이다. 이때, 위 계산은 이차함수 넓이 공식이다. [[다항함수/공식/넓이#s-2.1]] 문서를 참고하자.}}} == 계산 == [[미적분의 기본정리#s-4|미적분의 제2 기본정리]]에 따라 함수 [math(f(x))]의 역도함수를 [math(F(x))]라고 하면 다음과 같이 계산하는 것이 편리하다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle\int_a^b f(x) \,{\rm d}x=\displaystyle F(b)-F(a))]}}} 또한, 정적분에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle F(b)-F(a)=\biggl[ F(x) \biggr]^{b}_{a} =F(x) \biggr|^{b}_{a} \\)]}}} 등으로 표기하는데 위 두 표기법이 가장 널리 쓰인다. 한편, 정적분에서는 [[부정적분]]과 달리 적분 상수를 쓰지 않는다. 어떠한 역도함수의 함숫값의 차로 계산되어 해당 상수가 소거되기 때문이다. 만약 피적분함수와 역도함수가 모두 [[초등함수]]인 경우, [[리시 방법]]을 이용해서 정적분을 표현할 수 있다. == 정적분 기호의 초등적 의미 == 이 문단의 설명은 '''상당히 초등적'''이어서 고등학교 과정 내에서만 적용되고, '''학부 과정 이후는 모두 포괄하지 못함에 유의하자.''' [math(\int_{a}^b f(x) \,{\rm d}x)]의 의미를 제대로 이해해야 한다. 흔히, [math(\int_{a}^b \cdots \,{\rm d}x)]를 하나의 덩어리로 삼고 이것을 ''''이 사이에 들어간 함수를 [math(\boldsymbol a)]부터 [math(\boldsymbol b)]까지 정적분''''하라는 단순한 기호로 알고 넘어가곤 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x)\, {\rm d} x&=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_{k}) \Delta x \end{aligned} )]}}} 대체 왜 좌변의 식이 우변과 같이 표현될까? 우선, [math(\int)]의 진정한 속뜻부터 이해하자. 적분하라는 뜻으로만 받아들여서는 안 된다. 먼저, 단어에도 어원이 있듯이, 기호 [math(\int)]은 근원 자체가 알파벳 S를 길게 늘어뜨린 것이고, 이 S는 영어 sum의 머리글자이며, sum은 '''합'''([[合]])이라는 뜻이다. 왜 갑자기 합이 나올까? 적분의 '적'은 [[積]](쌓을 적)이다. 적분이란 그냥 미분의 역연산인 게 아니라 본디는 도형을 잘게 잘라서 그 조각들을 쌓아올려 모두 '''합'''하는 계산이다. [[미적분의 기본정리]] 때문에 미분과 적분이 서로 역연산이라는 사실[* 더욱 더 정확히는, '정적분'의 계산 과정에서 미분의 역연산을 사용할 수 있다는 사실. 그것이 바로 [[미적분의 기본정리]]이다.]이 추후 밝혀진 것이지, 처음부터 "미분이라는 연산이 있다. 이제 미분의 반대를 적분이라고 하자." 해서 적분이 나온 게 아니다.[* 실제로 미분은 [[아이작 뉴턴|뉴턴]]과 [[고트프리트 폰 라이프니츠|라이프니츠]]가 자기가 원조라고 주장하였을 정도로 언제 나왔는지 확실하게 밝혀진 반면, 적분은 위의 [[#s-2|역사 문단]]에서 보듯 [[고대 이집트]]에서부터 시작되었고, [[아르키메데스]]가 [[구(도형)|구]]의 부피가 지름과 높이가 같은 [[원기둥]]의 [math(2/3)]임을 밝히는 데 구분구적법을 써먹었다는 기록이 있을 정도로 오래됐다.] 그런 만큼 적분을 단순히 미분의 역연산으로만 생각하면 안 된다. 정적분의 정의에 등장하는 [math(\sum_{k=1}^n)] 역시 '''합'''하는 계산이다. 요컨대 [math(\int)]이라는 기호는, 정적분의 정의에서 [math(\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n)] 이 부분이 너무 복잡하니까 줄인 것이다. 다음으로 [math(f(x_k))]와 [math(f(x))]를 보자. [math(k)]는 갑자기 어디로 갔을까? 앞서 말했듯이 [math(x_k)]는 공차가 [math({(b-a)}/{n})]인 등차수열이다. 그런데 [math(n)]이 무한히 커지면 공차는 0에 수렴한다. 그 말은, 등차수열 [math(x_k)]의 항들이 닫힌 구간 [math([a,b])]에서 더 이상 이산적이지 않고 연속적으로 늘어서게 된다는 것이다. 이산적으로 늘어서 있다면 닫힌 구간 [math([a,\,b])]에 있는 수열 [math(x_k)]의 특정한 항이 몇 번째 항인지 말할 수 있으나 공차가 0에 수렴해 버리면 몇 번째라고 말할 수 없다. 0과 1 사이의 실수 중에서 0.5가 몇 번째로 큰지 말할 수 없는 것과 같다. 그러니 [math(f(x_k))]에서, 몇 번째인지를 말하는 [math(k)]가 빠져 버리고 [math(f(x))]만 쓰는 것이다. 마지막으로 [math(\Delta x)]와 [math({\rm d}x)]를 보도록 하자. 분할의 개수가 매우 증가하여 [math(\Delta x)]가 극히 작아짐에 따라 해당 수는 [[무한소]]로 취급할 수 있게 되고, [math(\Delta x \to {\rm d}x)]로 취급하는 것이다. 정적분이 합의 계산이라는 점은 다음 식에서 극명하게 드러나는데, 적분식의 [math({\rm d}x)]를 [[최대 정수 함수|[math({\rm d}\lfloor x \rfloor)]]]로 바꾸면 극한 기호와 [math(\Delta x)]가 없어져서 완전히 합으로만 표현된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \sum_{k=a}^b f(k) = \int _{a}^b f(x) \,{\rm d} \lfloor x \rfloor)]}}} 이제 [math(\int_{a}^b f(x) \,{\rm d}x)]의 뜻을 한꺼번에 해석해 보자. 어떤 도형을 무한히 많은 직사각형들로 분할하면 한 직사각형의 높이 [math(f(x))]와 밑변의 길이 [math({\rm d}x)]를 곱해서 나오는 한 직사각형의 넓이 [math(f(x)\,{\rm d}x)]가 나오는데, 이 수많은 [math( {f(x)\,{\rm d}x})]들을 모두 더하라([math(\int)])는 뜻이다. 이 일련의 과정에, '''정적분'''이라는 이름을 붙인 것이다. 이런 딱지를 붙였기에 '''결과적으로는''' [math(\int_{a}^b f(x) \,{\rm d}x)]가 [math(f(x))]를 [math(a)]부터 [math(b)]까지 정적분하라는 뜻이 되는 셈이다. == 연산의 성질 == 정적분에 대하여 다음의 연산이 성립한다. * [math(\displaystyle \int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x) ]\,{\rm d}x=\int_{a}^{b}f(x)\,{\rm d}x\pm \int_{a}^{b}g(x)\,{\rm d}x)] * [math(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,{\rm d}x= \int_{a}^{c}f(x)\,{\rm d}x+ \int_{c}^{b}f(x)\,{\rm d}x)][* 이 성질을 이용한 것이 [[코시 주요값]]이다.] * [math(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,{\rm d}x=-\int_{b}^{a}f(x)\,{\rm d}x)] * [math(\displaystyle \int_a^a f(x)\;{\rm d}x=0)][* 둘째, 셋째 성질에 의하여 도출된다.] * [math(\displaystyle \int_{a}^{b}kf(x)\,{\rm d}x=k\int_{a}^{b}f(x)\,{\rm d}x)] (단, [math(k)]는 상수) 단, 다음 아래의 식 중 어떻게 둘을 뽑더라도 같다는 보장이 없다. * [math(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)g(x)\,{\rm d}x)] * [math(g(x)\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,{\rm d}x)] * [math(f(x)\displaystyle \int_{a}^{b}g(x)\,{\rm d}x)] * [math(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,{\rm d}x\displaystyle \int_{a}^{b}g(x)\,{\rm d}x)] == 응용 == === 정적분으로 정의된 함수 === 정적분으로 나오는 값도 상한 혹은 하한에 따라 달라지므로 상한 혹은 하한에 변수를 삽입하여 해당 변수에 대한 함수로 취급할 수 있다. 그러한 함수 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle f(x)=\int_{a}^{x} g(t)\,{\rm d}t )]}}} 를 '''정적분으로 정의된 함수'''라 한다.[* [[다변수함수]] 버전인 [math(\displaystyle f(x,y)=\int_{x}^{y} g(t)\,{\rm d}t )], [math(\displaystyle f({\bold x})=\int \cdots \int_{\bold x} g({\bold t})\,{\rm d}{\bold t} )] 같은 것들도 있다. 후자의 경우 [[벡터]]의 [[차원]]에 따라 적분기호의 개수가 달라진다.] 이 함수를 해석할 때는 함수에서의 변수와 정적분에서의 변수가 다르다는 사실에 유의하여야 한다. 우선 위에서 예를 든 함수에서 정적분은 [math(t)]에 대해서 하는 것이므로 [math(t)]에만 적용되어 적분이 끝나면 [math(t)]는 사라지고 상한에 포함된 새로운 변수 [math(x)]에 대한 함수로만 남는다. 적분 안에 함수의 변수가 포함된다면 그 변수는 정적분에서 취급하는 변수가 아님에 따라 정적분 안에서는 상수로 취급된다. [[미적분의 기본정리]]의 첫째 내용에 따르면, 다음이 성립한다. 증명은 [[미적분의 기본정리]] 참고. 적분의 위끝과 아래끝이 단순히 [math(x)]가 아니라 [math(x)]에 관한 어떤 식일 경우에 대한 미분법은 [[도함수#s-2.5|정적분으로 정의된 함수의 미분]] 참고. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_a^x f(t) \,{\rm d}t=f(x))]}}} [[특수함수]] 중 상당수가 이 정적분으로 정의된 함수들이다. 대표적으로 [[정수론]]에서 심심하면 튀어나오는 [[로그 적분 함수]]가 있는데, [[자연로그]]의 역수를 정적분한 것이다. === 무한급수를 정적분으로 나타내기 === 정적분이 무한급수를 통하여 정의되었듯, 특수한 꼴의 무한급수 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} f \left( a+\frac{b-a}{n}k \right) \frac{b-a}{n}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} f \left( a+\frac{p}{n}k \right) \frac{p}{n})]}}} 는 다음과 같이 정적분으로 나타낼 수 있다. * [math(\displaystyle x_{k}=a+\frac{p}{n}k)], [math(\displaystyle \Delta x=\frac{p}{n})]인 경우 * [math(x_{0}=a)], [math(x_{n}=a+p)]이므로 정적분의 구간은 [math([a,\,a+p] )]이다. * [math(x_{k} \to x)], [math(\Delta x \to {\rm d}x)]라 놓으면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_{k}) \Delta x=\int_{a}^{a+p} f(x)\,{\rm d}x)]}}} * [math(\displaystyle x_{k}=\frac{p}{n}k)], [math(\displaystyle \Delta x=\frac{p}{n})]인 경우 * [math(x_{0}=0)], [math(x_{n}=p)]이므로 정적분의 구간은 [math([0,\,p] )]이다. * [math(x_{k} \to x)], [math(\Delta x \to {\rm d}x)]라 놓으면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_{k}+a) \Delta x=\int_{0}^{p} f(x+a)\,{\rm d}x)]}}} * [math(\displaystyle x_{k}=\frac{k}{n})], [math(\displaystyle \Delta x=\frac{1}{n})]인 경우 * [math(x_{0}=0)], [math(x_{n}=1)]이므로 정적분의 구간은 [math([0,\,1] )]이다. * [math(x_{k} \to x)], [math(\Delta x \to {\rm d}x)]라 놓으면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} pf((b-a)x_{k}+a) \Delta x=\int_{0}^{1} pf(px+a)\,{\rm d}x)]}}} === [[역함수]]의 정적분 === 고등학교 수준에서는 역함수를 구하여 직접 정적분할 수 없는 경우가 많다.[* 당장 [math(f(x))]에 [[람베르트 W 함수|[math(xe^x)]를 대입해 보자]]. 사실 이런 경우가 아니더라도, [math(f(x))] 자리에 [[역삼각함수|삼각함수가 들어가기만 해도]] 난감해지기 시작한다.] 역함수의 정적분 문제가 나오면 역함수를 직접 구하는 것이 아니라, 원래 함수의 정적분을 통해서 구하거나, 도형을 뒤집어도 넓이는 같다는 점을 이용하여 퍼즐을 맞추듯 문제를 푸는데, 자세한 문제 유형은 [[정적분/예제#s-4]] 참고. ==== 공식 1 ==== 구간 [math([a,\,b])]에서 연속인 함수 [math(y=f(x))]와 그 역함수 [math(x=f^{-1}(y))]에 대하여 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle\int_a^b f(x)\,{\rm d}x=\int_a^b f^{-1}(y)\,{\rm d}y)]}}} 이를 좌표평면상에 시각화하면 다음과 같다. [[파일:namu_역함수_정적분_1_수정_수정.jpg|width=250&align=center]] ==== 공식 2 ==== 구간 [math([a,\,b])]에서 연속인 함수 [math(y=f(x))]와 그 역함수 [math(y=f^{-1}(x))]에 대하여 다음이 성립한다. ||<:>[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_a^b |f(x)-f^{-1}(x)|\,{\rm d}x&=\int_a^b |f(x)-x|\,{\rm d}x+\int_a^b |f^{-1}(x)-x|\,{\rm d}x\\&=2\int_a^b |f(x)-x|\,{\rm d}x\\&=2\int_a^b |f^{-1}(x)-x|\,{\rm d}x\end{aligned})] || 이를 좌표평면상에서 시각화하면 다음과 같다. [[파일:namu_역함수_정적분_3_수정_수정.png|width=355&align=center]] ==== 공식 3 ==== 구간 [math([a,\,b])]에서 연속인 함수 [math(y=f(x))]와 그 역함수 [math(y=f^{-1}(x))]에 대하여 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)\,{\rm d}x=bf(b)-af(a)-\int_a^b f(x)\,{\rm d}x )]}}} 이를 증명하여 보자. [math(f^{-1}(x)=t)]로 치환하면 [math(f(t)=x)]인데, 이 식의 양변을 [math(t)]에 대하여 미분하면 [math(f'(t)={{\rm d}x}/{{\rm d} t})]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}\displaystyle\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)\,{\rm d}x&=\int_a^b tf'(t)\,{\rm d}t\\&=\int_a^b \{f(t)+tf'(t)\}\,{\rm d}t-\int_a^b f(t)\,{\rm d}t\\&=\biggl[tf(t) \biggr]^b_a-\int_a^b f(t)\,{\rm d}t\\&=bf(b)-af(a)-\int_a^b f(x)\,{\rm d}x\end{aligned})]}}} 이를 좌표평면상에서 시각화하면 다음과 같은데, 아래 그림은 정적분의 구간에서 [math(f(x))]의 함숫값이 항상 0 이상이며 증가하는 경우만을 나타낸다. 그 밖의 경우는 아래의 그림과 같이 나타낼 수는 없지만 위 식은 그에 상관없이 '''항상 성립함'''을 알아야 한다. [[파일:namu_역함수_정적분.png|width=170&align=center]] {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle{\color{blueviolet}\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)\,{\rm d}x}={\color{turquoise}bf(b)}-{\color{goldenrod}af(a)}-{\color{red}\int_a^b f(x)\, {\rm d}x})]}}} ==== 무한급수로 나타내기 ==== [[파일:namu_정적분_무한급수_역함수.svg|width=300&align=center]] 정적분을 정의했던 방식과 비슷하게 정적분 || [math(\displaystyle\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)\,{\rm d}x \quad)] (회색 영역의 넓이[* 위 그림에 표기된 적분식은 오류이다. 해당 넓이를 함수 [math(f^{-1}(x))]의 정적분으로 나타낼 때 하한과 상한은 [math(a)], [math(b)]가 아니고 [math(f(a))], [math(f(b))]가 되는 것이 맞다.]) || 를 무한급수로 나타낼 수 있다. 구간 [math([a,\,b])]를 [math(n)]등분하고, [math(k\,(0\leq k \leq n))]번째 [math(x)]값을 || [math(\displaystyle x_{k}=a+\frac{b-a}{n}k)] || 라 하자. 위 그림과 같이 회색 영역의 면적소는 구간 [math([x_{k-1},\,x_{k}]\,(1\leq k \leq n))]에 대하여, 세로의 길이가 [math(f(x_{k})-f(x_{k-1}))]이고, 가로의 길이가 [math(x_{k})] 혹은 [math(x_{k-1})]인 [[직사각형]]으로 둘 수 있다.[* 리만 왼쪽 합 혹은 오른쪽 합에서도 세로 길이에 대한 선택권이 있었음을 상기해보라.] 따라서 영역의 넓이는 전자의 경우 || [math(\displaystyle \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)\,{\rm d}x=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \{f(x_{k})-f(x_{k-1}) \} x_{k})] || 후자의 경우 || [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)\,{\rm d}x&=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \{f(x_{k})-f(x_{k-1}) \}x_{k-1} \\ &=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \{f(x_{k+1})-f(x_{k}) \}x_{k} \end{aligned} )] || 와 같이 무한급수로 나타낼 수 있다. 다른 방법으로는 바로 위 문단의 결과 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle{\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)\,{\rm d}x}={bf(b)}-{af(a)}-{\int_a^b f(x)\, {\rm d}x})]}}} 를 이용할 수도 있다. 정적분의 정의를 사용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle{\begin{aligned} \int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)\,{{\rm d}x}&={bf(b)}-{af(a)}-\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_{k})\Delta x \\ &= {bf(b)}-{af(a)}-\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1} f(x_{k})\Delta x \end{aligned}} )]}}} 위에서 [math(\Delta x=(b-a)/n)]이다. === 곡선 사이의 넓이 === [[파일:namu_정적분_응용_1.png|width=220&align=center]] 그림과 같이 닫힌 구간 [math([a, \, b])]에서 두 곡선 [math(y=f(x))], [math(y=g(x))] 사이의 넓이를 구하려면 다음 정적분을 이용하면 된다.[* [math(\rm sgn)]은 [[부호 함수]]이다.] [math(x)]축 아래의 도형은 정적분의 값이 음이 되므로, 절댓값 기호를 붙이지 않으면 양의 값을 가지는 넓이를 제대로 구하지 못할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \int_{a}^{b} |f(x)-g(x)|\,{\rm d}x = ({\rm sgn} \circ (f-g))(x)\left(\int_{a}^{b} f(x)\,{\rm d}x - \int_{a}^{b} g(x)\,{\rm d}x \right))]}}} 한편 닫힌 구간 [math([a, \, b])]에서 곡선 [math(y=f(x))]와 [math(x=a)], [math(x=b)], [math(x)]축과 이루는 넓이를 구하려면 다음 정적분을 이용하면 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \int_{a}^{b} |f(x)|\,{\rm d}x = ({\rm sgn} \circ f)(x) \int_{a}^{b} f(x)\,{\rm d}x )]}}} 이는 [math(x)]축이 [math(g(x)=0)]이라는 [[상수함수]]로 표현되기 때문에, 첫째 식에서 [math(g(x))]가 생략된 것으로 보면 된다. === 입체도형의 [[부피]] === 어떤 입체도형을 [math(x)]축과 평행한 단면으로 잘랐을 때의 단면의 넓이를 [math(S(x))]라 하자. 또, 닫힌 구간 [math([a,\,b])] 사이의 입체도형에 대하여 부피를 구하려고 한다면, 다음의 정적분을 이용한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \int_{a}^{b}S(x)\,{\rm d}x )]}}} [[파일:namu_정적분_응용_부피_NEW.png|width=220&align=center]] 한편, [math(x)]축을 회전축으로 하여 곡선 [math(y=f(x))]를 1회전하여 얻은 회전체에 대하여 닫힌 구간 [math([a,\,b])] 사이의 부피는 다음의 정적분을 이용한다.[* 이를 '원판법'이라 한다.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \int_{a}^{b} \pi \{f(x) \}^{2}\,{\rm d}x )]}}} === 회전체의 [[겉넓이]] === [math(x)]축을 회전축으로 하여 곡선 [math(y=f(x))]를 1회전하여 얻은 회전체에 대하여 닫힌 구간 [math([a,\,b])] 사이의 [[겉넓이]]는 다음의 정적분을 이용한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \int_{a}^{b} 2\pi f(x) \sqrt{1+\{f'(x) \}^{2}} \,{\rm d}x )]}}} == 다른 표기 == 정적분은 다음과 같이 표기하기도 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int^{b}_a f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{[a,\,b]} f(x) \,\mathrm{d}x =\left< f \right> \end{aligned})]}}} 특히 두 번째의 방식은 [[집합]]째로 정적분을 하는 방식인데, 주로 [[복소해석학]]이나 [[벡터 미적분학]]에서 지겹게 볼 수 있다. 대표적인 예로는 [[전자기학]]에서 [[자기장]]을 기술하는 식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \oiint_{\partial V} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}\mathbf{a}=0)][* [math(\partial V)]는 어떤 입체의 겉면 위의 모든 점의 집합을 뜻하고, [math(\oiint)]는 저 겉면을 구멍이 나지 않게 양의 방향으로 적분하라는 의미이다. 자세한 내용은 [[중적분]] 문서 참조.] }}} 이 있다. 세 번째의 [[홑화살괄호|홑화살괄호 [math(\left< \, \right>)]]]로 표기한 식은 함수를 [[벡터]]로 취급하고 [[내적]]한다는 의미로 쓰인 것이다.[* 물론 저렇게 함수 하나만 쓰는 경우는 흔치 않고 [[켤레복소수|켤레]]를 취한 다른 함수를 곱하는 것이 일반적이다.] == 정적분의 역사[anchor(구분구적법)] == 정적분의 정의에 앞서 '구분구적법'과 이것이 정적분으로 발전하게 된 과정을 알아둘 필요가 있다. [[고대 이집트]] 시절, [[나일강]]이 주기적으로 범람해 인근의 농지를 엉망으로 만들곤 해서 [[지주#s-2]]들의 불만이 컸고, 크기는 둘째치고 농지의 모양이 곧바르지 않고 구불구불한 모양이라 이를 감안하면서도 최대한 농지의 크기를 나일 강 범람 전과 비슷하게 맞출 필요가 있었는데 이때 사용된 것이 간단한 도형[* 넓이를 쉽게 구할 수 있는 [[직사각형]], [[직각삼각형]] 같은 것들]으로 잘게 나누어 그 합으로써 넓이를 구하는 방법인데 이를 '''구분구적법'''(mensuration by parts, [[區]][[分]][[求]][[積]][[法]])이라고 한다. [[다각형]], [[원(도형)|원]] 등에 포함되지 않는 불규칙한 모양의 넓이를 구할 때 쓰는 방법이다. 이 방법은 [[고대 그리스]]에서 배워서 써먹기도 했으며, 이를 체계화 한 것은 [[아르키메데스]](Ἀρχιμήδης, B.C. 287 ~ B.C. 212)였다. 그러다가 [[고트프리트 빌헬름 라이프니츠]](Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646~1716)가 넓이를 구하고자 하는 도형을 무수히 많은 직사각형으로 분할하여 그 직사각형들의 넓이를 모두 더하는 것으로, 곡선으로 둘러싸인 도형은 아무리 많은 직사각형으로 분할하더라도 오차가 생길 수밖에 없는데, '''직사각형의 개수를 무한히[* '[[엡실론-델타 논법|적절하게 많이]]'가 정확한 설명이다. 라이프니츠가 살던 시절에는 말 그대로 무한히가 맞는 말이었지만, [[오귀스탱루이 코시]](Augustin Louis Cauchy, 1789~1857)가 엄밀한 기준을 정립했다.] 늘리면 실제 넓이와 같아진다'''는 아이디어로 정리했고, 이후 [[베른하르트 리만]](Bernhard Riemann, 1826~1866)이 본문에서 말하는 형태로 완성했다. 이후 [[병리적 함수|디레클레 함수]][* 유리수에서 1, 무리수에서 0으로 정의되어 모든 점에서 불연속이고 리만 적분 불가능하다.] 등 리만 적분만으로 그 성질을 충분히 규명할 수 없는 함수가 등장하였으며, [[미분방정식]], [[양자역학]], [[푸리에 해석]] 등의 발전으로 함수 공간에 대한 연구의 필요성이 대두되었다. 리만 적분의 이론만으로는 그 적분 가능성의 동치 조건을 제시하지 못했고, 리만 적분가능 함수 공간은 완비성을 갖지 않아 함수 공간의 연구에 불충분했다. 이에 따라 앙리 르베그(Henri Lebesgue, 1875~1941)와 [[로랑 슈바르츠]](Laurent Schwartz, 1915~2002)를 필두로 [[측도론]], [[르베그 적분]]과 같은 추상 적분론이 정립되었고 그 결과 함수해석, 조화해석, 확률론 등 다양한 분야의 이론이 발전하여 오늘날에 이른다. == [[다항함수/추론 및 공식|다항함수 관련 공식]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=다항함수/추론 및 공식)] == [[정적분/예제|예제]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=정적분/예제)] == 여담 == 일반적으로 말하는 적분이란 위의 리만 적분이지만, 고등학교에서 배우는 모든 적분 방법은 사실상 부정적분의 계산법을 기반으로 한다. 리만적분의 정의만 보면 저 리만합 극한을 어떻게 구하냐는 볼멘소리가 나올 수 있지만, [[미적분의 기본정리]] 덕에 정말 다행히도 부정적분만 계산해도 정적분을 구할 수 있다. 일상생활에서는 여기까지만 적분을 생각해도 큰 문제는 없다. 수학 특히 [[해석학(수학)|해석학]]을 깊게 공부하다 보면 리만적분의 빈틈을 해결하기 위해 [[르베그 측도#s-4|르베그 적분]](Lebesgue integral)과 [[측도]]론(measure theory) 등등이 나오기도 하지만, 해석학의 마지막 장에나 나오기 때문에 학부 수준 수학과 전공자중에서도 보통 공부하지 않은 사람은 잘 이해하지 못하고 넘어가는 게 대부분이다. 르베그 적분은 리만적분을 [[연속함수]]가 아닌 더 넓은 범위에 대해 일반화했다고 볼 수 있는데(즉 연속함수인 경우에는 리만적분과 동일하다), 이를 이용하면 리만 적분이 불가능한 함수에 대해서도 적분을 정의할 수 있게 된다. 예를 들어 [math( x )]가 유리수이면 [math(f(x) = 1 )] 이고 [math( x )] 가 무리수이면 [math( f(x) = 0 )] 인 [[집합 판별 함수|디리클레 함수]](Dirichlet function)를 [math(0)]에서 [math(1)]까지 리만 적분은 불가능하지만, 르베그 적분을 생각하면 적분값은 [math(0)]이 된다. [math( [0,\,1] )] 에서 유리수는 가산집합이므로 측도는 0이고 무리수의 측도는 1이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{[0,\,1]}^{ } f\,\mathrm{d}\mu &= 1 \times \mu([0,\,1] \cap \mathbb{Q}) + 0 \times \mu([0,\,1] \cap \mathbb{Q}^c) \\&= 1 \times 0 + 0 \times 1 \\& = 0 \end{aligned} )]}}} 이다. 다만 이렇게 르베그 적분을 실제 계산할 수 있는 경우는 드물고, 실전에서는 아무리 이상한 함수라도 적분을 정의할 수 있다는 일종의 개념적인 상징으로 취급된다. 덕분에 [[해석학(수학)|해석학]]에선 함수공간에서 극한을 생각하기 위해 사용되고, 한편으로는 [[확률론]]에서도 중요하게 등장한다. 더 나아가 미분계수가 함수인 경우도 생각해볼 수 있는데 [[스틸체스 적분]]이라고 한다. 이 중 미분계수 자리에 [[최대 정수 함수]] [math(\lfloor x \rfloor)]를 넣는 경우 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}\lfloor x \rfloor = \sum_{x=a}^{b} f(x))]}}} 가 성립하는데 이는 [math(f(x))]를 [[생성함수]]로 하는 [[수열]]의 합과 동치이다. 이것보다 더욱 활용 빈도가 높은 것은 공간에서 적분을 하는 [[선적분]]이나 [[중적분]] 등의 개념이다. 직선 위에서 함수의 총합을 구했던 것이 넓이가 된다면, 평면 위에서 함수의 총합을 구하면 부피를 계산할 수 있을 것이다. 단순히 직선 뿐만이 아니라 [[곡선]] 또는 곡면에서, 나아가 임의의 공간의 면적, 부피, 그 위에서의 함수의 평균값 등을 계산하는 데에 이러한 다중적분이 쓰일 수 있다. [[복소해석학]]에서는 특수한 형태의 복소[[선적분]]을 생각하기도 하며, 예상치도 못한 성질을 가져다 주기도 한다. 수학 전공자들의 관점에서 바라보았을 때 수없이 많은 세분화된 종류의 적분이 존재하지만, 어찌 보면 다 리만적분 혹은 부정적분의 일반화이고 그 의미는 [[측도|함수를 계량하는]] 것에 있다고 보아도 충분하다. 정적분의 본질이 부정적분의 본질과 반대라고 하기는 어렵다. 부정적분은 미분의 역연산이며, 정적분은 도형의 [[측도]][* [[길이]], [[넓이]], [[부피]], [[4차원|초부피]] 등]를 구하는 계산이므로 사실 둘은 전혀 다른 개념이다. 단지 [[스토크스 정리]][* [[미적분학의 기본정리]], [[켈빈-스토크스 정리]], [[그린 정리]], ...]로 둘이 절묘하게 결부되어 있을 뿐이지, 둘의 실체는 전혀 동떨어진, 다른 것이다. '정적분'과 '부정적분'이라는 용어는 앞서 말했듯이 계산의 결과로서의 식이 완결되는지의 여부가 둘의 상반되는 속성이라는 점에 착안하여 명명되었을 뿐인데, 이 차이점이라는 것은 정적분과 부정적분의 본질과는 거리가 멀다. 정적분도 종류가 다양하다. 다차원으로 확장된 [[중적분]], 미분계수에 조작을 가하는 [[스틸체스 적분]], 고등학교에서 배우는 세로 방향으로 쪼개서 직사각형을 만드는 아이디어와 달리 가로로 쪼개서 적분하는 [[르베그 적분]] 등이 있다. 여기서 주로 설명하는 내용은 일변수 실함수를 다루는 '''리만 적분'''(Riemann integral)이며, 정적분을 고2 때 처음 배우는 점을 고려하여 상당히 초등적으로 설명했음[* 고교 수학II/미적분 수준을 크게 벗어니지 않는다.]을 일러둔다. [각주][include(틀:문서 가져옴, title=넓이, version=141, title2=적분, version2=370)] [[분류:미적분]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]캡챠되돌리기