[[분류:위상수학]][[분류:해석학(수학)]][[분류:프랙털 이론]]

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== 개요 ==
평면상의 정사각형 영역을 모두 채우는 [[곡선]]으로, 1890년 페아노가 고안해 낸 것이다. '페아노 곡선'은 '공간을 채우는 곡선(space filling curve)'을 총칭하기도 하지만, 구체적으로는 그러한 곡선들 중 최초로 제시된 페아노의 곡선을 가리킨다.

== 그림 ==
=== 1단계 ===
[[파일: 페아노 곡선 1단계a.gif]]

=== 2단계 ===
[[파일: 페아노 곡선 2단계.gif]]

=== 3단계 ===
[[파일: 페아노 곡선 3단계.gif]]

== 의미 ==
[[곡선]]이란  [[구간]]에서 [[위상 공간]]으로 가는 [[연속함수]]를 말한다. 실수의 구간에서 정사각형 영역으로 가는 전사함수가 존재한다는 것은 초등적인 [[집합론]] 수준에서 쉽게 해결할 수 있다. 그런데, '''연속'''인 전사함수가 있느냐, 즉, 선으로 정사각형을 완전히 채울수 있느냐는 또 다른 문제가 된다. 쉽게 얘기하면, 길이의 제한이 없을 때, 두께가 0인 실을 적당히 구부려서 정사각형 영역을 완전히 채울수 있느냐를 떠올려 보면 된다.[* 이 때, 실이 겹쳐지는 것도 허용된다. 구간에서 정사각형 영역으로 가는 연속인 전사함수는 존재하지만, 아쉽게도 연속인 전단사함수는 존재하지 않는다.] 페아노가 제시한 [[수열의 귀납적 정의|각 단계를 계속해서 밟아 나갈때]] 나오는 곡선들의 [[극한]]은, 곡선이면서도 정사각형의 영역을 완전히 채우게 된다.