[include(틀:다른 뜻1, other1=별명이 인수분해인 카트라이더 프로게이머, rd1=박인수)]
[include(틀:대수학)]
[include(틀:수학(교과))]

[목차]

== 개요 ==
{{{+1 factorization / [[因]][[數]][[分]][[解]]}}}

어떤 원소를 다른 원소의 곱으로 표현하는 것이다.

대부분 중3 단원에서 [[곱셈 공식]]&[[이차방정식]]과 함께 나온다고 하지만, 사실 초등학교 시절 나온 통분부터 이름만 안 알려졌을 뿐 이때부터 존재가 알려지다가 중학교 1학년 때 분배법칙이 나오면서 일차식의 인수분해를 알게 되다가 중학교 3학년 때 그 이름이 공개된다.

== [[정수]] 위에서의 인수분해 ==
[include(틀:상세 내용, 문서명=소인수분해)]

== 다항식 위에서의 인수분해 ==
인수분해를 어느 정도까지 해야 하는가에 대해 의문을 품을 수 있는데, '''정해진 수의 범위에서''' 가능할 때까지 최대한 진행하면 된다. 예제 [math(x^4 - x^2 - 2)]를 각 범위에 따라 인수분해하면 다음과 같다.
 * [[유리수]] 범위: [math((x^2+1)(x^2-2))]
 * [[실수(수학)|실수]] 범위: [math((x^2+1)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2))]
 * [[복소수]] 범위: [math((x+i)(x-i)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2))]

엄밀하게는, 인수분해를 하는 수의 범위[* 더 엄밀히는 [[환(대수학)#s-5|이데알(ideal)]]]를 먼저 지정해놓아야 한다. 교과과정의 인수분해 문제에서는 별다른 언급이 없다면 보통 [[유리수]] 범위이고, 배우는 단원 특성에 따라서 자연수보다 넓은 범위로도 인수분해한다.

대신 일단 수 집합이 정해졌으면 인수분해를 하는 방법은 거의 '''유일하게 정해지므로''',[* 이들의 모둠이 [[유일인수분해환]]이다.] 어떻게 하든 할 수 있는 데까지 분해했으면 상관없다. '거의'가 붙은 이유는 [math((2x) \cdot y = x \cdot (2y))] 등을 구분할 수 없기 때문으로, 상수 배만큼 인수가 차이나는 것은 사실상 같은 인수분해로 취급한다.[* 대학 수학 레벨로 넘어가면 이는 모두 [[체(대수학)|체]] 위에서의 다항식의 인수분해 이야기로 일반화된다. 다만, 정수 위에서의 인수분해 등에서는 상수배를 무시하면 안되고, 외려 별도의 인수로 취급해 주어야 한다. 기본적으로 UFD([[유일인수분해환]]) 위에서의 기약분해인데 체가 아니면 상수항이 더 이상 단위원이 아니기 때문.] 시험 등에서 유일한 답을 요구하고 싶을 때는 [math(x)]의 최고차항의 계수가 1이라던지 하는 조건을 달아주면 된다.

=== 기본적인 인수분해 ===
 1. [math(x^2\pm2xy+y^2 = (x\pm y)^2)]
 1. [math(x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy)]
 1. [math(x^2-y^2 = (x+y)(x-y))]
 1. [math(x^2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b))]
 1. [math(acx^2+(ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d))]
여기까지가 중학교 3학년 과정.

 1. [math(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz = (x+y+z)^2)]
 1. [math(x^3\pm 3x^2y+3xy^2\pm y^3 = (x\pm y)^3)]
 1. [math(x^3\pm y^3 = (x\pm y)(x^2\mp xy+y^2))]
 1. [math(x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = (x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+xz+yz))]
 1. [math(x^4+x^2y^2+y^4 = (x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2))]
여기까지가 고등학교 1학년 과정.

 1. [math(x^n-1 = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1))][* [math(x-1)]을 좌변으로 이항해서 공비가 [math(x)]인 등비수열의 총합을 유도할 수 있다.]
 1. [math(x^n-1 = (x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+\cdots+x-1))] (단, [math(n)]은 짝수)
 1. [math(x^n+1 = (x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+\cdots-x+1))] (단, [math(n)]은 홀수)
 1. [math(x^4+4ax^3+6a^2x^2+4a^3x+a^4 = (x+a)^4)][* 고등학교 과정에서 중근이 가장 많이 나오는 개형이며, 이와 같은 경우 완전제곱식 꼴의 [[이차함수]]와 같이 [math((-a, 0))]을 지나며 기울기에만 변화가 생길 뿐이다. 자세한 정보는 [[사차함수]] 문서 참고.]
 '''(이상 [[복부호 동순]])'''
여기까지가 고등학교 과정이며, 기타 인수분해는 다음과 같다.

 1. [math(x^4+y^4 = (x+y)^4-4xy(x+y)^2+2x^2y^2)]
 1. [math(x^4-y^4 = (x-y)(x+y)((x+y)^2-2xy)))]
 1. [math(x^3+y^3+z^3+3x^2y+3xy^2+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2+6xyz = (x+y+z)^3)]
 1. [math(x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2+2xyz = (x+y)(x+z)(y+z))]
 1. [math(x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2+3xyz = (x+y+z)(xy+xz+yz))]
 1. [math(x^3+y^3+z^3 = (x+y+z)^3-3(x+y)(x+z)(y+z))]
 1. [math(x^2+y^2+z^2+3xy+3xz+3yz = (x+y)(x+z)+(x+y)(y+z)+(x+z)(y+z))]
 1. [math(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2+2xyz(x+y+z) = (xy+xz+yz)^2)]
 1. [math((x^2+y^2+z^2)^2+4(x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz)(xy+xz+yz) = (x+y+z)^4)]
나머지는 [[곱셈 공식]] 문서를 참고하라.

위처럼 여러 가지 인수분해 공식들이 있다. 간단한 것은 단순히 다항식의 전개식의 양 변을 바꾸어 놓은 것처럼 보이지만, 어디서 [[갑툭튀]]했는지 모르는 것들도 가끔 있다. 따라서 하나씩 곱해가면 되는 전개와는 달리, 인수분해는 그때 그때 공식 및 유형을 외워서 문제풀이에 써먹는 것이 정신 건강에 이롭다. 하지만 암기만으로는 한계가 있으니 여러가지 방법[* X자, [[조립제법]], 더하고 빼기 등]을 익혀놓는 것도 중요하다. 인수분해 공식을 증명하기 위해서는 인수분해된 식을 다시 전개해 보면 된다. 고등학교 수학을 배운 사람이라면 다 알듯 인수분해는 고등학교 수학 및 [[대수학]] 그 자체에 있어서 없어서는 안 될 존재로, 이것을 배우지 않고 수학을 배운다는 것은 있을 수 없는 일이다.

이름이 비슷한 것으로, 합성수를 소수의 곱으로 고치는 [[소인수분해]]가 있다. 인수분해와 방법은 다르지만, 수학적인 의미는 같다고 볼 수 있다. 실제로 인수분해의 [[대수학]]적 의의는 소인수분해가 합성수를 소수의 곱으로 고치는 것처럼 다항식을 기약다항식의 곱으로 고치는 것이다. 배수와 약수, 인수분해의 성질이 수나 [[다항식]]에서나 똑같이 성립한다는 것은 꽤나 중요한 사실이고, 중등교육에서 암묵적으로 사용되지만 정확히 언급되지는 않는 내용. 실제로 산술의 기본정리와 [[대수학의 기본정리]]의 따름정리는 꽤나 닮아있다.

인수분해에 염증을 느끼지만 수학에 흥미를 느끼고 싶은 학생들에게 팁을 몇 가지 주자면, ([[대수학의 기본정리]]에 의해) 모든 다항식은 복소수 범위 내에서 인수분해를 할 수 있는데, 그래서 진짜로 '''복소수 범위에서 인수분해를 하면 상당히 흥미로운 결과가 나온다.''' 당장 저 인수분해 8번 공식이 [[삼차방정식]]의 근의 공식 유도에 중요한 역할을 하게 된다.[* 사실, 저거랑 2차방정식의 근의 공식, 2차식을 없애는 치환만 있으면 일반적인 삼차방정식의 근의 공식을 유도할 수 있다! [math(y)], [math(z)]를 상수로 생각하면 몇 분 고생한 후 답을 알 수 있게 된다. 그 외에도 6번 공식도 삼차방정식의 근의 공식의 유도에 쓸 수 있다.][* 밑에 있는 대칭식, 교대식과 이 사실을 비교해보면 '''대칭'''이라는 성질이 조금 느껴질 것이다. 이 성질이 고급 [[대수학]]에서 핵심적인 역할을 하며 그때는 인수분해를 다른 눈으로 볼 수 있게 된다.]

고등학교 1학년에서 미지수가 3개인 이차식, 3차, 4차식의 인수분해 공식이 나온다.

==== 완전제곱식 ====
{{{+1 perfect square}}}

위 문단에서 인수분해 시 [math((x\pm y)^2)], [math((x+y+z)^2)], [math((x \pm y)^3)] 같이 다항식의 거듭제곱 꼴이 되는 식을 '''완전제곱식'''이라고 한다.[* 완전제곱식이란 명칭은 곱셈 공식 단원에서부터 쓰이긴 하지만 눈에 뜨일 정도로 흔하진 않고, 이차방정식 단원부턴 제대로 쓰인다.] 이는 아래와 같이 [[벡터]]의 [[내적]]을 이용해 일반화할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(n \!\left< \overline{\bf x}, \,{\bf a} \right>^m \quad
)](단, [math(n)]과 [math(m)]은 상수)[* 흔히 생각하는 완전제곱식은 [math(n=1)]이고 [math(m, \operatorname{dim}{\bf x}, \operatorname{dim}{\bf a} \in \{2, 3\})]인 경우이다. [math(\overline{\bf x})]는 [math(\bf x)]의 [[켤레복소수|켤레]]이다(내적이 [[에르미트 내적|반쌍형 연산자]]이므로 켤레를 취함).]}}}
완전제곱식은 보통 이차방정식 등에서 해를 구할 때 사용한다. 그리고 그 방정식의 실근이 하나의 중근을 갖는다.

=== 조립제법 ===
{{{+1 synthetic division / [[組]][[立]][[除]][[法]]}}}

정확하게는 [[다항식]]의 나눗셈에서 쓰이는 방법이지만, 인수분해에서도 쓸 수 있다. 특히 인수분해 공식(삼차 이상)을 잊어버렸거나 어떤 공식인지 파악할 수 없을 때 쓰면 유용하다. 단, 식을 0으로 만드는 값을 대입해서 찾아야 한다는 점이 무척 귀찮게 느껴질 수 있다. 또한 나누는 식이 이차식 이상일 때에도 쓸 수 있다.

[math(n)]차 다항식 [math(F(x) = a_0x^n +a_1x^{n-1} +\cdots +a_{n-1}x +a_n)]를 일차식 [math((x-\alpha))]로 나눈다 하자. 제수가 1차식이므로 몫은 [math((n-1))]차식, 나머지는 상수항([math(R)])이 된다. 이를 식으로 나타내면 [math(a_0x^n +a_1x^{n-1} +\cdots +a_{n-1}x +a_n = (x-\alpha)(b_0x^{n-1} +b_1x^{n-2} +\cdots +b_{n-2}x +b_{n-1}) +R)]이다.

이 등식은 [[항등식]]이므로, 양변을 전개하여 계수를 비교하여 [math(b_i)]([math(i=0)], [math(1)], [math(\cdots)], [math(n-1)])에 관해 풀면 [math(b_0=a_0)], [math(b_1 = a_1 +b_0\alpha = a_1 +a_0\alpha)], [math(\cdots)], [math(b_{n-1} = a_{n-1} +b_{n-2}\alpha = a_{n-1} +a_{n-2}\alpha +\cdots +a_0\alpha^{n-1})], [math(R = a_n +b_{n-1}\alpha = a_n +a_{n-1}\alpha +\cdots +a_0\alpha^n)]이 된다. 

여기서 나머지 [math(R)]을 0으로 만들 수 있다면, 즉 다항식=0의 근을 알고있다면 처음 다항식은 두 인수의 곱으로 나타내어진다. 이후 몫에 관해 한번 더 조립제법을 쓰거나 다른 방법을 계속 써서 인수분해를 끝낼 수 있다. 조립제법을 그림으로 나타내면 아래와 같다.[* 아래 그림은 [math(x^3+x-2)]에 대해 조립제법을 쓴 경우.]
[[파일:16Jh12F.png|bgcolor=#FFF]]

여기서 문제는 방정식의 근([math(=\alpha)])을 어떻게 찾냐는 것이다. 이에 관해선 다음의 유용한 정리를 이용해 가능한 유리근의 후보를 추릴 수 있다.
>'''[[유리근 정리]]'''(rational root theorem)
>----
>정수계수 다항식 [math(f(x) = a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} +\cdots +a_0)], [math(a_n\neq0)], [math(a_0\neq0)]가 유리수 근 [math(r = p/q)] (단, [math(p\in\Z, q\in\Z, \operatorname{gcd}(p, q) = 1)])을 가지면, [math(q)]는 [math(a_n)]의 약수, [math(p)]는 [math(a_0)]의 약수이다.
증명은 다음과 같다. 식 [math(q^n f(p/q) = a_np^n +a_{n-1}p^{n-1}q +\cdots +a_0q^n = 0)]의 항 중 [math(a_0q^n)]을 제외하면 모두 [math(p)]로 나누어 떨어지므로 [math(a_0q^n)]도 [math(p)]의 배수여야 하는데, [math(p)]와 [math(q)]가 서로소이므로 [math(p \vert a_0)]. 마찬가지로 [math(q \vert a_n)]에 대해서도 비슷하게 진행하면 된다.

2009년 [[한국어 위키백과]] 에서는 [[만우절]]에 어떤 유저가 조립제법을 조립제(...)라는 수학자가 만들었다고 서술했다가 논란이 되었다. 2020년 만우절에도 그러한 반달이 일어났다. 하긴, 비슷한 이름의 [[조갑제]]도 있으니 사람 이름처럼 느껴질 법도 하다.

==== 2차식 이상에 대한 조립제법 ====
다음 그림을 보자.

[[파일:2차식 조립제법.png|bgcolor=#FFF]]

2차식 이상으로 나눌 때에는 (최고차항의 계수가 1일 때) 최고차항을 빼고 나머지 항의 계수를 대각선으로 적는다. 곱해서 위로 올릴 때에도 대각선으로 올린다(파란색 화살표). 더할 때는 한 열의 숫자를 모두 더한다(빨간색 화살표).

||<table width=100%>'''연습문제'''
-----
[math(x^5-6x^4-x^2-70)]을 [math(x^3+2x+1)]로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법으로 구하시오. ||

||<table width=100%>{{{#!folding [풀이]
-------
[math(\begin{array}{rrr|}
& & \\
& & -1 \\
& -2 & \\
0 & & \\
\end{array}
\begin{array}{rrrrrr}
1 & -6 & 0 & -1 & 0 & -70 \\
& & & -1 & 6 & 2 \\
& & -2 & 12 & 4 & \\
& 0 & 0 & 0 & \quad & \\
\hline
\end{array}\\
\begin{array}{rrrrrrrrrr}
\!~& & & & & & 1 & -6 & -2 &
\!\!\begin{array}{|rrr}
\!\!\:~10 & 10 & -68 \\
\hline
\end{array}
\end{array}
)]

위 그림처럼 쓸 수 있으며, 따라서 몫은 [math(x^2-6x-2)]이고 나머지는 [math(10x^2+10x-68)]이다.
}}}||

=== 대수학에서의 인수분해 스킬 ===
교과과정에는 소개되지 않지만 다항식에 대한 이해가 깊어질수록 써먹을 수 있는 은근히 다양한 기술들이 있다.

 * 한 변수에 대한 다항식
 특정 변수에 대해 1변수 다항식으로 정리하거나, 꼭 정리하지 않더라도 다양한 사고방식을 활용할 수 있다. 예를 들어 다항식 [math(F(x,y,z))]가 [math(F(x,y,y)=0)]을 만족한다고 하자. [math(z)]에 대한 다항식으로 볼 때 [[나머지 정리]]를 적용하면 [math(F)]는 [math(z-y)]를 인수로 가짐을 알 수 있다. [math(x^n-y^n)]에서 첫 번째 인수로 자연스럽게 [math(x-y)]을 떠올릴 수 있는 이유.

 * 동차식
 모든 변수에 대한 총 차수가 같은 다항식을 동차다항식(homogeneous polynomial)이라 한다. 동차다항식의 인수는 동차다항식만이 가능하다. 예를 들어 [math(x^6 + x^3 y^3 + y^6)]을 인수분해했을 때 [math(x + y^2)] 같은 식이 인수로 들어갈 수 없다는 사실을 바로 알 수 있고, 이걸 잘 쓰면 인수로 가능한 범위를 꽤나 많이 줄일 수 있다.

 * [[대칭식]]과 [[교대식]]
 [[대칭식]]은 임의의 두 변수를 치환했을 때 불변하는 식(원래의 식과 같아지는 식)으로, 대칭인 다항식인 대칭다항식의 인수는 항상 대칭적으로 나타난다. 즉, 어떤 대칭식이 [math(x+y)]를 인수로 갖는다면 이는 [math(y+z)], [math(z+x)]도 인수로 가져야 한다. 대칭다항식의 기본정리[* 모든 대칭식을 기본 대칭다항식의 다항식으로 유일하게 나타낼 수 있다는 정리. 3변수일 경우 기본 대칭다항식은 [math(x+y+z)], [math(xy+yz+zx)], [math(xyz)] 이렇게 주어진다.]를 사용할 수도 있지만, 이걸 무작정 쓴다면 인수분해가 꼬이는 경우도 있다.
 
 [[교대식]]의 정의는 임의의 두 변수를 치환했을 때 식의 부호가 바뀌는 식이다. 3변수 교대식의 경우 [math((x-y)(y-z)(z-x))]를 인수로 갖고, 두 교대식의 비율은 대칭식이기 때문에 모든 교대식은 대칭식과 저 인수의 곱으로 나타난다. 일반적 [math(n))]변수의 경우 모든 [math(x_i-x_j)]들의 곱과 대칭다항식 부분으로 분해가 된다. 예를 들어 [math(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y))]는 동차 교대식이고 따라서 [math((x-y)(y-z)(z-x))]를 인수를 갖고, 남은 부분은 일차 동차인 대칭식이므로 [math(c(x+y+z))] 꼴이다. [math(x^3 y)]의 계수를 비교하면 [math(c=-1)]이므로 [math(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y))=-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z))]가 성립한다.

 * 정수계수 인수분해
 >가우스 보조정리(Lemma von Gauß)[* 학부 대수학 과정에서는 정수계수에 국한되지 않은 좀 더 일반적인 서술로 변경된다.]
 >----
 >정수계수 다항식이 유리계수 다항식 둘로 [math(f=ab)]처럼 인수분해될 때, 적절한 유리수 [math(c)]가 존재해 [math(A=ca)], [math(B(x)=c^{-1}a)]가 정수계수 다항식이 되게 할 수 있다.
 즉, 다항식이 유리계수 위에서 인수분해되면 정수계수 위에서 인수분해 가능하고, 이는 심지어 다변수에 대해서도 성립한다. 상술한 유리근 정리의 상당한 일반화로 볼 수 있다. 이 정리의 증명은 [[현대대수학]] 수준이라 당연히 교과과정 외이지만, '''정수계수만 인수로 생각해도 충분하다'''는 것을 보장해 주는 --꼼수--안전장치로 받아들이면 괜찮다.

 * 기약다항식 판정법
 교과과정에서는 웬만하면 풀리는 인수분해를 내주지만, 보다 고급 과정에선 인수분해가 더 이상 불가능함을 증명하라는 상황이 등장하기도 한다. 인수분해가 불가능한 다항식을 '''기약 다항식(irreducible polynomial)'''이라 하는데, [[정수론]]에 어느 정도 지식이 있으면 이 기약다항식 판정에 막무가내 미정계수법으로 인수분해의 불가능성을 보이는 것보다 세련된 방법을 몇 가지 동원할 수 있다. 그 중 대표적인 것으로 '''아이젠슈타인 판별법'''이 있다.
 >아이젠슈타인 판별법(Eisensteinkriterium)
 >----
 >정수계수 다항식 [math(a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} +\cdots +a_1x +a_0)]의 계수들이 소수 [math(p)]에 대해 다음 세 조건 [math(p\nmid a_n)], [math(p\vert a_i)] ([math(i=0)], [math(1)], [math(2)], [math(\cdots)], [math(n-1)]), [math(p^2\nmid a_0)]을 만족시키면, 그 다항식은 기약다항식이다.
 예를 들어서 다항식 [math(x^{2222} +2x^{2220} +4x^{2218} +6x^{2216} +\cdots +2218x^4 +2220x^2 +2222)]는 [math(p=2)]에 대해 이 판별법을 만족시키므로 기약이다. 꼭 원래 다항식이 이걸 만족시키지 않더라도, [math(f(k))]가 소수가 되는 정수 [math(k)]를 찾을 수 있으면 아이젠슈타인 판별법을 [math(f(x+k))]에 대해 시도해볼 만하다. 예를 들어 소수 [math(p)]에 대해 다항식 [math(x^{p-1} +x^{p-2} +\cdots +1)]은 [math(x = y+1)]을 대입하면 아이젠슈타인 판별법으로 기약임을 보일 수 있다.[* 해당 다항식은 소수 [math(p)]에 대한 원분다항식([math(\Phi_p(x))])이며, 각주 앞에서 소수 [math(p)]에 대해서 이런 다항식이 기약이라 했으므로 따라서 모든 소수 [math(p)]에 대해서 [math(\Phi_p(x))]은 기약다항식이다.]
 
 한편, 원래 다항식이 인수분해가 된다면, [[합동식]]을 적용해서 소수 법(mod)으로 보았을 때도 인수분해가 되어야 한다. 따라서 합동식을 썼을 때 그 법 위에서 기약이 되는 소수를 찾거나, 아니면 2개 이상의 소수 법에 대한 인수분해 결과를 대조해서 모순을 이끌어내는 테크닉도 사용이 가능하다.

--더 나아가서 [[갈루아 이론]]까지 가면 인수분해의 궁극기술을 터득할 수 있다 [[카더라]](...)-- 결국에 인수분해는 방정식을 일반적으로 푸는 것과 밀접한 관련이 있고, 따라서 대수학의 시대가 바뀔 때마다 새로운 방향으로 연구되어 왔다. 아직도 새로운 방법이 남아 있을지도 모른다.

== 여담 ==
누군가, 또는 무언가를 제거하는 것을 인수분해라고 표현하기도 한다. 디시인사이드에서 [[아햏햏]]이 유행하던 시절부터 [[홍성대]]와 엮여서 나왔던 오래된 말장난이다. 예시를 몇 개 들자면 [[팀 포트리스 2]]의 [[스카웃(팀 포트리스 2)|스카웃]]의 커스텀 서버 언락 무기 중 [[스카웃(팀 포트리스 2)/커스텀 무기 목록#s-1.3.7|'Atomizer'의 번역명이 '인수분해']][* 여기 맞아죽으면 적 캐릭터가 원자 단위로 분해되어 시체도 못 남기고 증발해버린다.]이고, [[신세계(영화)|신세계]]에서도 나왔다.

== 관련 문서 ==
 * [[대수학의 기본 정리]]
 * [[곱셈 공식]]
 * [[다항식]]
 * [[나머지 정리]]
 * [[소인수분해]]

[[분류:대수학]]