문서 보기문서 편집수정 내역 정백이십포체 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:4차원 볼록 정다포체)] [목차] [[파일:external/upload.wikimedia.org/Schlegel_wireframe_120-cell.png|width=50%]] 정백이십포체 [[파일:external/upload.wikimedia.org/120-cell.gif]] 회전하는 정백이십포체의 3차원 투영 모습.[* 사실 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영된 것이다.] == 개요 == [[正]][[百]][[二]][[十]][[胞]][[體]]/120-cell, 또는 regular hecatonicosachoron(복수는 -chora) 한 개의 [[선분|모서리]]에 세 개의 [[정십이면체]]가 만나고, 총 백스무 개의 정십이면체로 이루어진 [[정다포체]]. 한편 정백이십포체로는 5차원의 정다포체를 만들 수 없다.[* [[정오각형]] 12개로 정십이면체, 정십이면체 120개로 정백이십포체를 만든 것과 대조적.] 이포각이 144°라 한 면에 3개가 모이면 432°로 360°를 초과하기 때문이다. == 정보 == ||[[슐레플리 부호]]||{5,3,3}|| ||꼭짓점(vertex, 0차원)||600개|| ||모서리(edge, 1차원)||1200개|| ||면(face, 2차원)||[[정오각형]] 720개|| ||포(cell, 3차원)||[[정십이면체]] 120개|| ||쌍대||[[정육백포체]]|| ||이포각||144˚ ([math(\dfrac{4\pi}{5})])|| ||포함 관계[br]또는 '''다른 이름'''||'''도데카플렉스(dodecaplex)''' 또는 '''dodecahedral complex'''[br]'''하이퍼도데카헤드론(hyperdodecahedron)'''[* 초(超)정십이면체]|| 한 변의 길이가 [math(a)]인 정백이십포체가 있을 때 총 모서리 길이(total edge length) = [math(1200a)] 총 면적(total surface area) = [math(180\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2)] 겉부피(surcell volume) = [math(30(15+7\sqrt{5})a^3)] 초부피(bulk) = [math(\dfrac{15}{4}(105+47\sqrt{5})a^4)][* [math(\dfrac{1575+705\sqrt{5}}{4}a^4)]]≈[math(787.8570a^4)] 외접구의 반지름 = [math(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}a)] 모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}a)] 면접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{650+290\sqrt{5}}}{10}a)] 내접구의 반지름 = [math(\dfrac{7+3\sqrt{5}}{4}a)] == 구조 == [youtube(0uT6q_hrK50,width=560,height=315)] 정백이십포체의 구조를 설명한 영상 [[파일:external/upload.wikimedia.org/120-cell_two_orthogonal_rings.png|width=300&height=300]] [[파일:external/upload.wikimedia.org/120-cell_rings.jpg|width=300&height=300]] [[정십이면체]] 열 개 한 묶음씩 하나의 링이라고 했을 때, 12개의 정십이면체 링[*주의사항 3차원 평면상에 투영시켜 나타내다 보니 정십이면체 링이 마치 '외부'와 '내부'를 이루며 서로 얽혀있는 것처럼 보이나, 실제로는 모두 4차원 초구의 '외부'에 존재하며 겉껍질을 이루는 구조이다.]이 4차원 공간에서 서로 접혀져 만나는 구조이다. 6개의 링으로 된 전개도 2개가 서로 접혀져 정백이십포체를 이룰 때의 모습을 보면 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Duoprism|듀오프리즘]] 모양도 나오며[* 쌍대인 [[정육백포체]]에선 이 꼭짓점들을 응용한 grand antiprism도 있다.] 정백이십포체는 4차원의 120개 방향으로 대칭형이므로, 전체적인 모습은 사실 초구에 근접한다. == 여담 == 정백이십포체의 꼭짓점으로 4차원의 모든 정다포체 6개와 모든 오목 정다포체 10개를 전부 다 만들 수 있다. 정백이십포체 1개만 있어도 16개의 모든 정다포체와 오목 정다포체를 그릴 수 있는 셈이다. 당연하겠지만, 유클리드 벌집이나 쌍곡 벌집은 꼭짓점을 연결하는 방법으로 만들 수 없으며, 그 반대의 경우도 마찬가지이므로 유클리드 벌집과 쌍곡 벌집은 해당되지 않는다. 기본적으로 3차원에 대응되는 도형이 [[정십이면체]]로 알려져 있지만 구면을 덮는 빽빽한 정도를 기준으로 하면 오각형 모양으로 깎은 [[마름모삼십면체]]와 비슷하다.[* 정오각형 12개, 육각형 30개로 이루어져 있다. 심지어 이 도형도 균일한 변의 길이를 갖는 것이 가능하지만 정다각형이 아니라 아르키메데스 다면체로 인정받지 못한다.] 정백이십포체는 체적도 787이 넘어가서 n차원 다포체 중에서는 희귀하게 해당 차원에서 체적이 엄청나며 한 변의 길이가 5인 [[정팔포체]]보다 체적이 더 크다. 또한 한 이포각의 크기가 144°인데, 이는 정십각형의 한 내각의 크기와 같다. 자기점을 기준으로 한 점의 거리 타입이 44개(거리값 중복 합하면 30개)나 존재하며 각 꼭짓점의 개수는 다음과 같다. [math(\left(0\right))]1개, [math(\left(1\right))]4개, [math(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right))]12개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right))]12개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}\right))]4개, [math(\left(\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{26+10\sqrt{5}}}{2}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}\right))]32개(4개+4개+24개), [math(\left(\dfrac{\sqrt{34+14\sqrt{5}}}{2}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(2+\sqrt{5}\right))]12개, [math(\left(\sqrt{10+4\sqrt{5}}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}\right))]28개(4개+24개), [math(\left(\sqrt{12+5\sqrt{5}}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\dfrac{\sqrt{50+22\sqrt{5}}}{2}\right))]24개, [math(\left(3+\sqrt{5}\right))]54개(24개+6개+24개), [math(\left(\dfrac{\sqrt{62+26\sqrt{5}}}{2}\right))]24개, [math(\left(\sqrt{16+7\sqrt{5}}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\dfrac{5+3\sqrt{5}}{2}\right))]28개(4개+24개), [math(\left(2\sqrt{2}+\sqrt{10}\right))]24개, [math(\left(\sqrt{19+8\sqrt{5}}\right))]12개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{78+34\sqrt{5}}}{2}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\dfrac{3\sqrt{6}+\sqrt{30}}{2}\right))]32개(4개+4개+24개), [math(\left(\dfrac{\sqrt{86+38\sqrt{5}}}{2}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\sqrt{23+10\sqrt{5}}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}\right))]4개, [math(\left(\dfrac{3\sqrt{7}+\sqrt{35}}{2}\right))]12개, [math(\left(\sqrt{25+11\sqrt{5}}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{106+46\sqrt{5}}}{2}\right))]12개, [math(\left(2\sqrt{3}+\sqrt{15}\right))]4개, [math(\left(3\sqrt{2}+\sqrt{10}\right))]1개. [[분류:도형]]캡챠되돌리기