문서 보기문서 편집수정 내역 도함수표 (덤프버전으로 되돌리기) [[분류:미적분]] [include(틀:관련 문서, top1=역도함수표)] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == 여러 [[함수]]의 [[도함수]]를 수록한 문서이다. [[미분]]한 결과만을 정리한 문서이므로 유도 과정은 각 함수에 관한 문서를 참고하자. == 기본 == === 선형성(linearity)[* 어떤 연산자가 분배 법칙 및 상수배 성질을 만족시키는 경우 선형성이 있다고 하며, 이런 형태의 결합을 선형결합(linear combination)이라고 한다.] === 단, [math(\alpha)], [math(\beta)]는 상수이다. * [math(\left\{ \alpha f( x)+ \beta g(x) \right\}'=\alpha f'(x) +\beta g'( x ))] === [[곱미분]] === * [math(\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x))] * [math(\{f(x)g(x)h(x)\}'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x))] [math(\vdots)] === [[몫미분]] === * [math(\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^{2}} \; )] === [[합성함수]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=연쇄 법칙)] * [math(\{(f\circ g)(x)\}'=(f' \circ g)(x)\,g'(x))] === [[역함수]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=역함수 정리)] * [math(\{f^{-1}(x)\}'=\dfrac{1}{(f' \circ f^{-1})(x)})] === [[정적분#s-4.1|정적분으로 정의된 함수]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=미적분의 기본정리, 문단=3)] * [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^xf(t)\,\mathrm{d}t = f(x))] * [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_x^af(t)\,\mathrm{d}t = -f(x))] * [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^{h(x)}f(t)\,\mathrm{d}t = (f\circ h)(x)\cdot h'(x))] * [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{g(x)}^af(t)\,\mathrm{d}t = -(f\circ g)(x)\cdot g'(x))] * [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{g(x)}^{h(x)}f(t)\,\mathrm{d}t = (f\circ h)(x)\cdot h'(x)-(f\circ g)(x)\cdot g'(x))] * [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^bf(x,\,t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b \frac{\partial}{\partial x}f(x,\,t)\,\mathrm{d}t)] * [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{g(x)}^{h(x)}f(x,\,t)\,\mathrm{d}t = f(x,\,h(x))\cdot h'(x) - f(x,\,g(x))\cdot g'(x) + \int_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial}{\partial x}f(x,\,t)\,\mathrm{d}t )] == [[초등함수]] == === [[다항함수]] === * [math((ax^n)'=anx^{n-1})] (단, [math(n \neq 0)]인 상수) * 특히, [math(n=0)]이면 * [math(ax^0=a \; \to \; a'=0)] ([[상수함수]]) === [[무리함수|거듭제곱근 함수]] === * [math((\sqrt[n]{x})' = \dfrac{\sqrt[n]{x}}{nx})] (단, [math(n \neq 0)]인 상수) === [[지수함수]] === * [math((a^{f(x)})'=a^{f(x)}f'(x)\cdot{\rm ln}\,a)] (단, [math(a)]는 상수) * 특별히, [math(a=)] [[자연로그|[math(e)]]]이면 * [math((e^{f(x)})'=e^{f(x)}f'(x)\cdot{\rm ln}\,e=e^{f(x)}f'(x))] * 특별히, [math(f(x)=x)]이면 * [math((a^x)'=a^x\cdot{\rm ln}\,a)] * 특별히, [math(a=)] [[자연로그|[math(e)]]]이고 [math(f(x)=x)]이면 * [math((e^x)'=e^x\cdot {\rm ln}\,e=e^x)] ==== [[제곱근|루트]] ==== [math( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2} } )]이고 [math(d \left( x^n \right) = n x^{n-1 } )]이므로 [math(d \left( \sqrt{x} \right) = d \left( x^{\frac{1}{2} } \right) )] [math( = \dfrac{1}{2} x^{\frac{1}{2} -1 } )] [math( = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} } )] 또는 [math( = \frac{1}{2} \left( { \frac{1}{\sqrt{x}} } \right) )] [math( = { \frac{1}{2\sqrt{x}} } )] ==== [[허수지수함수]] ==== * [math([ \operatorname{cis}(z) ]' = i \operatorname{cis}(z))] * [math([ \overline{\operatorname{cis}}(z) ]' = -i\,\overline{\operatorname{cis}}(z))] === [[삼각함수]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=삼각함수/도함수)] * [math(({\rm sin}\,x)'={\rm cos}\,x)] * [math(({\rm cos}\,x)'=-{\rm sin}\,x)] * [math(({\rm tan}\,x)'={\rm sec}^2\,x)] * [math(({\rm cot}\,x)'=-{\rm csc^2}\,x)] * [math(({\rm sec}\,x)'={\rm sec}\,x{\rm tan}\,x)] * [math(({\rm csc}\,x)'=-{\rm csc}\,x{\rm cot}\,x)] ==== [[싱크 함수]] ==== * [math(({\rm sinc}\,x)'= \dfrac{x \cos x - \sin x}{x^2})] === [[역삼각함수]] === * [math((\arcsin x)' = \dfrac1{\sqrt{1-x^2}})] * [math((\arccos x)' = -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}})] * [math((\arctan x)' = \dfrac1{1+x^2})] * [math((\mathrm{arcsec}\,x)' = \dfrac1{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}})] * [math((\mathrm{arccsc}\,x)' = -\dfrac1{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}})] * [math((\mathrm{arccot}\,x)' = -\dfrac1{1+x^2})] === [[쌍곡선 함수]] === * [math(({\rm sinh}\,x)'={\rm cosh}\,x)] * [math(({\rm cosh}\,x)'={\rm sinh}\,x)] * [math(({\rm tanh}\,x)'={\rm sech}^2\,x)] * [math(({\rm coth}\,x)'=-{\rm csch}^2\,x)] * [math(({\rm sech}\,x)'=-{\rm sech}\,x{\rm tanh}\,x)] * [math(({\rm csch}\,x)'=-{\rm csch}\,x{\rm coth}\,x)] === [[역쌍곡선 함수]] === * [math((\mathrm{arsinh}\,x)' = \dfrac1{\sqrt{x^2+1}})] * [math((\mathrm{arcosh}\,x)' = \dfrac1{\sqrt{x^2-1}} \quad (x>1))] * [math((\mathrm{artanh}\,x)' = \dfrac1{1-x^2} \quad (|x|<1))] * [math((\mathrm{arcoth}\,x)' = \dfrac1{1-x^2} \quad (|x|>1))] * [math((\mathrm{arsech}\,x)' = -\dfrac1{x\sqrt{1-x^2}} \quad (0 0))] * [math(({\rm Log}\,z)' = \dfrac{1}{z} \; (z \neq 0))] * [math((\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a} \; (x > 0))] == [[특수함수]] == === [[오차함수]] === * [math([{\rm erf}(x) ]' = \dfrac{2e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}})] * [math([{\rm erfc}(x) ]' = -\dfrac{2e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}})] * [math([{\rm erfi}(x) ]' = \dfrac{2e^{x^2}}{\sqrt{\pi}})] === [[지수 적분 함수]] === * [math([{\rm Ei}(x) ]' = \dfrac{e^x}{x})] === [[로그 적분 함수]] === * [math([{\rm li}(x) ]' = \dfrac{1}{\ln x})] === [[삼각 적분 함수]] === * [math([{\rm Si}(x) ]' = \dfrac{\sin x}{x})] * [math([{\rm Ci}(x) ]' = \dfrac{\cos x}{x})] === [[쌍곡선 적분 함수]] === * [math([{\rm Shi}(x) ]' = \dfrac{\sinh x}{x})] * [math([{\rm Chi}(x) ]' = \dfrac{\cosh x}{x})] === [[프레넬 적분 함수]] === * [math([S(x) ]' = \sin{ \!\left( \dfrac{\pi x^2}{2} \right) \, {\sf or} \; \sin x^2})] * [math([C(x) ]' = \cos{ \!\left( \dfrac{\pi x^2}{2} \right) \, {\sf or} \; \cos x^2})] === [[구데르만 함수]] === * [math([{\rm gd}(x) ]' = {\rm sech}\,x)] * [math([{\rm igd}(x) ]' = \sec x)] === [[타원/타원 적분|타원 적분 함수]] === * [math(\displaystyle [K(x,\,k) ]' = \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}}\sqrt{1-k^{2}x^{2} }} \quad (0 \leq k \leq 1))] * [math(\displaystyle [E(x,\,k) ]' = \frac{\sqrt{1-k^{2}x^{2} }}{\sqrt{1-x^{2} }} \quad (0 \leq k \leq 1) )] === [[브링 근호]] === * [math([\mathrm{BR}(x) ]' = -\dfrac{1}{5[ \mathrm{BR}(x) ]^4+1})] === [[폴리로그함수]] === * [math([\mathrm{Li}_s(x) ]' = \dfrac{\mathrm{Li}_{s-1}(x)}{x})] === [[제타 함수]] === 닫힌 형식으로 표현할 수 없고 [[급수(수학)|급수]]의 꼴로만 나타낼 수 있다. * [math(\zeta'(s) = \displaystyle - \sum^{\infty}_{k=2} k^{-s} \ln k)] === [[감마 함수]] === 특이하게도 아래와 같이 도함수가 재귀적으로 정의된다. 여기서 [math(\psi(z))]는 [[감마 함수#폴리감마 함수|디감마 함수]]다. * [math(\Gamma'(z) = \Gamma(z) \psi(z) = \Gamma(z) [ {\rm Log}\,\Gamma(z) ]' )] ==== [[로그 감마 함수]] ==== [math(\psi(z))]는 [[감마 함수#폴리감마 함수|디감마 함수]]다. * [math([{\rm Log}\,\Gamma(z) ]' =\psi(z) = \dfrac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} )] === [[람베르트 W 함수]] === * [math(W'(x)=\dfrac{W(x)}{x(W(x)+1)})] === [[부호 함수]] ・ [[헤비사이드 계단 함수]] === 아래 식에서 [math(\delta(x))]는 [[디랙 델타 함수]]이다. * [math([{\rm sgn}(x) ]' = 2 \delta(x))] * [math(u'(x)= \delta(x))] == [[음함수]] == === [[원(도형)|원]] === * [math((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\;\rightarrow\;\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=-\dfrac{x-a}{y-b})] ([math(a)], [math(b)], [math(r)]는 상수) === [[타원곡선]] === * [math(y^2 = x^3 + ax + b\;\rightarrow\;\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{3x^2 + a}{2y})] ([math(a)], [math(b)]는 상수) == 기타 == * [math(\left(\displaystyle\int_0^xf(t)(x-t)\;{\rm d}t\right)'=\displaystyle\int_0^xf(t)\;{\rm d}t)] * [math(|f(x)|' = ({\rm sgn} \circ f)(x)\,f'(x))] * [math((x^x)'=x^x(1+{\rm ln}\,x))] * [[무한 지수 탑 함수|[math(y=x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} })]]][math(\!\!\rightarrow\; \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\dfrac{y^2}{(x-xy\ln{x})}=\dfrac{[W(-\operatorname{Log}{x}) ]^2}{ x \operatorname{Log}^{2}{x} [W(-\operatorname{Log}{x}) + 1 ] })] == 분수함수의 미분 예 == [math( f(x) )]의 미분 [math( f'(x) = dx )]일때 [math( f(x) = \dfrac{1}{x^2})] [math( dx = d \left( \dfrac{1}{x^{2}} \right) = d \left( x^{-2} \right) = -2x^{-3} = -2\dfrac{1}{x^3} )] == 관련 문서 == * [[역도함수표]] * [[미분]] * [[도함수]] * [[삼각함수/도함수]]캡챠되돌리기