[include(틀:양자역학)]
[목차]
== 정의 ==
'''파울리 행렬'''(Pauli matrix) 또는 '''파울리 스핀 행렬'''은 [[양자역학]]에서 [[스핀(물리학)|스핀]] 1/2인 입자를 묘사할 때 사용되는 3개의 행렬이다. 정의는 다음과 같다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 
  0 &  1 \\
  1 &  0
\end{pmatrix} )] }}}
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 
  0 &  -i \\
  i &  0
\end{pmatrix} )] }}}
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 
  1 &  0 \\
  0 &  -1
\end{pmatrix} )][br](단, [[허수|[math(i \triangleq \sqrt{-1})]]]) }}}

[[페르미온|스핀 1/2 입자]]의 스핀 [[연산자]]는 [math(\displaystyle S_i = \frac{\hbar}{2} \sigma_i)]로 쓸 수 있다.

== 성질 ==
파울리 행렬의 곱연산은 다음과 같다. 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle σ_a σ_b = δ_{ab} + iε_{abc}σ_c)]
}}}
이때 [math(ε_{abc})]는 [[레비치비타 기호]], [math(\delta_{ab})]는 [[크로네커 델타]] 기호이다.

[[교환자]]와 반교환자의 연산으로 정의된 파울리 행렬은 다음 관계식을 만족한다.

1. [math(\displaystyle [σ_a , σ_b] = σ_a σ_b - σ_b σ_a =  2iε_{abc} σ_c )]

2. [math(\displaystyle \{ σ_a , σ_b \} = σ_a σ_b + σ_b σ_a  = 2δ_{ab} I_2 )]

이때, [math(I_2)]는 [math(2 \times 2)] [[단위행렬]]이다.

이에 따라 아래 공식을 쓸 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (\vec σ \cdot \vec a)(\vec σ \cdot \vec b) = \vec a \cdot \vec b + i \vec σ \cdot (\vec a × \vec b))]
}}}

파울리 행렬은 [[리 군#s-2|[math({\rm SU}(2))]군]]의 생성자(generator)이며 [[리 대수]]를 만족한다.

임의의 [math({\rm SU}(2))]군의 원소는 파울리 행렬을 이용해 다음과 같이 표현할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(a1+ib\sigma_1+ic\sigma_2+id\sigma_3=\begin{pmatrix} 
  a+di &  c+bi \\
  -c+bi &  a-di
\end{pmatrix})]
}}}
단 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(d)]는 실수이며 [math(a^2+b^2+c^2+d^2=1)]을 만족한다. 

[math({\rm SU}(2))]군이 파울리 행렬로 표현되듯이 [math({\rm SU}(3))]군은 [[SU(3)|겔만 행렬]]로 표현된다.

[[분류:물리학]]