[include(틀:이산수학)]
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== 개요 ==
한 번 지나간 선으로는 지나가지 않고 모든 선을 이어 그림을 완성하는 것. 붓을 종이에서 떼지 않고 한 번에 그린다고 해서 '한붓그리기'라는 이름이 붙었다. 

[[이산수학]]에서는 '''오일러 경로'''(Euler trail), 또는 경로가 닫힌 경우[* 출발점으로 다시 되돌아오면 닫힌 경로라고 한다.] 특히 '''오일러 회로'''(Euler circuit)이라고 부른다.

우체부[* 정확히 우체부인지는 불명.]가 [[쾨니히스베르크]][* 지금은 [[러시아]]의 [[칼리닌그라드]].]에 있는 [[쾨니히스베르크 다리 건너기 문제|7개의 다리를 단 한 번씩만 건너서 다시 출발점으로 되돌아올 수 있겠냐는 문제]]를 1736년에 [[레온하르트 오일러]]가 불가능하다고 증명한 것을 한붓그리기의 이론적 출발점으로 보고 있다.

비슷한 그래프 이론 문제로는 모든 '''변'''을 한 번만 지나야 하는 한붓 그리기 문제와는 반대로 모든 '''꼭짓점'''을 모두 한 번만 방문해야 하는 [[해밀턴 경로]] 문제도 있다.

== 한붓그리기가 가능하려면? ==
[[2015년]] 기준 고등학교 3학년까지는 '행렬과 그래프' 단원에서 한붓그리기가 가능한 그래프에 대해 배운다. 다만 새 교육과정을 적용받는 고1, 고2부터는 행렬 단원 자체가 아예 빠져서 더 이상 한붓그리기에 대해 배우지 못한다.

[[파일:external/upload.wikimedia.org/500px-K%C3%B6nigsberg_graph.svg.png]]
이 그림은 한붓그리기가 불가능하다.[* 한붓그리기가 불가능한 것으로 유명한 '[[쾨니히스베르크 다리 건너기 문제]]'를 그래프로 도식화한 것.]

=== 꼭짓점의 차수 ===
[[그래프]]에서 한 꼭짓점에 연결된 변의 개수이다. 단, 고리[* 한 변의 양 끝 꼭지점이 같을 때 그 변을 고리라고 한다.]는 2개의 변으로 생각한다.

기호로 Deg(a)로 표기한다.

그래프의 변의 개수가 k개일 때, 다음과 같은 정리가 성립한다.
> Σ Deg(P) = 2k[* 모든 점의 차수의 합은 변의 개수의 2배이다.]

> 홀수점 (또는 홀수 결절점) (Deg(P) = 2k - 1(홀수))의 개수는 짝수개이다.

=== 꼭짓점 차수가 모두 짝수 ===
[[파일:Euler_trail_01.png]]
이 경우에는 어떤 점에서 출발해도 다시 출발점으로 되돌아올 수 있다. 즉, 오일러 ''회로''가 존재한다. 대표적인 그래프로 흔히 그리는 꼭짓점 5개짜리 [[별]] 그림이 있다.

=== 꼭짓점 차수가 2개만 홀수이고 나머지는 모두 짝수 ===
[[파일:Euler_trail_02.png]]
차수가 홀수인 점이 A와 B라고 했을 때, A에서 출발하면 B로 도착하게 된다. 즉, 오일러 ''트레일''은 존재하지만 오일러 ''회로''는 존재하지 않는다. 위 그림에서 하단의 3에서 출발하면 반대편 3으로 도착하게 되는 것을 알 수 있다.

=== 그 외 ===
홀수점이 2개를 넘을 때는 한붓그리기가 불가능하다. 홀수점이 홀수개인 경우는 존재할 수 없으므로, 4개 이상 부터는 한붓그리기가 불가능하다.

증명은 비교적 간단하다. 한붓그리기는 들르는 점에 상관없이 변을 모두 지났냐에 초점을 두기에, 하나의 단일 폐곡선으로 볼 수 있다. 이때 홀수점이 4곳 이상이라면 중간에 고립된 곡선이 생기므로 한붓 그리기가 불가능하다.

이해가 어렵다면 다음을 상상해 보자. 직접 그리면 더 좋다.
원 위에 점 A,B,C,D를 순서대로 잡자. 그리고 호 AB와 호 CD를 없애보자. 그러면 A, B, C, D 모두 홀수점이 된다.
이때 BC는 고립되었으므로 지나갈 수 없다. 따라서 한붓그리기는 불가능하다.

나아가 홀수점이 2k개인 그래프는 붓을 최소 k번 써서 그려야 한다. 즉, 맨 위의 그림은 홀수점이 4개이므로 붓을 최소 2번 써서 (1번은 떼서) 그려야 한다.

오일러 회로의 경우 다른 간선을 선택할 수 없는 경우가 아닌 한 bridge(지워진다면 그래프가 비연결이 되는 간선) 외의 간선을 선택하며 경로를 만들 경우[* 이 때 선택된 간선은 그래프에서 지우고, 인접한 간선들이 모두 지워진 정점도 지우면서 과정을 반복하면 된다.] 이것이 실제로 원래대로 돌아오는 경로라는 것이 보장되는데, 이를 fleury's algorithm이라고 한다. 다만 간선이 bridge인지 판단하는 것이 어려우므로 이 알고리즘은 이론적인 의미가 강한 알고리즘이다.

== 게임 ==
머리를 써야 하는 퍼즐이기 때문에 여러 게임에서도 한붓그리기를 사용한다.

=== 한붓그리기 게임목록 ===
 * 게임 자체가 한붓그리기인 게임들
  * [[https://play.google.com/store/apps/details?id=com.ecapycsw.onetouchdrawing|한붓그리기]] - 게임 제목 자체가 '''한붓그리기'''이다.
  * Juice Cubes
  * [[디스코판다]]
  * 베스트핀즈
  * [[포코팡]]
  * [[Hell girls]]
  * [[http://express.5minlab.com/ko/|Express Thru]]

== 기타 ==
 * [[문제적 남자]]에서 ⊙ 모양으로 한붓그리기를 하기 도전과제가 있었는데, 해답은 종이를 살짝 접어서 그리는 것이었다. 물론 이 문제는 수학적으로 한붓그리기라 말할 수 없다.

 * [[3D 프린터/FDM|FDM]] 3D 프린터를 사용하기 위한 슬라이서 프로그램도 한붓그리기 알고리즘을 적극적으로 사용한다. 최대한 적게 움직이면서 다른 선의 시작지점으로 이동하기 위한 리트랙션(되감기) 횟수를 최소화해서 출력 시간을 최적화함과 동시에 출력 품질을 올릴 수 있기 때문. 그래서 모델을 출력 명령어인 gcode로 변환하는 프로그램인 슬라이서들은 재료를 어느정도 손해보더라도 강제로 한붓으로 잇는 옵션 또한 제공한다. SLA방식 3D프린터의 경우에도 레이저의 이동경로가 얼마나 최적화되냐에 따라 출력 속도가 정해진다.

[각주]
[[분류:이산수학]][[분류:조합]]