오일러-매클로린 공식 (덤프버전으로 되돌리기)

[[분류:해석학(수학)]]
[include(틀:해석학·미적분학)]

[목차]
== 개요 ==
오일러-매클로린 공식(Euler-Maclaurin formula, 간단히 EMF)은 [[레온하르트 오일러]]와 콜린 매클로린이 1700년대에 각각 발견한 공식으로, 유한합과 적분 사이의 관계를 나타내는 식이다. 이를 통해 유한합을 적분으로 [[근사]]하거나 반대로 적분을 유한합으로 근사할 수 있다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=m}^{n-1} f(k) = &\int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\sum_{r=1}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) \\
&+\frac{(-1)^{(p+1)}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor) f^{(p)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||
여기서 [math(m)], [math(n)]은 [math(m<n)]인 [[정수]]이고 [math(p)]는 [math(p\in\Z^{0+})]이다.[* [math(0)] 이상의 정수] [math(p=0)]일 경우 시그마는 공합(empty sum) 상태가 되고, 공합을 0으로 정의하는 관례에 따라 여기서도 [math(p=0)]일 때 시그마의 값을 0으로 정의한다. 그리고 함수 [math(f(x))]는 [[매끄러움#s-1|[math(f(x) \in C^p([m,n]))]]]이고[* 구간 [math([m,n])]에서 [math(p)]계도함수가 연속] [math(f^{(r)}(x))]는 함수 [math(f(x))]의 [math(r)]계도함수를 의미하며, [math(B_r)]은 [[베르누이 수]], [math(B_p(x))]는 [[베르누이 다항식]]이다. [math(\lfloor x \rfloor)]는 [[최대 정수 함수]]이다. 오일러-매클로린 공식은 필요에 따라 조금씩 형태가 다른 식들도 쓴다. [[#다른 형태들|다른 형태들]] 문단 참고.

본 문서에서는 [[베르누이 수]]와 [[베르누이 다항식]]의 여러 성질들이 빈번히 사용되므로, 각 문서들의 내용을 숙지하고 있는 상태에서 아래의 내용들을 보는 것이 좋다.

== 주기화된 베르누이 다항식 ==
[[함수#주기함수|주기]]화된 [[베르누이 다항식]] [math(b_n(x))]를 다음과 같이 정의하자.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(
b_n(x) = B_n(x - \lfloor x \rfloor)
)]}}}||
여기서 [math(\lfloor x \rfloor)]는 [[최대 정수 함수]]이다. 그러면 임의의 정수 [math(k)]에 대해 다음이 성립한다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(
b_n(k) = B_n(k - \lfloor k \rfloor) = B_n(0) = B_n
)]}}}||
한편, [math(B_0(x)=1)]이므로 다음이 성립한다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(
b_0(x) = 1
)]}}}||
이제 [math(b_n(x))]를 적분해보자. 임의의 정수 [math(k)]에 대해 구간 [math([k,k+1))]에서 [math(b_n(x))]를 적분하면 아래와 같다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_k^{k+1} b_n(x) \,{\rm d}x &= \lim_{a\to1-} \int_k^{k+a} B_n(x - \lfloor x \rfloor) \,{\rm d}x = \lim_{a\to1-} \int_k^{k+a} B_n(x - k) \,{\rm d}x \\
&= \lim_{a\to1-} \int_0^a B_n(x) \,{\rm d}x = \!\biggl[ \frac1{n+1} B_{n+1}(x) \biggr]_0^1 = \frac{B_{n+1}(1) - B_{n+1}(0)}{n+1} \\
&= \frac{B^+_{n+1} - B_{n+1}}{n+1}
\end{aligned} )]}}}||
본 문서에서는 이를 편의상 다음과 같이 표기하자.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_k^{k+1} b_n(x) \,{\rm d}x = \frac1{n+1} [ b_{n+1}(x) ]_k^{k+1} = \frac{B_{n+1}(1) - B_{n+1}(0)}{n+1}
\end{aligned} )]}}}||
즉, 아래의 첫째 줄처럼 계산해야 한다. 둘째 줄처럼 계산하면 틀린 계산이다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_k^{k+1} b_n(x) \,{\rm d}x = \frac1{n+1} [ b_{n+1}(x) ]_k^{k+1} &= \frac{\displaystyle \lim_{a\to1-} b_{n+1}(k+a) - b_{n+1}(k)}{n+1} = \frac{B_{n+1}(1) - B_{n+1}(0)}{n+1} = \frac{B^+_{n+1} - B_{n+1}}{n+1} \\
&\ne \frac{b_{n+1}(k+1) - b_{n+1}(k)}{n+1} = \frac{B_{n+1}(0) - B_{n+1}(0)}{n+1} = 0
\end{aligned} )]}}}||

== 증명 ==
[math(b_0(x) = 1)]이므로, [math(m \le k < n)]인 정수 [math(k)]에 대해 [math(f(x))]를 다음과 같이 적분할 수 있다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_k^{k+1} f(x) \,{\rm d}x &= \int_k^{k+1} b_0(x) f(x) \,{\rm d}x \\
&= \frac1{1!} [ b_1(x)f(x) ]_k^{k+1} -\frac1{1!} \int_k^{k+1} b_1(x)f'(x) \,{\rm d}x \\
&= \frac1{1!} [ b_1(x)f(x) ]_k^{k+1} -\frac1{2!} [ b_2(x)f'(x) ]_k^{k+1} +\frac1{2!} \int_k^{k+1} b_2(x)f''(x) \,{\rm d}x \\
&= \frac1{1!} [ b_1(x)f(x) ]_k^{k+1} -\frac1{2!} [ b_2(x)f'(x) ]_k^{k+1} +\frac1{3!} [ b_3(x)f''(x) ]_k^{k+1} -\frac1{3!} \int_k^{k+1} b_3(x)f'''(x) \,{\rm d}x \\
&= \cdots \\
&= \sum_{r=1}^p \frac{(-1)^{r-1}}{r!} [ b_r(x)f^{(r-1)}(x) ]_k^{k+1} -\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_k^{k+1} b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||
한편, [math(r=1)]인 경우 시그마 안의 항을 다음과 같이 정리할 수 있고
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\begin{aligned}
\dfrac1{1!} [ b_1(x)f(x) ]_k^{k+1} &= B_1(1)f(k+1) -B_1(0)f(k) \\
&= \dfrac12 ( f(k+1)+f(k) )
\end{aligned} )]}}}||
[math(r\ge2)]의 짝수인 경우, [math(b_r(k+1) = B_r(1) = B^+_r = B_r)]이고 [math(b_r(k) = B_r(0) = B_r)]이므로 다음과 같다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\begin{aligned}
\dfrac{(-1)^{r-1}}{r!} [ b_r(x)f^{(r-1)}(x) ]_k^{k+1} &= \dfrac{-1}{r!} ( B_rf^{(r-1)}(k+1) -B_rf^{(r-1)}(k) ) \\
&= -\dfrac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(k+1) -f^{(r-1)}(k) )
\end{aligned} )]}}}||
[math(r\ge2)]의 홀수인 경우, [math(b_r(k+1) = b_r(k) = B_r = 0)]이어서 아래와 같이 항이 지워지므로 홀수인 항은 신경쓸 필요가 없다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\begin{aligned}
\dfrac{(-1)^{r-1}}{r!} [ b_r(x)f^{(r-1)}(x) ]_k^{k+1} &= \dfrac{(-1)^{r-1}}{r!} ( b_r(k+1)f^{(r-1)}(k+1) -b_r(k)f^{(r-1)}(k) ) \\
&= 0
\end{aligned} )]}}}||
따라서 위 세 경우를 모두 종합하면 아래와 같이 정리된다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_k^{k+1} f(x) \,{\rm d}x &= \sum_{r=1}^p \frac{(-1)^{r-1}}{r!} [ b_r(x)f^{(r-1)}(x) ]_k^{k+1} +\frac{(-1)^p}{p!} \int_k^{k+1} b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \\
&= \frac12 ( f(k+1) +f(k) ) -\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(k+1) -f^{(r-1)}(k) ) -\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_k^{k+1} b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||
위 식을 [math(k=m)]부터 [math(k=n-1)]까지 합하자.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=m}^{n-1} \int_k^{k+1} f(x) \,{\rm d}x &= \int_m^n f(x) \,{\rm d}x \\
&= \sum_{k=m}^{n-1} \Biggl[ \frac12 ( f(k+1) +f(k) ) -\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(k+1) -f^{(r-1)}(k) ) -\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_k^{k+1} b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \Biggr] \\
&= \sum_{k=m}^{n-1} \frac{f(k+1) +f(k)}2 -\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} \sum_{k=m}^{n-1} ( f^{(r-1)}(k+1) -f^{(r-1)}(k) ) -\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \sum_{k=m}^{n-1} \int_k^{k+1} b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \\
&= \!\Biggl( \sum_{k=m}^n f(k) -\frac{f(n)+f(m)}2 \Biggr) \!-\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) -\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \\
\Rightarrow \int_m^n f(x) \,{\rm d}x &= \!\Biggl( \sum_{k=m}^n f(k) -\frac{f(n)+f(m)}2 \Biggr) \!-\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) -\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||
[math(f(k))]에 대한 합만 남기고 나머지 항을 다 넘기면
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=m}^n f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\frac{f(n)+f(m)}2 +\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||
양 변에서 [math(f(n))]을 빼면
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=m}^{n-1} f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x -\frac{f(n)-f(m)}2 +\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||
[math(B_1 = -\dfrac12)]이므로 다음과 같이 분수 항을 시그마 안으로 넣을 수 있다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=m}^{n-1} f(k) &= \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\sum_{r=1}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n b_p(x)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \\
&= \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\sum_{r=1}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor)f^{(p)}(x) \,{\rm d}x \\
\end{aligned} )]}}}||

=== 다른 형태들 ===
앞서 증명한 형태는 다음과 같다. 본 문단에서는 편의를 위해 이를 '''__형태1__'''로 부를 것이다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=m}^{n-1} f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\sum_{r=1}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor) f^{(p)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||
아래에서 소개하는 형태들은 모두 똑같은 이름으로 불리고 있지만, 일부가 미묘하게 다른 식들이다. 물론 모두 같은 의미를 지니고 있다. 모두 현장에서 각각의 필요에 맞게 약간의 변형을 가한 식들이다.

위의 형태1에서 [math(r=1)]인 부분을 시그마 밖으로 빼내자. [math(B_1=-\dfrac12)]임을 이용하면 다음과 같다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=m}^{n-1} f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x -\frac{f(n)-f(m)}2 +\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor) f^{(p)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||
양 변에 [math(f(n))]을 더하면 아래와 같은 '''__형태2__'''가 얻어진다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=m}^n f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\frac{f(n)+f(m)}2 +\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor) f^{(p)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||
형태2의 양 변에서 [math(f(m))]을 빼면 다음과 같다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=m+1}^n f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\frac{f(n)-f(m)}2 +\sum_{r=2}^p \frac{B_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor) f^{(p)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||
[math(B^+_1=\dfrac12)]이고 [math(r\ge2)]인 모든 [math(r)]에 대해 [math(B^+_r=B_r)]임을 이용하면 아래와 같은 '''__형태3__'''을 얻을 수 있다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=m+1}^n f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\sum_{r=1}^p \frac{B^+_r}{r!} ( f^{(r-1)}(n) -f^{(r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor) f^{(p)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||

형태2에서 [math(r)]이 [math(r\ge2)]인 홀수인 경우 [math(B_r=0)]이므로 급수에 아무런 영향을 미치지 않는다. 따라서 시그마에서 [math(r)]이 짝수인 경우에 대한 항만 더해도 충분하다. 그러면 아래와 같이 '''__형태4__'''를 얻을 수 있다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=m}^n f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\frac{f(n)+f(m)}2 +\sum_{r=1}^{\normalsize \lfloor \frac p2 \rfloor} \frac{B_{2r}}{(2r)!} ( f^{(2r-1)}(n) -f^{(2r-1)}(m) ) +\frac{(-1)^{p+1}}{p!} \int_m^n B_p(x-\lfloor x\rfloor) f^{(p)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||
[math(p=2q)]로 치환하자.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=m}^n f(k) = \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\frac{f(n)+f(m)}2 +\sum_{r=1}^{q} \frac{B_{2r}}{(2r)!} ( f^{(2r-1)}(n) -f^{(2r-1)}(m) ) -\frac1{(2q)!} \int_m^n B_{2q}(x-\lfloor x\rfloor) f^{(2q)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||
부분적분을 한번 더 수행하면 다음과 같다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=m}^n f(k) =& \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\frac{f(n)+f(m)}2 +\sum_{r=1}^{q} \frac{B_{2r}}{(2r)!} ( f^{(2r-1)}(n) -f^{(2r-1)}(m) ) \\
&-\frac{B_{2q+1}}{(2q+1)!} ( f^{(2q)}(n) -f^{(2q)}(m) ) +\frac1{(2q+1)!} \int_m^n B_{2q+1}(x-\lfloor x\rfloor) f^{(2q+1)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||
[math(B_{2q+1}=0)]이므로 부분적분으로 생긴 분수 항은 사라지고 마지막 적분만 남는다. 그러면 아래와 같이 '''__형태5__'''가 얻어진다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=m}^n f(k) =& \int_m^n f(x) \,{\rm d}x +\frac{f(n)+f(m)}2 +\sum_{r=1}^{q} \frac{B_{2r}}{(2r)!} ( f^{(2r-1)}(n) -f^{(2r-1)}(m) ) +\frac1{(2q+1)!} \int_m^n B_{2q+1}(x-\lfloor x\rfloor) f^{(2q+1)}(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}||

== 사용 ==
[[제타 함수]]의 음의 정수로의 해석적 연속, [[스털링 근사]]의 증명 등에 쓰인다.
오일러-매클로린 공식 (덤프버전으로 되돌리기)

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