[include(틀:해석학·미적분학)]
[include(틀:초등함수의 목록)]

[목차]

== 개요 ==
{{{+1 [[初]][[等]][[函]][[數]] / elementary function}}}

[[다항함수]], [[지수함수]]와 그 역함수인 [[로그함수]], 이들 함수의 합성과 [[사칙연산]]을 통해 얻는 모든 함수를 초등함수라 부른다.

'''초등'''함수라 해서 절대 초등학교서 배우는게 아니다.[* elementary school을 초등학교라고 하는 것처럼 elementary function을 초등함수로 번역한 것이다. 정작 초등학교에서는 [[최대공약수]], [[최소공배수]]라는 '''비'''초등함수(특수함수)를 배운다.]

대수함수가 아닌 초등함수들의 정의는 다음과 같다.

 * 지수함수 : [math(y = a^{x})] (단 [math(a \neq 0)])
 * 로그함수 : [math(x = a^{y})] (단 [math(a \notin \{0,\,1\},\,x > 0)])
 * 삼각함수 ([math(e)]는 [[자연로그의 밑]], [math(i)]는 [[허수]]단위)
  * [math({\displaystyle \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}})]
  * [math({\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}})]
  * [math({\displaystyle \tan x = {\sin x \over \cos x} = -i \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}})]

삼각함수는 지수함수나 로그함수에 비해 정의가 복잡하게 되어 있는데, 이는 [[기하학]]의 영역인 삼각비를 [[레온하르트 오일러]]가 [[오일러 공식]]을 통해 [[대수학]]의 영역으로 끌어온 결과물이기 때문이다.

오일러 공식을 보면 알겠지만 초등함수는 사실상 복소함수의 영역에서 생각하고, 복소 제곱근이나 로그에서 나올 수 있는 다가함수의 경우 어떤 분기(branch)를 택하더라도 크게 상관이 없다. 이는 초등함수가 의미를 갖는 영역이 [[해석학(수학)|해석학]]이 아니라 [[대수학]]이기 때문이다.
== 주요 함수 ==
 * [[다항함수]]
  * [[상수함수]]
  * [[일차함수]]
  * [[이차함수]]
  * [[삼차함수]]
  * [[사차함수]]
  * [[소수생성다항식|소수생성다항함수]]
 * [[유리함수]]
 * [[제곱근]]([[무리함수]])
 * [[지수함수]]
  * [[확률밀도함수]]
 * [[로그함수]]
  * [[복소로그함수]]
 * [[삼각함수]]
  * [[허수지수함수]]
 * [[역삼각함수]]
 * [[쌍곡선 함수]]
 * [[역쌍곡선함수]]

== 기타 ==
 * [[미분]]에는 닫혀 있지만[* '닫힌 연산'이라는 개념을 모르는 사람들을 위해 설명하자면, '임의의 초등함수를 미분할 때 항상 초등함수가 나온다.(Differentiation of an arbitrary elementary function guarantees an elementary function as the result.)'], [[적분]]에는 닫혀 있지 않아 초등함수의 부정적분이 반드시 초등함수가 되지는 않는다. 유리함수가 아닌 초등함수를 적분하면 대부분은 초등함수가 아닌 [[초월함수]]가 나온다.[* 대표적으로 [math(\displaystyle \int \ln{x} \cos{x} \, {\rm d}x = -\mathrm{Si}(x) + \ln x \sin{x} + \sf{const.})] 이때, [math(\mathrm{Si}(x))]는 [[삼각 적분 함수|사인 적분]]이라는 [[특수함수]]이다.] 유리함수의 경우, [[부분분수분해]]와 [[삼각치환]]을 적절히 이용하면 반드시 초등함수 꼴의 부정적분을 찾을 수 있다. 한편, 초등함수의 부정적분이 초등함수가 되는 경우에, [[리시 방법]]이라는 것으로 항상 구할 수 있다고 한다.

 * 간혹 초등함수가 [[무리함수]][* 교과과정에서 배우는 무리함수는 제곱근이 전부이긴 하지만, 일반적으로 무리함수는 초월함수를 포함해 유리함수가 아닌 모든 함수를 의미한다.]나 [[대수함수]]를 포함해서 오해하는 사람들이 있는데, 초등함수는 교과나 미적분 수준에서 단순히 함수들을 분류하기 위해 만든 것이 아니다. 초등함수의 대수학적인 정의는 '''지수함수와 로그함수를 포함하며 합성에 닫혀 있는 가장 작은 [[복소수]] 위의 [[체(대수학)|체]]'''이며, [[제곱근]]이나 [[역삼각함수]] 등도 중요해 보인다고 껴준 게 아니라 [math(x^{1/n} = e^{(\ln x)/n} )]이나 
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \arccos{x} = \frac{\ln{( \sqrt{1-x^2} + ix)} + \ln{(\sqrt{1 - x^2} - ix)}}{2} )]}}}
 처럼 지수, 로그의 합성으로 표현할 수 있기 때문에 들어간 것이다. 리우빌이 1833년에 부정적분을 대수학적으로 찾아내기 위해 미분 대수(differential algebra) 등의 이론을 개발하고 이를 적용할 수 있는, 유리식 다음으로 가장 기본적인 대상을 초등함수로 '정의'한 것이 초등함수 개념이 만들어진 배경이기 때문이다. Risch 알고리즘도 이 리우빌의 이론을 체계화하는 과정에서 등장한 것이다.

 * 초등함수는 사실 [[해석학(수학)|해석학]]적으로는 거의 의미가 없고, 대신 대수학의 체 이론이나 [[갈루아 이론]]과 엮이는 경우가 많다.
 
[[분류:초등함수]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]