[include(틀:고전역학)]
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== 개요 ==
[[파동]]의 형태를 기술하는 [[편미분방정식]]으로 [[라플라스 방정식]]의 변형이다. 1747년 [[장바티스트 르 롱 달랑베르]]가 1차원 파동방정식(Wave Equation)을 발견했고[* Jean-Baptiste le Rond d'Alembert , Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, vol. 3, pages 214-219. Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1747 [[https://books.google.com.au/books?id=lJQDAAAAMAAJ&pg=PA214&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false]]], 1759년 [[레온하르트 오일러]]가 3차원 파동방정식을 발견한다.

그 형태는 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u )]}}}
파동방정식은 평행이동, 회전, [[로런츠 변환]]에 대해 불변이다.

파동방정식에 [math(\frac{\partial u}{\partial t})]를 곱하면 다음을 만족시킨다.{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle 0=\left(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 u \right) \frac{\partial u}{\partial t} \\= \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2}  \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) ^2  + \frac{1}{2}c^2  |\nabla u|^2 \right)-c^2 \nabla \cdot\left( \frac{\partial u}{\partial t} \nabla u\right))]}}}
위 식을 전체 공간에 대해 적분하면 시간에 대해 보존되는 양이 존재함을 알 수 있고 이를 파동의 에너지로 정의할 수 있다. 파동이 가지는 전체 [[에너지]]는 다음과 같이 표현된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle E=\frac{1}{2}\iiint\left(\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) ^2+ c^2 |\nabla u|^2 \right) d\bm{x})]}}}
파동방정식에서 에너지는 시간에 대해 보존되며, 첫번째 항은 운동 에너지에, 두번째 항은 퍼텐셜 에너지에 해당한다. 파동방정식의 해에 해당하는 평면파를 가정하자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle u=A\sin(kx-\omega t))]}}}
그러면 평면파의 에너지는 진폭의 제곱과 진동수의 제곱에 비례함을 확인할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle E\propto\omega^2 A^2)]}}}

== 달랑베르 연산자 ==
파동방정식 [math(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u )] 으로부터
[math(  \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2}u = \nabla^2 u )]
[math(  \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2}\cancel{u} = \nabla^2 \cancel{u} )]
[math(  \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2}= \nabla^2 )]
[math(  \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2} - \nabla^2= 0 )]에서
[math( \square^2 =  \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2} - \nabla^2 )]
달랑베르 연산자(d’Alembert operator, 기호 [math( \square^2)] ,달랑베르시안)를 얻을수있다.
또는 역부호에서[* Basics of Fluid Mechanics ,Genick Bar-Meir 2014 GFDL[[https://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/85]] ]
[math( \square^2 =  \nabla^2  - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2} )]
== 관련 문서 ==
 * [[일-에너지 정리]]
 * [[델 연산자]]
[[분류:파동]][[분류:방정식]][[분류:물리학]]