[include(틀:정수론)]
[include(틀:특수함수의 목록)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[最]][[小]][[公]][[倍]][[數]] · least common multiple, LCM}}}

초등학교 5학년 때 [[약수(수학)|약수]](divisor or factor)와 [[배수(수학)|배수]](multiple)를 배운 뒤에 [[최대공약수]](greatest common divisor or greatest common factor) 와 함께 배우게 되는 내용. '''공배수'''(common multiple)란, 이름에서 알 수 있듯이 두 수, 혹은 그 이상의 수들의 '''공통인 배수'''라는 뜻이다. 최소공배수(least common multiple)는 당연히 공배수 중에서 가장 작은 것. 두 수 [math(a,b)]의 최소공배수를 기호로 [math(\text{lcm}\left(a,b\right))] 혹은 [math(\text{LCM}\left(a,b\right))]로 표기하며,[* [math(\text{lcm})]은 least common multiple의 줄임말] 더욱 줄이면 [math(\left[a,\,b\right])]로 표기하기도 한다.[* 다만 [math(\left[a,\,b\right])]은 [[구간|폐구간]] 표현과 겹치므로 사용에 주의할 필요가 있다.]

간혹 최'''대'''공배수로 잘못 부르는 경우가 있는데, 최대공배수는 존재하지 않는다. 공배수는 한없이 커지므로, 가장 큰 숫자를 정의할 수 없기 때문. 마찬가지로 최'''소'''공약수 또한 어떤 수 집합이든 무조건 1이므로 의미가 없다.

== 찾는 법 ==
예시로 두 수 10, 12의 공배수를 찾고 싶다고 하자. 먼저 두 수의 배수를 쭉 나열한다.
>10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ... [br] 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
여기서 위아랫줄 동시에 나타나는 수가 바로 공배수이다. 최소공배수는 앞서 설명했듯이 공배수 중 가장 작은 것. 이 예시의 경우에는 60이 최소공배수가 된다. 같은 방법으로 세 수 이상의 최소공배수도 구할 수 있다.

하지만 숫자를 나열하는 방법으로 최소공배수를 찾는게 힘들다면? 이 때는 [[소인수분해]]를 이용해서 최소공배수를 찾는다. 10과 12를 각각 소인수분해하면,
>[math(10=2\cdot5)] [br] [math(12=2^2\cdot3)]
이제 중복되는 소인수는 차수가 큰 횟수만큼, 그리고 나머지 소인수를 모두 곱해주면 그 값이 최소공배수이다. 위 예시에서는 2를 두 번,[* 2는 중복되는 소인수인데, 12쪽의 2가 차수가 크므로 그 차수만큼(2번) 곱해준다. ~~콩까지마~~] 3을 한 번, 그리고 5를 한 번 곱한 값, 즉 60이 최소공배수가 된다. 특히, 숫자가 [[서로소]]이면, 그냥 아무런 생각도 하지않고 두 수를 곱해주기만 하면 그 값이 최소공배수가 됨을 알 수 있다.

위에서 봤듯이 최소공배수는 [[대수학]]적으로는 그 성질을 다루기가 매우 까다롭기 때문에 [[특수함수]]에 속한다.

[[최대공약수]] [math(\gcd)]를 이용하는 방법도 있다. 최대공약수와 다음과 같은 관계가 성립한다:
>[math(\mathrm{lcm}(a,\,b) = \dfrac{|ab|}{\gcd(a,\,b)})]

단, 최대공약수도 최소공배수도 모를 경우 [[순환 논법|순환논법]]이 될 수 있음을 주의해야 한다.

세 수 이상의 최소공배수를 구하려면 다음과 같이 [[합성함수|함수를 계속 취해주면]] 된다.
> 세 수 [math(a,\,b,\,c)]에 대해서
> [math(\mathrm{lcm}(a,\, b,\, c) = \mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a,\, b),\, c) \equiv \dfrac{| abc |}{\gcd\left( \frac{| ab |}{\gcd(a,\,b)},\, c \right)})]
> 이 성립한다.
== 성질 ==
두 정수 [math(a,b)]에 대하여,
 1. [math(\text{lcm}\left(a,b\right)\mid ab)]
 1. [math(\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=ab)]
 1. [math(a\mid \text{lcm}\left(a,b\right))]
 1. [math(b\mid \text{lcm}\left(a,b\right))]
~~[[최대공약수]]는 성질이 많은데 얘는... 그나마 있는 하나도 최대공약수가 끼어있다.~~

== 증명 ==
1. [math(\gcd\left(a,b\right)=G)]라 하자. 그럼 적당한 정수 [math(m)], [math(n)]에 대해 [math(a=Gm,b=Gn)], ([math(m,n)]은 [[서로소]])가 성립한다. 이때, lcm[math(\left(a,b\right)=Gmn)]이다. 따라서, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn\mid G^2mn=ab)]

2. [math(\gcd\left(a,b\right)=G)]라 하자. 그럼 적당한 정수 [math(m,n)]에 대해 [math(a=Gm)], [math(b=Gn)], ([math(m,n)]은 [[서로소]])가 성립한다. 이때, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn)]이다. 따라서, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=G^{2}mn=ab)]

== n 이하의 모든 자연수의 최소공배수 ==
||<colbgcolor=#CEF><bgcolor=#9CF> '''n''' ||<colbgcolor=#EEE><bgcolor=#CCC> '''n 이하의 모든 자연수의 최소공배수''' ||
|| [[3]] || [[6]]||
|| [[4]] || [[12]]||
|| [[5]], [[6]] || [[60]]||
|| [[7]] || [[420]]||
|| [[8]] || [[840]]||
|| [[9]], [[10]] || [[2520|2,520]]||
|| [[11]], [[12]] || 27,720||
|| [[13]]~[[15]] || 360,360||
|| [[16]] || 720,720||
|| [[17]], [[18]] || 12,252,240||
|| [[19]]~[[22]] || 232,792,560||
|| [[23]], [[24]] || 5,354,228,880||
|| [[25]], [[26]] || 26,771,144,400||
|| [[27]], [[28]] || 80,313,433,200||
|| [[29]], [[30]] || 2,329,089,562,800||
|| [[31]] || 72,201,776,446,800||
|| [[32]]~[[36]] || 144,403,552,893,600||
|| [[37]]~[[40]] || 5,342,931,457,063,200||

== 관련 문서 ==
 * [[배수(수학)|배수]]
 * [[최대공약수]]
 * [[소인수분해]]

[[분류:정수론]][[분류:비초등함수]][[분류:다변수함수]]