||||<:> '''{{{#FFFFFF 언어별 명칭}}}''' || ||'''[[한자]]''' ||{{{+1 指數, [[승#s-4|乘]], 冪數}}} || ||'''[[중국어]][br][[일본어]]''' ||{{{+1 指数, 乗(じょう)}}} || ||<|4>'''[[영어]]''' ||[[파워|power]] || ||exponent || ||square(2제곱) || ||[[큐브|cube]](3제곱) || [목차] [clearfix] == 개요 == 지수는 어떤 [[수]]나 [[문자]]의 오른쪽 위에 덧붙여 쓰여 그 거듭제곱을 한 횟수를 나타내는 문자나 [[숫자]]를 말한다. 밑과 지수를 싸잡아 이를 때는 따로 멱수(冪數)라고 하기도 한다. 컴퓨터 상에서는 문서 편집기를 쓰지 않는 이상 위[[첨자]]를 쓰기 힘든 경우가 많기 때문에 [[^]][* [[캐럿]]으로 읽는다. 사실 하도 캐럿이 이모티콘으로 쓰이는 빈도가 압도적으로 많고 지수 표시를 위해서 쓰일 때는 '[math(A)]의 [math(B)]제곱' 같은 식으로 읽기에 캐럿을 읽는 경우는 거의 없다보니 캐럿이 무슨 기호이고 어떻게 읽는지 모르는 사람들이 대다수다. 자세한 것은 해당 문서 참조.] 기호를 써서 '밑^지수'와 같은 식으로 쓰이기도 한다.[* 만약 plain text에서 ^ 기호를 사용해 지수를 표기하는데 지수 안에 + 등 다른 부호가 들어갈 경우, 2^(x+3)과 같이 지수 전체를 괄호로 씌워 주는 게 좋다. 괄호를 씌우지 않으면 어디까지가 지수인지 알 수 없기 때문이다. 그냥 2^x+3이라고만 쓰면 x만 지수인 것으로 받아들이는 경우가 많다.] 때문에 지수가 들어가는 수식을 컴퓨터 텍스트로 보는 경우 은근히 가독성이 떨어지는 경우가 종종 생긴다. [[더위키]]에서는 위첨자 기능을 제공하므로 위키 내에서는 첨자로 나타내도록 하자. 혹은 {{{[math(...)]}}} 문법을 이용할 수도 있다. [[대한민국]]에서는 [[중학교]] 1학년부터 배운다.[* [[6차 교육과정]]까지는 초등학교 6학년부터 배웠다.] 어떤 수 [math(x)]를 [math(n)]번 곱했을 때 [math(x^n)]으로 쓰고, [math(x)]의 [math(n)]제곱이라고 읽는다. 이 때 지수는 주로 [[자연수]]를 범위로 해서 배운다. == 지수법칙 == [math(a)]가 [math(0)] 또는 양의 실수, [math(b)], [math(c)]가 자연수일 때 * [math(a^b \times a^c = a^{b+c} )] (지수의 덧셈) * [math(a^b \div a^c = a^{b-c} )] (지수의 뺄셈) * [math( (a^b)^c = a^{bc} )] (지수의 곱셈) x의 n제곱을 영어로 the power of x to the n이라고 읽는다. 간단히 줄여서 x to the n. === 지수의 확장 === 대학교 수준에서는 * 모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math( a^{n+1} = a^n \cdot a )] * [math( a^1 = a )] 로 정의하지만, 지수가 0이거나 음의 정수이거나 [[유리수]] 범위에서 이렇게 정의하기는 애매하다. 그래서 이러한 지수들에는 새로운 정의가 필요하다. 기존에 자연수 지수의 성질을 그대로 유지하면서 정수, 유리수, 실수, 복소수로 확장해 나가는 것이다. 이렇게 확장시키는 것을 '''일반화'''라 한다. [[0의 0제곱|0^^0^^]]은 정의하지 않지만, 수학적 편의를 위해 0^^0^^=1로 놓고 사용하는 경우가 많다.[* 실제로 몇몇 핸드폰 계산기는 0^^0^^을 계산하면 '1' 또는 '없음'이라고 계산한다. 공학용 계산기는 에러코드를 띄운다.] === 고등학교 교과 과정에서의 정의 === ==== 정수로의 확장 ==== 먼저 지수 법칙을 적용해 [math(0)]에 대해서 확인하면 [math(a^{n+0} = a^n \cdot a^0 = a^n)]이다. 따라서 [math(a^0 = 1)]로 정의를 내리는 것이 자연스럽다. 또한, [math(a^n \cdot a^{-n} = a^0 = 1)]로부터 [math(\displaystyle a^{-n} = \frac1{a^n})]임을 알 수 있다. 예시를 들어서 설명하면, [math(a^{-2}\cdot a^2=a^{2-2}=a^0=1)]이므로 [math(a^{-2})]를 어떤 수라고 한다면 어떤 수에 [math(a^2)]를 곱했을 때 [math(1)]이 나오는 수는 [math(\dfrac1{a^2})]이므로 [math(a^{-2}=\dfrac1{a^2})]이다. ----- 고등학교에서 등장하진 않지만 위의 개념을 수열을 이용해서도 정의할 수 있다. 아래와 같은 수열 [math(\{a^n\})]을 부분적으로 나열한 부분수열이 있다고 하자. [math(\{a^{-2},\,a^{-1},\,a^0,\,a^1,\,a^2\})] 이 수열은 수열 안에 있는 어떤 한 숫자에 [math(a)]를 곱하면 바로 오른쪽 있는 수가 되는 성질이 있다. 그리고 반대로 수열 안의 어떤 한 숫자에서 [math(a)]를 나누면, 즉 [math(\dfrac1a)]를 곱하면 바로 왼쪽에 있는 수가 되는 성질이 있다. 따라서 [math(a^0\cdot a=a^1=a)]이므로, [math(a^0)]을 어떤 수라고 한다면, 어떤 수에 [math(a)]를 곱했을 때 [math(a)]가 되는 수는 [math(1)]이므로 [math(a^{0}=1)]이다. 또, 같은 방법으로 [math(a^{-1}\cdot a=1)]이므로 [math(a^{-1}=\dfrac1a)]이다. [math(a^{-2}\cdot a=\dfrac1a)]이므로 [math(a^{-2}=\dfrac1{a^2})]이다. 이렇게 [[귀납법]]으로 일반화하면 [math(a^{-n}=\dfrac1{a^n})]이 된다. ==== 유리수로의 확장 ==== [math( a^{n\cdot\frac1n} = a )] 그리고 모든 유리수 [math(n)]에 대해 지수의 곱셈법칙이 성립한다면 [math( a^{n\cdot\frac1n} = (a^{\frac1n})^n )] 따라서, [math( a = (a^{\frac1n})^n )] 로 정의를 내리는 것이 자연스럽다. [math( a^{\frac1n} )]의 값을 하나로 결정해야 하므로[* 복소수의 범위에서, [math(n)]이 양의 정수일 때 [math(n)]개 있다.], 주 거듭제곱근(principal n-th root)을 사용하여 [math( a^{\frac1n} = \sqrt[n]a )]와 같이 정의한다. 추가로 [math( a^{\frac mn}=a^{m\cdot\frac1n} )] 이고 [math( (a^{m\cdot\frac1n})^n )]지수에 [math(n)]을 곱해주면 [math(a^m)]이 된다 따라서 [math(a^{\frac mn})]은 지수에 [math(n)]을 곱해주면 [math(a^m)]이 되는 수이며, [math(a^m)]을 다르게 표현하면 [math(a^m=(\sqrt[n]{a^m})^n)] 따라서 [math(a^{m})]의 [math(n)]제곱근이 [math(a^{{m \over n}})]의 값이 되는 것이다. [math(a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m})] 위와 같이 정의하면 지수법칙을 잘 만족함이 알려져 있다. 고등학교에서는 정의 상 허수가 나올 수 없지만, 대학교에서는 정의에 따라 얼마든지 나올 수 있다. 예를 들어, [math( (-2)^{\frac13} )]을 [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=(-2)%5E1%2F3|Wolfram Alpha]]에서 계산해 보면 [math( (-2)^{\frac13} \approx 0.62996 + 1.0911 i )]임을 알 수 있다. ==== 실수로의 확장 ==== [[실수]]의 성질 중에 조밀성(dense)이라는 성질은 무리수로 수렴하는 유리수 수열을 정의할 수 있다는 것이다. 예를 들자면 원주율 [math(\pi)]에 대해 [math(3,\,3.1,\,3.14,\,3.141,\,3.1415,\,\cdots)]이 된다. 이것을 이용해 정의하면 일반적으로 [math(a^r)]은 [math(p=\lim r_n)]인 유리수열 [math(\{r_n\})]을 이용하여 극한 [math(a^p:=\lim a^{r_n})]으로 정의한다.[* [math(p=\lim r'_n)]이면, [math(\lim a^{r_n}=\lim a^{r'_n})]이다.] 이 극한값이 존재함은 실수의 완비성으로부터 쉽게 보일 수 있다. 이렇게 하면 [math(2^{\pi})]는 [math(2^{3},\,2^{3.1},\,2^{3.14},\,\cdots)]인 수열의 극한으로 정의된다. [[오메가 상수]]라는 특수한 실수가 있는데, [[자연로그의 밑]]에 곱하고 지수를 취하면 1이 되는 수이다. ==== 복소수로의 확장 ==== 복소수로의 확장을 위해서는 엄밀한 증명이 필요하지만, 결론만 이야기하면 확장이 가능하다. 먼저 [math( a^x = e^{x \ln a} )]로부터 [math( x^z = x^{a+bi} = e^{(a+bi) \ln x } )] 가 튀어나온다. 그리고, [[오일러의 공식]] [math(e^{ix} = \cos x + i\sin x)]를 조합하면 지수함수, 로그함수, 삼각함수가 하나로 통합되어 버린다. 복소수까지 확장되면 지수함수, 로그함수는 함수값을 여러 개 가지는 '다가함수'로 바뀌어 버린다. 그래서, 편각의 범위를 제한(=[[주치]]를 선택)하거나, [[https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface|리만 곡면]]으로 확장하여 고려해야 한다. 이와 같은 방법을 통해 [math(i^i)]와 같은 수도 정의할 수 있다. [math(i^i = e^{i \ln i} = e^{i\cdot i\pi \left(2n+\frac12\right)} = e^{-\pi \left(2n+\frac12\right)} )]가 되고, 주치를 택하게 되면 [math(i^i = e^{-\frac{\pi}2} )]가 된다. 즉, [[허수]]에 허수 제곱을 하면 특이하게도 실수가 나오는 경우이다.[* 사실, 무리수의 무리수지수가 정수가 나오는 경우도 있다. 잘 알려진 건 [math(e^{\ln{a}}=a)]. [math(a)]가 [math(1)]이 아닌 양의 유리수라면, [math(\ln a)]는 항상 무리수가 되는 건 증명되어 있다.] 참고로 여기서는 하나의 값(주치)만 언급했지만, [math(i^i)]는 다가함수이기에 여러 개의 값을 가진다. === 그 외 === 사실 위에 있는 지수 법칙도 전부 [math(e)]에 대해 성립함을 보여서 먼저 정의한 다음 [[자연로그]]를 통해 [math( a^x = e^{x \ln a} )]를 이용해 일반적인 지수로 정의한다. 그럼 여기서 또 갑자기 튀어나온 [[로가리듬|로그]] 때문에 당황하게 된다. 고등학교 교육과정에서는 지수가 정의된 후 지수함수의 역함수가 [[로그함수]]라고 배우지만, 대학교에서는 로그함수를 먼저 정의한 뒤 로그함수의 역함수를 지수함수라 정의하는 등 다양한 정의가 있으며, 그 정의는 서로 동등하다. (역사적으로도 로그함수가 먼저 출현했다.) ==== 정적분을 이용한 정의 ==== 먼저 자연로그함수 [math(\ln x)]를 다음과 같이 정의한다. [math(\displaystyle \int_1^x \frac 1t \,\mathrm{d}t = 1)] 그 다음 [math(\ln x)]의 역함수를 정의한다. [math(\ln^{-1}x = \exp x)] 이렇게 정의하면 [math(\exp x)]가 바로 우리가 알고 있는 자연지수함수 [math(e^x)]이고, 나머지 일반지수함수를 [math( a^x = e^{x \ln a} )]로 정의할 수 있게 되어 매끄럽게 설명이 가능하다. ==== [[테일러 급수|멱급수]]를 이용한 정의 ==== [math(\displaystyle \exp(x) := \sum_{n=0}^{\infty} {x^n \over n!})] [math(\displaystyle \operatorname{cis}(x) := \sum_{n=0}^{\infty} {(ix)^n \over n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n}}{(2n)!} + i \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!})] [[테일러 급수]]를 이용해서 위와 같이 정의할 수 있다. [math(\exp(x))]는 exponential x의 준말로, 자연지수함수이다. 따라서 [math(e^x)]와 같다. [math(\operatorname{cis}(x))]는 [[오일러 공식]]을 구성하는 요소의 이름자[* '''c'''osine, '''i'''maginary unit, '''s'''ine]에서 하나씩 따왔으며, 이는 허수지수함수를 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다는 이야기이다. 얼핏 보면 지수함수를 지수로 정의하기 때문에 순환논법처럼 보일 수 있으나, 좌변의 지수 x는 실수 및 복소수인 반면 우변의 지수는 모두 자연수다. 즉 자연수 지수를 실수, 복소수 지수로 확장하는 것이다. == [[함수]]의 지수 == [[함수]]에 지수가 있는 때가 있는데, 동일 함수의 합성 형태인 [math( f^2(x) = (f \circ f)(x) )]의 축약형이다. 여기서 지수는 함수가 몇 번 합성됐느냐를 나타내며, 이는 [[미분방정식]]의 도함수([math(\mathrm{d})]), 편도함수([math(\partial)])에도 적용된다. 이것을 이용해서 함수의 [[제곱근]]을 구할 수도 있다. 단, 함수에 붙은 지수가 함숫값의 거듭제곱을 나타내는 경우도 많이 있는데, [[삼각함수]], 로그함수 및 대다수의 특수함수들[* [[감마 함수]], [[지수 적분 함수]], [[폴리로그함수]] 등]이 여기에 속한다. 즉, [math( f^2(x) = (f(x))^2 )]이다. [[역함수]]는 보통 [math(f^{-1}(x))]이라고 쓰며, [[역삼각함수]]도 삼각함수 앞에 arc-나 a-를 붙이는 방법 외의 다른 방법으로 삼각함수에 지수 -1을 붙인다. 예를 들면, 역사인함수의 경우 [math(\arcsin x, \mathrm{asin}\, x, \sin^{-1} x)]의 표기가 혼용된다. 한편 함수를 이루는 항이 특정 수의 지수로만 존재하는 경우를 멱함수, 이를 이용한 [[급수(수학)|급수]]를 멱급수라고 한다. [[다항함수]]의 경우, 미지수의 지수가 가장 큰 항의 지수를 [[차수#s-2]](degree)라고 한다. == [[집합]]의 지수 == 집합에 거듭제곱이 있으면 집합을 그 거듭제곱의 수효만큼 '''순서쌍'''으로 묶어놓은 것을 집합의 원소로 삼는 집합[* 집합족(Family of sets)이라고 한다.]으로 정의한다. 예) [math(\{1,2,3\}^2 \Rightarrow \{\{1,1\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,1\}, \{2,2\}, \{2,3\}, \{3,1\}, \{3,2\}, \{3,3\}\})] 보통 [[중적분]]에서 [[실수(수학)|[math(\mathbb{R}^n)]]] 등으로 지겹게 접하게 된다. 더 나아가, 집합 그 자체를 지수로 삼을 수도 있는데, 이를 [[멱집합]]이라고 한다. == 관련 문서 == * [[수학]] * [[연산]] * [[람베르트 W 함수]] * [[오메가 상수]] * [[제곱수]] * [[지수함수]] * [[지수 적분 함수]] * [[로가리듬]] * [[테트레이션]] [include(틀:문서 가져옴,title=지수,version=61)] [[분류:수학 용어]]