[include(틀:해석학·미적분학)]
[include(틀:기하학·위상수학)]
[목차]

== 개요 ==
콤팩트성의 개념을 대략적으로 설명하자면 '''무한히 뻗어나가지 않고 유한한 성질'''이다. 처음 [[해석학(수학)|해석학]]을 공부하게 되면 [[미분적분학]]의 [[엡실론-델타 논법]] 다음으로 마주치게 되는 비직관적인 개념이다. 이를 이해하려면 해석학이나 위상수학을 필히 어느 정도 공부해야 한다. 특히 [[해석학(수학)|해석학]]을 처음 배우는데 어떤 집합이 콤팩트인 걸 정의만으로 '''직접''' 보이라고 하면 매우 어렵다. 당장 [[0과 1 사이의 수|닫힌 구간 [math(\left[0,1\right])]]]이 콤팩트인 것을 [[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~john/MT4522/Lectures/L21.html|귀류법을 쓰지 않고 직접 증명하는 것만 봐도]] '어떻게 이런 생각을 할 수 있나' 할 정도로 발상이 괴이하다. 귀류법을 쓰면 볼차노-바이어슈트라스 정리를 증명할 때와 비슷하게 증명 가능하며 연속함수의 콤팩트 집합의 보존에서 콤팩트 집합의 정의에 대한 동기를 유추할 수 있다. 콤팩트의 개념없이 다루는 일변수함수의 최대 최소 정리를 잘 살펴보면 닫힌 집합 [a, b]의 볼차노-바이어슈트라스 정리(닫힌 구간의 무한 부분집합은 극한점(집적점)을 닫힌 구간 내에서 가진다는것)를 이용하는 것이 핵심임을 살펴볼 수 있는데 이 볼차노-바이어슈트라스 정리가 의미하는 것이 점렬 콤팩트성이고 이것이 일반화 된것이 콤팩트 집합이다. 후술하겠지만 거리공간만 다룰때는 콤팩트의 정의가 점렬 콤팩트와 동치다. 정의의 역사적인 내용은 [[http://arxiv.org/pdf/1006.4131.pdf|여기]]를 참고. 

[[대한수학회]]에서는 그냥 '콤팩트 집합'을 쓰거나, '옹골집합'으로 번역할 것을 권장한다. Rudin 한국어 번역본이나 김김계 등에서 '옹골'이란 용어를 사용하기도 한다. 이외에 옛날 용어로 긴밀집합이라는 말도 쓰인다.[* 이슬비저 <맛있는 해석학>에서는 '긴밀'집합이라는 용어를 쓰고(2019년 개정판에서는 '콤팩트'로 바뀜),  박대희저 <위상수학> 4판에서는 그냥 '컴팩트'라는 이름으로 챕터를 구성하고 진도를 나가되 번역어로 '긴밀', '옹골', '아담'이라는 말이 있다고 소개만 한다. ]

== 정의 ==
우선, [[수리논리학]]에서 콤팩트성이 어떻게 정의되는지 먼저 이해하는 것이 도움이 된다.
> 임의의 문장 [math(\phi)]가 임의의 문장 집합 [math(\Gamma)]의 귀결일 때, [math(\Delta \models \phi)]를 만족시키는 [math(\Gamma)]의 어떤 유한 부분집합 [math(\Delta)]가 존재한다.
이것은 1차 술어논리의 메타정리로, 논리체계의 무모순성과 동치이다. 무모순한 논리 체계는 항상 콤팩트성을 만족한다.

해석학에서의 콤팩트성은 이 개념을 확장한 것이다. 실해석학에서 콤팩트성은 다음과 같이 정의된다.
>어떤 [math(A \subset \mathbb{R})]에 대하여, 임의의 [math(A)]의 열린 덮개(open cover)[* 어떤 집합[math(A)]를 주어진 위상공간의 어떠한 열린집합들의 합집합으로 포함시킬수 있을 때, 그 열린집합들을 [math(A)]의 열린덮개라 한다. 쉽게 말해 주어진 집합[math(A)]가 종이라고 하고, 도장을 여러 번 찍어 그 종이를 완전히 덮은 정도로 보면 된다.] 가 유한 부분덮개(finite subcover)를 가질 때, [math(A)]를 콤팩트 집합(compact set)이라고 한다.

위상수학에서는 더 일반적으로 정의한다.
>어떤 위상공간 [math(T)]에 대하여, 임의의 [math(T)]의 열린 덮개(open cover)가 유한 부분덮개(finite subcover)를 가질 때, [math(T)]를 콤팩트공간 (compact space)라고 한다.

위상공간에서 compact의 개념은 공간 자체의 성질이다. 즉, subspace topology 등을 생각해도 불변한다는 것. open set은 open relative to Y 라는 개념이 존재하지만, compact에서는 이러한 개념이 불필요하다.
== 직관적인 이해 ==
콤팩트는 말그대로 '작다'는 의미이다. '[[유계]](bounded)'라는 개념을 일반화했다고 보면 된다. 예를 들어 [[구(도형)|구]]나 [[원환면|토러스(torus)]]는 콤팩트인데 반해, [[직선]]이나 [[평면]]은 콤팩트가 아니다. [[위상 공간]]에는 '거리'라는 것이 없으므로 유계라는 개념을 복잡하게 확장할 수 밖에 없는 것이다.

[[실해석학]] 수준에서는 어느 정도 예를 들 수 있다. 그러니까 [math(\left(0,1\right))]와 같은 집합을 보면, [math(\left(0,1/2\right),\left(0,2/3\right),\left(0,3/4\right),\cdots)]와 같은 집합들을 생각하면, 이 집합들을 모두 합집합했을 때 [math(\left(0,1\right))]를 덮으므로 열린 덮개가 되지만, 유한 개만 뽑아서 [math(\left(0,1\right))]을 덮을 수는 없다. 또 다른 식의 설명으로는, 점을 계속 찍었을 때 극한을 취해서 이 집합 안에서 극한을 가지지 않을 수 있느냐는 것으로도 볼 수 있다. 예를 들어 [math(\left(0,1\right))]에서는 간단히 [math(1/2,1/3,1/4,\cdots)]와 같은 수열을 취하면 [math(\left(0,1\right))]의 안에서 수렴하지 않는다. 하지만 [math(\left[0,1\right])]에서는 백날 점을 찍어봐도 바깥으로 나갈 수가 없다. 이러한 공간을 극한점 콤팩트 공간(limit point compact space)라고 부르는데, 정의는 다음과 같다.

>어떤 위상공간 [math(T)]에 대하여, 임의의 [math(T)] 안에서 정의된 무한 수열이 [math(T)] 안에서 극한점을 갖는다면 [math(T)]를 극한점 콤팩트 공간(limit point compact space)라고 한다. 거리화 가능 공간(metrizable space)이면 콤팩트, 점렬 콤팩트, 극한점 콤팩트가 모두 동치라는 것이 알려져 있다.
== 관련 정리 ==
=== 하이네 보렐 정리 ===
유클리드 공간 [math(\mathbb{R}^n)]의 부분집합이 닫혀있으면서 유계인 것과 콤팩트는 동치라는 정리이다. 증명을 간단히 요약하면, 먼저 콤팩트 집합이면 닫혀있으면서 유계인 것을 보이는 건[* 이는 유클리드 공간뿐 아니라 거리가 주어진 공간에서는 항상 성립하는 사실이다.] 비교적 쉽다(간단하게 유한 부분덮개가 없는 열린 덮개를 찾으면 된다). 반대 방향을 보이기 위해 우선 [math(n)]차원 상자, 즉 유계 닫힌 구간 [math(n)]개의 데카르트곱이 콤팩트임을 보여야 한다. 그러고 나면 닫혀있고 유계인 [math(\mathbb{R}^n)]의 부분집합은 적당한 [math(n)]차원 상자에 포함되고, 따라서 콤팩트집합의 닫힌 부분집합이 콤팩트인 것을 증명하면 끝난다. 

일반적인 거리공간에서는 이 정리가 더 이상 성립하지 않으나, 완비이고 완전유계인 거리공간은 콤팩트공간이라는 일반화된 하이네 보렐 정리가 있다. 한편, 연속함수공간에서는 아젤라-아스콜리 정리(Arzelà-Ascoli theorem)[* 실수의 콤팩트인 부분집합에서 정의된 연속함수공간의 부분집합이 유계이고 동등연속(equi-continuous)이면 콤팩트이다.]라는 것이 알려져 있다.
=== [[티호노프 정리]] ===
콤팩트 집합들 [math(C_\alpha \left(\alpha\in I\right))]들의 곱공간 [math( \prod_{\alpha\in I}C_\alpha)]도 콤팩트라는 것을 의미한다. (비가산개일 수도 있음에 유의). [[선택 공리]]와 동치이다. 증명은 보통 tube lemma와 zorn's lemma를 사용하는데, 이해하고 나면 어렵지는 않지만 증명과정이 길고 귀찮다.
=== 균등연속성 ===
콤팩트이면서 거리화 가능 공간[* 균등연속함수를 정의하기 위해서 공간에 거리가 주어져 있어야 한다.] 위에서 정의된 연속함수는 균등연속(uniformly continuous) 함수라는 정리이다. 
만약, 콤팩트집합이 아닌 실수체 R을 생각하자. R 위에서 정의된 함수 f(x)=x^2 은 균등연속이 아닌데, 임의의 delta에 대해 x>1/delta면 그 상의 길이가 1을 초과하기 때문이다. 그러나 이를 콤팩트공간인 [0,1]로 제한하면 delta=1/2 epsilon 으로 잡으면 된다. 미분가능한 함수의 경우 delta를 epsilon의 미분계수의 절댓값의 최댓값의 역수로 잡으면 된다는 사실을 알 수 있다.
공간이나 함수가 어떻게 생겼는지 전혀 모르는 상황에서 균등연속을 보장해 주는 아주 강력한 정리이다.
=== 기타 ===
다음 조건들은 서로 동치이다.
>[math(T)]가 거리공간일 때,
> 1.[math(T)]가 콤팩트하다.
> 1.모든 항이 [math(T)]에 속한 임의의 수열에 대하여 수렴하는 부분수열이 존재한다.
> 1.[math(T)]가 완전유계(totally bounded)[* 모든 양수 [math(\epsilon)]에 대하여 [math(\epsilon)]를 반지름으로 한 유한 개의 공으로 [math(T)]를 덮을 수 있다.]이고 완비적(complete)[* 모든 코시 수열이 수렴한다]이다.



[[분류:해석학(수학)]][[분류:수리논리학]]