[include(틀:수학기초론)]
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== 개요 ==
{{{+1 [[絶]][[對]][[的]] [[無]][[限]], absolute infinite}}}
'''절대적 무한'''이란, [[게오르그 칸토어]]가 정의한 개념으로, 모든 [[초한수]] 가운데서도 가장 큰 무한을 일컫는다.[[https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_Infinite|#]]

참고로 가장 큰 [[서수(수학)|서수]]는 그 자체로 모순이므로, 자연스레 이보다 더 큰 [[기수#s-6.3]]가 되는데, 이 또한 [[ZFC 공리계]]를 비롯한 대부분의 표준 공리적 집합론에서 모순이다. 사실 여기까지 갈 것도 없이, 칸토어의 소박한 [[집합론]]에서도 자기 자신을 원소로 가지는 집합은 존재할 수 없다. [[러셀의 역설]] 참고.

체사레 부랄리포르티(이탈리아어: Cesare Burali-Forti)가 1897년에 발견한 부랄리포르티 역설(Burali-Forti paradox)에 따르면, 모든 순서수의 모임은 집합을 이룰 수 없다. 가장 큰 서수라는 개념이라는 게 그 자체로 모순이기 때문이다.

따라서, 순서수 [math(\omega)]를 '[math(\omega)]보다 작은 순서수들의 집합'으로 정의하자. 예를 들어, [math(0=\varnothing)], [math(1=\{0\})], [math(2=\{0,1\})], [math(\cdots)] 따위이다. 모든 순서수의 모임 [math({\rm On})]이 집합이라고 하자. 그렇다면 [math({\rm On})]자체도 또한 순서수가 된다. 따라서 그 바로 다음 수 [math({\rm On}+1)]이 존재하고, 이는 [math({\rm On})]보다 크다. 그러나, [math({\rm On})]은 모든 순서수를 포함하므로 [math({\rm On}+1)]도 그 원소가 되며, 다음의 역설이 발생한다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(
{\rm On} < {\rm On}+1 < {\rm On}
)]}}}
따라서, 모든 순서수의 모임은 집합이 될 수 없다.

이를 발견한 체사레 부랄리포르티(이탈리아어: Cesare Burali-Forti)의 이름을 따 부랄리포르티 역설(Burali-Forti paradox)이라고 한다.

다만, [[윌러드 밴 오먼 콰인|콰인]]의 [[https://ko.m.wikipedia.org/wiki/새_기초론|'''새 기초론(New Foundations)''']]에 의하면, '''모든 집합들의 집합'''을 허용하면서 [[러셀의 역설]]도 회피할 수 있다.

원초(urelement)의 존재를 허용하는, 새 기초론의 중요한 변형 중 하나인 NF(U)에서는 페아노 산술과의 상대적 무모순성도 증명된다.

참고로 [[게오르그 칸토어]]가 절대적 무한(기호: '''[[Ω]]''')과 구분하기 위해 [[상대적 무한]](relative infinite, 기호: '''[[ω]]''')에 붙인 이름이 바로 [[초한수]](transfinite number)다.

'''[[Ω]]'''와 '''[[ω]]'''는 각각 그리스 문자 [[오메가]]의 대문자와 소문자이다.

== 관련 문서 ==
 * [[게오르그 칸토어]]
 * [[큰 수]]
 * [[집합]]
 * [[집합론]]
 * [[서수(수학)]]
 * [[초한기수]]
 * [[무한]]
 * [[러셀의 역설]]
 * [[ZFC 공리계]]
 * [[Ω]]
[[분류:집합론]]