문서 보기문서 편집수정 내역 곡선 (덤프버전으로 되돌리기) [목차] == 개요 == {{{+1 [[曲]][[線]] / curve}}} 끊어지지 않고 휘어 있는 선. 수학 및 물리학 등에서 곡선은 대략 연속적으로 움직이는 점의 자취로 생각된다. 특히 물리학에서 시간에 따라 물체가 이동한 자취를 보통 곡선으로 설명하게 되는데, 위치를 [[좌표]]로 묘사하느냐 [[벡터]]로 묘사하느냐에 따라 다변수[[함수]] 혹은 벡터함수의 형태를 띄게 된다. 예를 들어 [[커브볼]]의 위치를 시간 [math(t)]에 대한 함수로 기록하면[* 공을 던진지 1초 후에 투수로부터 [math(3\,\rm m)] 앞을 [math(2\,\rm m)] 높이로 지났다면 [math(\mathbf{r}(1)=\left<3,\,2\right>)]라고 쓰는 식.] 보통 물리학적인 의미가 있는 3차원 공간 혹은 평면 속의 대개 충분히 [[매끄러움|매끄러운]] 곡선을 생각하게 된다. 속도, 가속도, 힘 등을 벡터함수의 [[미분]]으로 구하고 아름답게 표현하는 게 고전역학의 기초가 되는 사고방식이다. 물론 운동과 상관없어 보이는 곡선도 수학적 함수로 나타내어 미분을 통해 연구할 수 있다. [[미분기하학]]에서 다루게 되는데, 길이나 [[곡률]], [[접선|접선 벡터]] 같은 비교적 일상적인 개념들을 미분으로 나타내는 것부터 출발해 접촉 평면(osculating plane), 법선 벡터, 종법선(binormal vector) 벡터, 법평면 등 다양한 기하학적 성질을 탐구하게 된다. 이렇듯 학술적으로는 직선도 곡선의 일종으로 간주되지만(직선도 연속적으로 움직이는 점의 자취이니), 일상 언어로서 곡선은 보통 [[직선]]과 반의어로 쓰이고, 직선과 대조되는 이미지를 전달하는 경우가 많다. == 기하학에서의 곡선 == [include(틀:기하학·위상수학)] === 곡선의 수학적 정의와 매끄러움 === 곡선의 가장 기본적인 정의는 실수의 구간에서 [[위상 공간]]으로 가는 [[연속함수]], 혹은 그 치역(즉, 점의 집합으로서의 곡선의 모양) 정도로 생각할 수 있다. 곡선의 모양이 주어져 있을 때 이것을 연속함수로 나타내는 것을 '''매개화'''(parametrization)라 한다. 예를 들어, 원점을 중심으로 하는 반지름 1의 단위원을 [math( (\sin\theta,\,\cos\theta )\ (0 \le t \le 2\pi))]의 함수로 나타내는 식. 하지만 연속함수라는 조건만으로는 미분가능성이 보장되지 않아 얼마든지 이상한 모양이 나올 수 있고, 따라서 보통 제약조건을 추가하게 된다. [[미분기하학]]에서 연구하는 유클리드 공간(좌표공간 [math(\mathbb{R}^n)]) 속의 곡선 [math(\boldsymbol{\gamma}: [0,\,1] \to \mathbb{R}^n)]를 배울 때는 '''[[매끄러움|매끄러운]] 곡선'''(smooth curve)만을 취급하는데, 이는 간단히 얘기하면 위의 연속함수가 무한히 미분가능하여야 하고(즉, [math(C^{\infty})]), 정칙 곡선(regular curve)이어야 한다(즉, 미분해서 [math(0)]이 되는 점이 없어야 한다). [math((|\boldsymbol{\gamma}'(t)|>0))] [[매끄러움]] 항목에도 나와있지만, 정칙 조건을 없애면 [math(C^{\infty})] 함수의 자취라도 절대값 함수의 모양이라든지 얼마든지 부드럽지 않은 모양이 될 수 있기 때문이다. 꽤나 제한적인 조건이긴 하지만 보통의 기하학에선 매끄러운 곡선만 생각해도 충분하다. 보다 정밀하게 분류한다면, 정칙곡선 중 길이에 대한 매개화를 했을 때(자세한 것은 후술) 그 함수가 연속적으로 [math(k)]번 미분가능하면 [math(C^k)] 곡선으로 분류하는 기준이 있다. 예를 들어, 육상 트랙처럼 원과 직선을 붙인 곡선은 [math(C^1)]이지만 [math(C^2)]가 아니다. (물리학적으로 생각하면 속도가 연속이지만 가속도가 불연속인 경우) 매끄러운 곡선은 [math(C^{\infty})] 곡선이라 부른다. === 유클리드 공간에서의 곡선 === 유클리드 공간의 매끄러운 곡선이 벡터함수 혹은 [[다변수함수]]로 나타나기 때문에, 기본적인 벡터 [[미적분학]]에 대한 지식이 있어야 한다. 간단히 말하면, 벡터함수 [math(\mathbf{f})]의 미분은 일변수함수와 동일하게 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{f}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{f}'(t) = \lim_{h\rightarrow0} \frac{\mathbf{f}(t+h)-\mathbf{f}(t)}h )]}}} 벡터를 좌표로 나타내는 경우, 각각의 성분 함수의 미분이 된다. 합, 스칼라 곱, 내적, 외적, 합성함수의 미분 등에서 일반적인 일변수함수와 유사한 다음의 미분 규칙들이 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [\mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(t) ] &= \mathbf{u}'(t) + \mathbf{v}'(t) \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [f(t)\,\mathbf{u}(t) ] &= f'(t)\,\mathbf{u}(t) + f(t)\,\mathbf{u}'(t) \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [\mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}(t) ] &= \mathbf{u}'(t) \cdot \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}'(t) \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [\mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}(t) ] &= \mathbf{u}'(t) \times \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}'(t) \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [\mathbf{u}(f(t)) ] &= \mathbf{u}'(f(t))\,f'(t) \end{aligned} )]}}} ==== 접선벡터와 접선 ==== 이하 [math(\boldsymbol{\gamma}: [a,\,b] \rightarrow \mathbb{R}^n)]의 매끄러운 곡선을 생각하자. 곡선의 한 점에서 그은 접선은 함수의 미분 방향으로 결정된다. 접선의 방향을 나타내기 위해서 길이를 1로 표준화한 다음의 벡터 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{T}(t) = \frac{\boldsymbol{\gamma}'(t)}{|\boldsymbol{\gamma}'(t)|} = (\mathrm{sgn} \circ \boldsymbol{\gamma}')(t) )]}}} 를[* [math(\mathrm{sgn})]은 [[부호 함수]]이다.] '''단위접선벡터''' 혹은 '''단위접벡터(unit tangent vector)''''라 부른다. [[파일:나무_공간곡선_접선벡터_수정_수정_2.png|width=190&align=center]] 이렇게 표준화를 하는 이유는, 곡선을 다른 방식으로 매개화하면('''재매개화(reparametrization)'''라 부른다) [math(\boldsymbol{\gamma}'(t))]의 크기는 변할 수 있지만 방향은 변하지 않기 때문이다. 즉, 매개화에 상관 없는 곡선 모양의 고유한 성질을 연구하기 위해서이다. ==== 길이 ==== 함수 [math(\boldsymbol{\gamma})]가 미분가능할 때 곡선의 길이는 다음처럼 구할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} L &= \int_a^b |\boldsymbol{\boldsymbol{\gamma}}'(t)| \,\mathrm{d}t \\&=\Bigl[ (\mathrm{sgn} \circ \boldsymbol{\gamma}')(t)\,\boldsymbol{\gamma}(t) \Bigr]_a^b \end{aligned})]}}} 정확히 얘기한다면, 미적분학에서 언제나 그렇듯 곡선을 충분히 잘게 쪼개면 직선과 비슷해진다는 점을 이용해서 길이를 정의한다. 즉, 임의의 분할 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(a0)]를 만족한다면, 곡선을 길이에 대해 재매개화 할 수 있다. 즉, 구간을 [math([0,\,L])]로 정하고, [math([a,\,b])] 사이의 곡선의 길이가 정확히 구간의 길이가 되는 것. 이는 [math(|\boldsymbol{\gamma}'(s)|=1)] 혹은 [math(\boldsymbol{\gamma}'(s) = \mathbf{T}(s))]와 동치이다. 타원 같은 간단한 곡선도 길이를 계산하기 어려운 만큼 재매개화를 쉽게 계산하는 건 거의 불가능하지만, 매우 유용한 개념이다. 길이에 대한 재매개화 역시 곡선 고유의 성질이 된다. ==== [[곡률]] ==== 곡선이 얼마나 휘었는지를 나타내는 척도인 '''곡률'''(curvature)은, 길이에 대해 매개화 했을 때 단위접선벡터가 변하는 속도로 정의할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \kappa(s) = |\mathbf{T}'(s)| )]}}} 단, [math(s)]는 길이변수이다. 일반적인 변수에 대해서도 미분법칙을 잘 이용하면 나타낼 수 있지만 꽤나 귀찮아진다. 직선의 곡률은 [math(0)]이고, 반지름 [math(r)]인 원의 곡률은 [math(r^{-1})]이다. 즉, 곡률을 직관적으로 이해하려면 이 곡선은 반지름이 [math(\kappa^{-1})]인 원만큼 휘었다고 생각하면 된다. 역사적으로도 이 곡률의 역수인 '''곡률반경'''(radius of curvature) [math(r = \kappa^{-1})]과 곡률반경을 반지름으로 갖는 곡선에 접하는 원인 접촉원(osculating circle)이 곡률보다 먼저 나온 개념이었다고 한다. 만일 곡선을 물체의 운동으로 표현한다면[* 시간이라는 매개변수에 위치벡터를 대응시키는 함수로 표현하자는 의미이다.], 곡률은 다음과 같이 표현된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \kappa(t) &= \dfrac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|^3} \\&= \dfrac{|\mathbf{s}'(t)\times\mathbf{s}''(t)|}{|\mathbf{s}'(t)|^3} \end{aligned} )]}}} 곡률 만큼의 길이를 가진 [math(\mathbf{T}'(s))]를 '''곡률벡터'''(curvature vector)라 부른다. 곡률벡터는 항상 단위접벡터와 수직한다. 직관적으로 곡률벡터는 곡선을 따라 진행할 때 곡선이 휘는 방향과 정도를 나타낸다고 해석할 수 있다. 물리학자들은 곡률벡터를 곡선 위를 등속운동할 때의 가속도라고 생각할 수도 있다. 한편, 평면 위에서의 곡선을 생각한다면, 평면에서 단위접벡터와 수직한 벡터는 두 가지 방향밖에 없기 때문에, 이 중 진행방향의 왼쪽(즉, 단위접벡터를 반시계방향으로 90도 회전한 것)을 양(+)의 방향으로 놓으면 곡률을 '부호 있는 곡률(signed curvature)'이라는 숫자 하나로 표현할 수 있다. 평면에서는 이 곡률만으로 곡선의 모양이 결정되기 때문에 곡률의 지위가 특별한 편이다. ==== 공간곡선의 프레네 프레임 ==== 3차원 공간에서는 곡률의 수치만으로는 곡선이 어느 방향으로 휘는지 결정하는 것이 불분명하기 때문에, 방향의 기준을 잡아줄 좌표계와 또 다른 변수가 필요하다. 곡선이 길이 변수 [math(s)]에 대해 매개화되었고, 곡률이 [math(0)]이 아니라고 하자. 이 때, 다음의 세 벡터 [math(\mathbf{T}(s))], [math(\mathbf{N}(s))], [math(\mathbf{B}(s))]로 이루어진 국소 직교좌표를 [[프레네 프레임]](Frenet frame)이라 부른다. * '''단위접선벡터''': [math(\mathbf{T}(s))] * '''단위법선벡터'''(unit normal vector): [math(\mathbf{N}(s) = \dfrac{\mathbf{T}'(s)}{|\mathbf{T}'(s)|} = (\mathrm{sgn} \circ \mathbf{T}')(s))] * '''종법선벡터'''(binormal vector): [math(\mathbf{B}(s) = \mathbf{T}(s) \times \mathbf{N}(s))] [[파일:나무_공간곡선_Frenet frame.svg|width=190&align=center]] 종법선벡터의 방향은 곡선의 진행 방향과 곡선이 휘는 방향에 모두 수직한 방향이다. 이제 곡률 [math(\kappa = |\mathbf{T}'(s)|)]에 더해 [math(\tau = \mathbf{B}'(s) \cdot \mathbf{N}(s))]을 생각한다면, 이 좌표계의 변화는 다음과 같이 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{T}' &= \kappa \mathbf{N} \\ \mathbf{N}' &= -\kappa \mathbf{T} + \tau \mathbf{B} \\ \mathbf{B}' &= - \tau \mathbf{N} \end{aligned} )]}}} '''Frenet-Serret formula'''라 불리는 이 공식은 3차원 곡선을 설명하는 가장 중요한 공식으로 여겨진다. 이걸 이용하면 2차원과 비슷하게 [math(\kappa,\,\tau)] 두 변수만으로 곡선의 모양을 나타낼 수 있기 때문이다. 변수 [math(\tau)]는 곡선의 '''열률'''([[뒤틀림]], torsion)이라 불리고, 곡선에 가장 근접한 평면(즉, 접선벡터 [math(\mathbf{T})]와 법선벡터 [math(\mathbf{N})]을 모두 포함하는 평면)이 휘어지는 정도로 이해할 수 있다. 평면곡선의 경우 열률이 0이 된다. [[미분기하학]]에선 기타 수많은 평면 및 공간곡선의 성질을 배울 수 있다. === 예시 === * [[직선]]: 수학적으로 직선은 [[곡률]]이 0인 곡선이다. * [[원뿔곡선]] * [[타원곡선]] * [[포물선]] * [[쌍곡선]] * [[현수선]] * [[정규분포]]: [[상대평가]] 시의 성적분포곡선 * [[정현파|사인곡선]] * [[사이클로이드]] * [[시그모이드]] * [[베지에 곡선]] * [[코흐 곡선]] * [[페아노 곡선]] == [[그래프]]의 곡선 == [[경제학]] 등의 [[응용과학]]에선 함수나 통계 자료 등의 [[선 그래프]]에서 나타나는 선을 ○○곡선 등의 형식으로 부르는 경우도 많다. 이러한 경우 이름은 곡선이지만 직선인 경우도 있는데, 기하학적으로 보면 직선도 곡선 안에 포함되어 있기에 사실 결과가 직선으로 나와도 크게 상관 없긴 하다. === 목록 === * [[가격소비곡선]] * [[래퍼 곡선]] * [[로렌츠 곡선]] * [[망각 곡선]] * [[소득소비곡선]] * [[효용극대화 문제|엥겔 곡선]] * [[용량-반응 관계|용량-반응 곡선]] * [[킬링 곡선]] * [[필립스 곡선]] * [[학습 곡선]] * [[히스테리시스 곡선]] * [[구츠네츠 곡선]] [[분류:기하학]][[분류:해석학(수학)]]캡챠되돌리기