이곳은 개발을 위한 베타 사이트 입니다.기여내역은 언제든 초기화될 수 있으며, 예기치 못한 오류가 발생할 수 있습니다. 문서 보기문서 편집수정 내역 무리함수 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:초등함수의 목록)] [목차] == 정의 == {{{+1 [[無]][[理]][[函]][[數]] / irrational function}}} 교육과정 전용 용어로, 이 문서에서는 [math(f(x)=\sqrt{ax+b}+c)] 꼴의 함수를 중심으로 설명한다. 무리함수에는 [[제곱근|근호]]가 포함되어 있고, [[실수(수학)|실수]] 범위에서 근호 안에는 [[음수(수학)|음수]]가 올 수 없기 때문에(음수까지 포함하는 경우는 [[무리함수#s-2.2|후술]].) [math(f(x)=\sqrt{ax+b}+c)] (단, [math(a>0)])에 대하여 정의역은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \left\{\biggl. x \biggr|x \geq -\frac{b}{a},\,x \in \mathbb{R} \right \} )]}}} 를 만족시켜야 하고, 치역은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \{ f(x)|f(x) \geq c,\,f(x) \in \mathbb{R} \} )]}}} 이 된다. 특히 [math(b=c=0)]일 때, 함수의 꼴은 [math(f(x)=\sqrt{ax})]가 되고, * 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \geq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )]이다. * 치역은 [math( \displaystyle \{ f(x)|f(x) \geq 0,\,f(x) \in \mathbb{R} \} )]이다. 그러나 [math(f(x)=\sqrt{x^2 + x+1})]이나 [math(f(x)=\sqrt{{(x+3)}/{(2x-7)}})]과 같은 함수도 무리함수다. == 그래프 == 무리함수 [math(y=\pm \sqrt{ax+b}+c)]의 그래프의 성질은 다음과 같다. * 무리함수의 [[역함수]]는 [[이차함수]]이므로 [[포물선]]의 일부이다. * 그래프의 시작점은 [math(\left( -\dfrac{b}{a},\,c \right))]이다. * [math(|a|)]값이 작을수록 그래프는 직선 [math(y=c)]에 가까워진다. 모든 무리함수의 그래프는 평행이동을 통하여 [math(y=\pm \sqrt{\pm ax})] 형태로 바꿀 수 있으므로 이 함수들의 그래프만 따져보면 된다. 다음은 무리함수 [math(y=\pm \sqrt{\pm ax}\;(a>0))]의 그래프이다. [[파일:나무_무리함수_그래프_11.png|width=270&align=center]] 무리함수 [math(y=\pm \sqrt{ax+b}+c)]의 그래프는 [math(y=\pm \sqrt{ax})]를 평행이동하면 된다. 예시로 [math(y=\sqrt{-2x-4}+3)]은 [math(y=\sqrt{2x})]를 [math(y)]축에 대하여 대칭이동 한 후 [math(x)]축 방향으로 [math(-2)]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(3)]만큼 평행이동한 것이므로 그래프는 아래와 같다. [[파일:나무_무리함수_그래프_예시.png|width=220&align=center]] === 대칭이동 === 무리함수 [math(f(x)=\sqrt{ax+b}+c)] (단, [math(a>0)])는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle f(x)=\sqrt{a\left(x+\frac{b}{a} \right)}+c )]}}} 형태로 변환할 수 있고, 이에 따라 해당 함수의 그래프는 [math(y=\sqrt{ax})]의 그래프를 [math(x)]축 방향으로 [math(-{b}/{a})]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(c)]만큼 평행이동한 것이므로 그 기본꼴 [math(y=\sqrt{ax})]에 대해 살펴볼 필요가 있다. 여기에서 다음 세 가지 유형의 함수를 얻을 수 있다. * [math(y=\sqrt{-ax})] * [math(y=\sqrt{ax})]를 [math(y)]축에 대하여 대칭이동 * 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \leq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )] * 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \geq 0,\,y \in \mathbb{R} \} )] * [math(y=-\sqrt{ax})] * [math(y=\sqrt{ax})]를 [math(x)]축에 대하여 대칭이동 * 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \geq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )] * 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \leq 0,\,y \in \mathbb{R} \} )] * [math(y=-\sqrt{-ax})] * [math(y=\sqrt{ax})]를 원점에 대하여 대칭이동 * 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \leq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )] * 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \leq 0,\,y \in \mathbb{R} \} )] === [[해석적 연속|해석적 확장]] === {{{#!wiki style="border: 1px solid gray; border-top: 5px solid #00a495; padding: 12px" {{{+1 이 문서에선 {{{#00a495 [[복소해석학|{{{#00a495 복소해석학}}}]]의 관례}}}에 따라 [[자연로그]]를 [math(\log)]로 표기합니다.}}}}}} [[실수(수학)|실수]] 범위에서는 무리함수 그래프가 온전히 보이지 않으므로, [[복소평면]]으로 정의를 확장해 보자. 제곱근은 [[지수함수]]와 [[복소로그함수]]의 [[합성함수|합성]]으로 나타낼 수 있으므로[* 모든 [[초등함수]]의 공통적인 특징이다.], 아래와 같이 변형할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \displaystyle \sqrt{z} &= e^{(\log z) / 2} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} {\{(\log z) / 2\}^n \over n!} \\ &= 1 + \frac{\log z}{2} + \frac{\log^2 z}{8} + \frac{\log^3 z}{48} + \cdots \end{aligned})]}}} 이 식으로 복소평면에서 아래의 그래프를 얻는다: ||<#FFFFFF> [[파일:Complex_sqrt_leaf1.jpg|width=160]] ||<#FFFFFF> [[파일:Complex_sqrt_leaf2.jpg|width=160]] || ||<-2> [math(\sqrt{z} : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C})]의 그래프 || 복소평면에서는 [[음수(수학)|[math(\Re(z) < 0)], [math(\Im(z)=0)]]]에서 색이 끊긴 듯한 방사형 그래프가 두 장 나오는데[* 즉, [[다가 함수]]다.], 사실 저 끊긴 듯한 부분은 ''서로를 이어주는 이음매''이다. 이를 옆에서 보면 아래와 같은 모양이 된다.[* 이처럼 복소평면에서 하나의 함수가 둘 이상의 함수 그래프를 그릴 때, 이를 하나의 [[곡면]]으로 [[매끄러움|매끄럽게]] 이어붙인 것을 리만 곡면(Riemannsche Fläche)이라고 한다.] [[파일:Riemann_surface_sqrt.svg|align=center&width=320]] [math(n)]제곱근의 경우 [math(n)]개로 분할 가능한 곡면이 나타난다. ||<#FFFFFF> [[파일:1280px-Riemann_surface_cube_root.svg|width=160]] ||<#FFFFFF> [[파일:Riemann_surface_4th_root.svg|width=160]] || || [math(f(z)=\sqrt[3]{z})] || [math(f(z)=\sqrt[4]{z})] || == [[역함수]] == 무리함수 [math(y=\pm \sqrt{ax+b}+c)]의 역함수를 구하기 위해 [math(x)]와 [math(y)]의 자리를 바꾸면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle x=\pm\sqrt{ay+b}+c \quad \to \quad \pm\sqrt{ay+b}=x-c )]}}} 양변을 제곱하여 정리하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle ay+b=(x-c)^{2} \quad \to \quad y=\frac{1}{a}\{(x-c)^{2}-b\} )]}}} 로 [[이차함수]]가 된다. 단, 역함수의 정의역은 본래 함수의 치역임에 유의한다. 즉, 역함수의 그래프는 대칭축을 기준으로 반으로 잘린 모양이다. == 무한에 대한 [[극한|극한값]] == 모든 무리함수의 그래프는 무리함수 [math(y=\sqrt{ax} \;(a>0))]의 그래프를 평행이동 혹은 대칭이동하여 만들 수 있다. 따라서 [math(y=\sqrt{ax} \;(a>0))]만 논해도 무방하다. [math(y=\sqrt{ax} \;(a>0))]의 극한값은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \lim_{x\to \infty}\sqrt{ax}=\infty )]}}} 이고, 이는 변형된 [[엡실론-델타 논법]]으로 증명된다. 곧, 임의의 양수 [math(M)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle x>K \Rightarrow \sqrt{ax} >M )]}}} 을 만족시키는 양수 [math(K)]가 존재함을 보이면 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \sqrt{ax} >M &\to \sqrt{x}>\frac{M}{\sqrt{a}} \\& \to x>\frac{M^{2}}{a} \end{aligned})]}}} 따라서 [math( \displaystyle K = {M^{2}}/{a} )]으로 택하면 충분하고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} x>\frac{M^{2}}{a} \Rightarrow \sqrt{ax}>M \end{aligned} )]}}} 이므로 [math(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\sqrt{ax}=\infty)]임을 알 수 있다. 고등학교 수준에서는 '[math(x)]가 무한히 커지면 [math(\sqrt{ax})]도 무한히 커지므로 [math(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\sqrt{ax}=\infty)]'로 알면 충분하다. == [[도함수]] == 무리함수 [math(f(x)=\sqrt[n]{x})]의 도함수는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt[n]{x}}{nx} )]}}} 이 도함수는 [[0으로 나누기|[math(x=0)]에서의 미분계수를 정의할 수 없음]]을 나타낸다. == [[역도함수]] == 무리함수 [math(f(x)=\sqrt[n]{x})]의 역도함수는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \int f(x)\, {\rm d}x=\frac{nx\sqrt[n]{x}}{n+1}+\textsf{const.} )]}}} 이다. [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이며 [math(C)]로도 쓴다. === 특수한 적분법 === ==== 일차식의 거듭제곱근이 포함된 경우 ==== 피적분함수가 [math(\sqrt[n]{ax+b})] (단, [math(a)], [math(b)]는 상수)를 포함할 때는 [math( \displaystyle \sqrt[n]{ax+b}=t )]로 치환하면 피적분함수가 [math(t)]에 대한 유리식이 되어 적분할 수 있다. ==== 유리식의 거듭제곱근이 포함된 경우 ==== 피적분함수가 [math( \displaystyle \sqrt[n]{(ax+b)/(cx+d)} )] (단, [math(a\sim d)]는 상수)를 포함할 때는 [math( \displaystyle \sqrt[n]{(ax+b)/(cx+d)}=t )]로 치환하면 피적분함수가 [math(t)]에 대한 유리식이 되어 적분할 수 있다. ==== [[삼각치환|삼각치환법]] ==== 피적분함수가 [math(\sqrt{a^2-x^2})], [math(\sqrt{a^2+x^2})] (단, [math(a)]는 상수) 형태일 때 변수를 [[삼각함수]]로 치환하여 적분하는 방법이다. [include(틀:상세 내용, 문서명=삼각치환)] ==== 이차식의 제곱근이 포함된 경우 ==== 피적분함수가 [math(\sqrt{ax^2+bx+c} )] (단, [math(a)], [math(b)], [math(c \neq 0)])를 포함할 때, [math(a)]의 부호에 따라 다르게 적분한다.[* 단, 드물지만 완전제곱식이 튀어나와서 사실상 일차함수인데 무리함수로 위장하여 낚는 경우도 있다. ] '''[1] [math(\boldsymbol{a>0})]''' {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x)]}}} 로 치환하여 피적분함수를 [math(t)]에 대한 유리식으로 바꾸어 적분한다. '''[2] [math(\boldsymbol{a<0})]''' 이차식 [math(ax^2+bx+c)]를 [math(a(x-\alpha)(x-\beta))]로 인수분해하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \sqrt{\dfrac{x-\alpha}{\beta-x}}=t )]}}} 로 치환한 뒤 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( x=\dfrac{\alpha+\beta t^2}{t^2+1} \quad \to \quad {\rm d}x=\dfrac{2t(\beta-\alpha)}{(1+t^2)^2}\,{\rm d}t )]}}} 이고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \sqrt{ax^2+bx+c}=\dfrac{\sqrt{-a} |\alpha-\beta| }{1+t^2} )]}}} 임을 이용하여 적분한다. ==== [[타원 적분]] ==== [include(틀:상세 내용, 문서명=타원 적분)] 무리함수의 적분으로 정의되는 [[특수함수]]이다. == [[정적분]] == * [math(\displaystyle \int^1_{-1} \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} = 2\int_0^1 \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} = \pi)][* [math(\pi)]는 [[원주율]]이다.] == 기타 == * 무리함수는 도함수를 구하는 것이 비교적 쉬우나 역도함수는 여러 적분법을 써야 간신히 구해지는 경우가 많다. == 관련 문서 == * [[근호]] * [[이차함수]] [[분류:해석학(수학)]][[분류:초등함수]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]캡챠되돌리기