[include(틀:다른 뜻1, other1=동명의 인터넷 방송인, rd1=이차함수(인터넷 방송인))] [include(틀:토론 합의, 토론주소1=UpbeatRedFearlessLead, 합의사항1=개행이 없는 부분의 분수는 a/b' 방식으로 쓸 것으)] [include(틀:초등함수의 목록)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[二]][[次]][[函]][[數]] / quadratic function}}} 이차함수는 최고차항의 차수가 2인 [[다항함수]]를 말하며, 다음과 같이 두 가지 꼴로 나타낼 수 있다. * '''일반형''': [math(f(x)=ax^2+bx+c )] * '''표준형''': [math(f(x)=a(x-p)^2+q )] 여기에서 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(p)], [math(q)]는 상수이며, [math(a\neq0)]이다. == 그래프 == 이차함수의 그래프는 [[포물선]]이다. 아래의 표는 이차함수의 표준형 및 일반형에 대한 정보를 체계적으로 표현한 것이다. 단, [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(p)], [math(q)]는 실수이다. ||
|| [math(\boldsymbol{f(x)=a(x-p)^2+q} )] || [math(\boldsymbol{f(x)=ax^2+bx+c})] || || '''그래프의 볼록 유형''' ||<-2> [math(a>0)]일 때 아래로 볼록[br][math(a<0)]일 때 위로 볼록 || || '''그래프의 폭''' ||<-2><|2> [math(|a|)]의 값이 클수록 감소[br][math(|a|)]의 값이 작을수록 증가 || || '''초점-꼭짓점-준선 간 거리''' || || '''꼭짓점''' || [math((p,\,q))] || [math(\left(-\dfrac{b}{2a},\,\dfrac{4ac-b^2}{4a} \right))] || || '''대칭축''' || [math(x=p)] || [math(x=-\dfrac{b}{2a})] || || '''[math(\boldsymbol{x})]절편''' || [math(p \pm \sqrt{-\dfrac{q}{a}})][br]{{{-2 (단, [math(aq\leq 0)]일 때 존재)}}} || [math( \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} )][br]{{{-2 (단, [math(b^2 \geq 4ac)]일 때 존재)}}} || || '''[math(\boldsymbol{y})]절편''' || [math(ap^2+q)] || [math(c )] || || '''초점''' || [math(\left(p,\, q+\dfrac{1}{4a} \right))] || [math(\left(-\dfrac{b}{2a},\, \dfrac{4ac-b^2+1}{4a} \right))] || || '''준선''' || [math(y = q - \dfrac{1}{4a})] || [math(y = \dfrac{4ac-b^2-1}{4a})] || === 표준형 === 모든 이차함수는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(f(x)=a(x-p)^2+q \quad)](단, [math(a)], [math(p)], [math(q)]는 상수, [math(a\neq 0)])}}} 와 같은 표준형으로 나타낼 수 있고, 이것은 그래프 [math(y=ax^2)]을 [math(x)]축의 방향으로 [math(p)]만큼, [math(y)]축의 방향으로 [math(q)]만큼 평행이동한 것이다. 이에 따라, 일반적인 [[차원]]에서 이차함수의 [[그래프]]를 논하기 전에 가장 기본적인 [math(y=ax^2)]의 그래프부터 논할 필요가 있다. [math(y=ax^2)]의 그래프는 다음과 같은 성질을 갖는다. * [math(a>0)]이면 아래로 볼록한 포물선이 되고, [math(a<0)]이면 위로 볼록한 포물선이 된다. * 최솟값 혹은 최댓값이 되는 점(접선의 기울기가 [math(0)])인 점을 '''꼭짓점'''이라 하며, 꼭짓점은 원점이다. * [math(|a|)]가 커질수록 그래프의 폭은 감소하며, 작을수록 그래프의 폭은 증가한다. * [math(y)]축에 대하여 대칭이며, 이때 이 [math(y)]축을 '''대칭축'''이라 한다. [[파일:나무_원점_이차함수_그래프_수정.png|width=180&align=center]] 따라서 표준형 [math(f(x)=a(x-p)^2+q)]의 그래프는 다음과 같은 성질을 갖는다. * [math(a>0)]이면 아래로 볼록하며, [math(a<0)]이면 위로 볼록하다. * 꼭짓점은 [math((p,\,q))]이다. * 대칭축은 [math(x=p)]이다. * [math(|a|)]가 클수록 그래프의 폭은 감소하며, 작을수록 폭은 증가한다. * [math(y)]절편은 [math(ap^2+q)], [math(x)]절편은 [math(p \pm \sqrt{-\dfrac{q}{a}})](단, [math(aq \leq 0)])이거나 존재하지 않는다. 일반형에 비해 꼭짓점, 대칭축, 준선, 초점을 더 깔끔하고 극명하게 나타내기 편하지만, x절편과 y절편이 나타내기 복잡하다. [[파일:나무_이차함수_그래프_1.png|width=240&align=center]] === 일반형 === 한편, 일반형 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]는 표준형으로 나타내면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle f(x)=a\left( x+\frac{b}{2a} \right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a} )]}}} 이며 다음의 성질을 갖는다. * [math(a>0)]일 때, 아래로 볼록한 모양의 포물선을 가지며, [math(a<0)]일 때, 위로 볼록한 모양의 포물선을 갖는다. * [math(|a|)]가 커질수록 그래프의 폭은 감소하며, 작을수록 그래프의 폭은 증가한다. * 꼭짓점은 [math(\left( -\dfrac{b}{2a}, \, \dfrac{4ac-b^2}{4a} \right) )]이다. * 대칭축은 [math(x=-\dfrac{b}{2a})]이다. * [math(y)]절편은 [math(c)], [math(x)]절편은 [math( \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} )](단, [math(b^2 \geq 4ac)])이거나 존재하지 않는다. 표준형에 비하면, 꼭짓점, 대칭축, 초점, 준선이 매우 까다롭지만 y절편이 [math(c)]로 매우 간단하며, x절편 마저도 [[근의 공식]]과 같다. [[파일:나무_이차함수그래프_2.png|width=220&align=center]] === 최댓값, 최솟값, 극값 === 실수 전체의 집합에서 정의된 이차함수 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]의 도함수는 [math(f'(x)=2ax+b)]이다. 이때, [math(f'(x)=0)]이 되도록 하는 [math(x)]값은 '''[[극값]]'''이 되며, 이차함수는 실수 전체의 집합에 대하여 오직 [math(\displaystyle x=-{b}/{2a})]에서만 극값을 갖는다. 이는 앞서 설명한 꼭짓점의 [math(x)]좌표이다. 따라서 이차함수의 그래프의 유일한 극점은 꼭짓점이며, 이차함수의 최대 혹은 최소는 단순 미분을 통해서 바로 구할 수가 있다. 이에 따라, 극값 [math(-{b}/{2a})]를 기준으로 도함수의 함숫값이 양에서 음 혹은 음에서 양으로 바뀐다. 즉, 꼭짓점을 기준으로 함숫값이 증가하다 감소하거나, 감소하다 증가하는 두 가지의 경우가 있다. 이 결과로부터 실수 전체의 집합에서 정의된 이차함수의 최댓값과 최솟값을 알 수 있는데, 이차함수가 아래로 볼록하다면 최솟값은 꼭짓점의 [math(y)]좌표이며 최댓값은 없다. 위로 볼록하다면 최댓값은 꼭짓점의 [math(y)]좌표이며 최솟값은 없다. 그런데 실수 전체의 집합이 아닌 다른 집합에서 정의된 이차함수라면 최댓값과 최솟값을 모두 가질 수 있다. 다만, 그 구간 내에 꼭짓점이 포함된다면 그래프가 아래로 볼록할 경우 최솟값이, 그래프가 위로 볼록할 경우 최댓값이 꼭짓점의 [math(y)]좌표임은 변치 않는다. === 대칭축 === 이차함수의 그래프는 [math(x)]축과 수직인 직선에 대하여 대칭이기 때문에 이차함수 [math(f(x))]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(f(k-x)=f(k+x) )] }}} 가 성립한다. 여기서 [math(k)]는 대칭축의 [math(x)]절편이자 꼭짓점의 [math(x)]좌표이다. [[파일:나무_이차함수_대칭축.png|width=230&align=center]] 위 그림과 같이, 대칭축으로부터 거리가 같은 점들의 [math(y)]좌표는 모두 같으며, 역으로 이차함수 그래프 위의 [math(y)]좌표가 같은 두 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]가 있을 때, 선분 [math(\overline{\rm AB})]의 중점 [math(\rm M)]은 대칭축 위에 있다. 또한, 대칭축과 이차함수의 그래프의 교점은 꼭짓점이다. 이 성질은 이차함수와 관련한 기하학적 문제를 풀 때 자주 사용한다. 또한 대칭축은 그 이차함수의 그래프의 두 근의 평균이기도 하다. 아래로 볼록한 이차함수 그래프 기준으로, 이차함수의 그래프가 x축과 서로 다른 두 지점에서 만난다면, y>0인 구간은 xb인 지점이고, y<0인 구간은 x가 a와 b 사이에 있을 때이며, y=0인 구간은 x=a 또는 x=b일 때이다. 이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 만날 때에는 x=a여야 y=0이므로 y>0인 구간은 x=a가 아닌 모든 실수이며, y<인 구간은 해가 없다. 마지막으로, 이차함수의 그래프가 x축과 만나지 않는 경우에는 x의 값이 어떠하든지 무조건 y>0이므로, y__<__0 및 y<0인 구간의 해가 존재하지 않는다고 결론을 도출할 수 있다. === 계수의 부호 === 위 내용을 종합하여 이차함수 [math(y=ax^2+bx+c)]의 그래프의 개형과 위치를 [math(a)], [math(b)], [math(c)]의 부호를 가지고 알아낼 수 있는데, 정리하면 다음과 같으며 역도 성립한다. * [math(a>0)]이면 아래로 볼록 * [math(a<0)]이면 위로 볼록 * [math(ab>0)]이면 대칭축은 [math(y)]축 왼쪽 * [math(ab=0)]이면 대칭축은 [math(y)]축 * [math(ab<0)]이면 대칭축은 [math(y)]축 오른쪽 * [math(c>0)]이면 [math(y)]절편은 양수 * [math(c=0)]이면 [math(y)]절편은 0 * [math(c<0)]이면 [math(y)]절편은 음수 이는 이차함수의 그래프의 기하학적 의미를 묻기에 딱 좋으므로 중고등학교 시험 문제로 자주 나오는 내용이다. 예제는 아래의 '이차함수 문제' 문단을 참고하라. === 이차함수의 그래프와 닮음 === 모든 이차함수의 그래프는 평행이동을 통하여 [math(y=ax^2)]의 그래프로 둘 수 있으므로 가장 단순한 [math(y=ax^2)]을 고려해 보자. 다음과 같은 [math(k)]배만큼의 닮음 변환을 통해 [math(y=ax^2)]의 위의 점 [math((x,\,y) \to (x',\,y'))]로 옮겨진다고 하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} k &0 \\ 0& k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} \; &\to \; x'=kx,\;y'=ky\\ \; &\to \; y'=\frac{a}{k}x'^{2} \end{aligned} )] }}} 따라서 [math(y=ax^2)]을 [math(k)]배 닮음 변환하면 포물선 [math(y=ax^2/k)]으로 옮겨지며, 이에 따라 '''모든 이차함수의 그래프는 [[닮음]]이다.''' [math(y=ax^2)]을 닮음변환하여 [math(y=bx^2)]을 얻었다고 하자. 이때, 두 포물선의 닮음비는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle 1:\left| \frac{a}{b} \right|=|b|:|a| \quad \left(\because\displaystyle \frac{a}{k}=b \to k=\frac{a}{b}\right))] }}} 일반적으로 두 이차함수 [math(y=ax^2+cx+d)], [math(y=bx^2+ex+f)]의 그래프의 닮음비는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle 1:\left| \frac{a}{b} \right|=|b|:|a| )] }}} === 이차함수의 그래프와 이차방정식 === 이차함수의 [math(x)]절편은 [math(f(x)=0)]을 만족시키는 [math(x)]로서, 결국 [[이차방정식]] [math(f(x)=0)]의 해이다. 따라서 이차함수 [math(y=f(x))]에 대하여 실수 범위 내에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta))] }}} 로 인수분해되면 [math(x)]절편은 [math(\alpha)], [math(\beta)]이다. [[파일:나무_이차함수_판별_그래프1.png|width=185&align=center]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(f(x)=a(x-\alpha)^2)] }}} 로 인수분해되면 [math(x)]절편은 [math(\alpha)]뿐이다. [[파일:나무_이차함수_판별_그래프2.png|width=185&align=center]] [math(f(x))]가 실수 범위 내로 인수분해되지 않으면 [math(x)]절편은 존재하지 않는다. [[파일:나무_이차함수_판별_그래프3.png|width=185&align=center]] 위 성질과 포물선의 볼록 유형(상수 [math(a)]의 부호로 판단)만 파악하면 이차함수의 그래프를 쉽게 그릴 수 있다. 반대로 이 성질을 이용하여 이차함수의 그래프와 [math(x)]축의 교점이 몇 개인지를 알아볼 수 있는데, 이는 앞서 말했듯 이차함수의 그래프의 [math(x)]절편이 곧 해당 함수에 대한 방정식의 해이기 때문이다. 방정식 [math(f(x)=ax^2+bx+c=0)]은 판별식 [math(D=b^2-4ac)]에 대하여 [math(D>0)]이면 두 실근, [math(D=0)]이면 중근, [math(D<0)]이면 두 허근을 갖기 때문에 이차함수의 그래프와 꼭짓점의 개수가 각 경우에 대하여 2, 1, 0이다. === 이차함수의 그래프와 [[포물선]] === 이미 [[포물선]] 문서를 통하여 이차함수 [math(x^2=4py)]는 준선이 [math(x)]축과 평행한 [math(y=-p)]이고, 초점의 좌표가 [math((0,\,p))]인 포물선임을 논했다. 따라서 이차함수 [math(y=ax^2)]을 고려한다면, 그 그래프는 * '''초점''': [math(\displaystyle \left( 0, \, \frac{1}{4a} \right) )] * '''준선''': [math(\displaystyle y=-\frac{1}{4a} )] 인 포물선을 나타낸다. 또한 포물선의 초점을 [math(\rm F)], 이차함수 위의 임의의 점을 [math(\rm P)], [math(\rm P)]에서 준선 [math(l)]에 내린 [[수선의 발]]을 [math(\rm H)]라 하면 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \overline{\rm PF}=\overline{\rm PH} )]}}} [[파일:나무_이차함수_포물선.png|width=210&align=center]] [math(y=a(x-p)^2+q)]의 그래프를 고려한다면, 이 함수는 [math(y=ax^2)]의 그래프를 아래와 같이 * [math(x)]축 방향으로 [math(p)]만큼 * [math(y)]축 방향으로 [math(q)]만큼 평행이동한 것이므로 초점과 준선 모두 똑같이 평행이동하게 된다. 따라서 [math(y=a(x-p)^2+q)]의 그래프는 * '''초점''': [math(\displaystyle \left( p, \, q+\frac{1}{4a} \right) )] * '''준선''': [math(\displaystyle y=q-\frac{1}{4a} )] 인 포물선이 된다. [math(y=ax^2+bx+c)]의 그래프를 고려한다면, 이 함수는 [math(y=ax^2)]의 그래프를 아래와 같이 * [math(x)]축 방향으로 [math(-\dfrac{b}{2a})]만큼 * [math(y)]축 방향으로 [math(\dfrac{4ac-b^2}{4a})]만큼 평행이동한 것이므로 초점과 준선 모두 똑같이 평행이동하게 된다. 따라서 [math(y=ax^2+bx+c)]의 그래프는 * '''초점''': [math(\displaystyle \left( -\dfrac{b}{2a}, \, \frac{4ac-b^2+1}{4a} \right) )] * '''준선''': [math(\displaystyle y=\frac{4ac-b^2-1}{4a} )] 인 포물선이 된다. 위 식에 따라 초점과 꼭짓점, 꼭짓점과 준선 간의 거리는 [math(({4|a|})^{-1})]으로 일정하며, 최고차항의 계수 [math(a)]의 [[절댓값]]에 반비례한다. 즉, [math(|a|)]가 커지면 초점과 준선이 꼭짓점에 가까워지고, 작아지면 멀어진다. === 임의의 점에서 그을 수 있는 [[접선]]의 개수 === 임의의 점에서 이차함수의 그래프에 그을 수 있는 [[접선]]의 개수는 다음과 같다. 단, '''그래프보다 위'''라는 말은 해당 점의 [math(y)]좌표가, 해당 점의 [math(x)]좌표에서의 이차함수의 함숫값보다 크다는 뜻이다. 반면, '''그래프 위'''라는 말은, 이차함수의 그래프가 해당 점을 지난다는 뜻이다. * '''아래로 볼록한 경우(최고차항의 계수가 양수)''' * '''그래프보다 위'''에 있는 점에서 0 * '''그래프 위'''에 있는 점에서 1 * 그래프보다 아래에 있는 점에서 2 * '''위로 볼록한 경우(최고차항의 계수가 음수)''' * 그래프보다 아래에 있는 점에서 0 * '''그래프 위'''에 있는 점에서 1 * '''그래프보다 위'''에 있는 점에서 2 [[파일:namu_이차함수_접선개수.png|width=350&align=center]] 이러한 특성 때문에, 이차함수의 그래프의 접선의 방정식은 굳이 [[미분]]을 하지 않고서도 구할 수 있다. 이차함수의 그래프 [math(y=f(x))]와 그 접선 [math(y=g(x))]는 접점 [math((a,\,f(a)))][* 혹은 [math((a,\,g(a)))]]에서만 만나기 때문에, [[이차방정식]] [math(f(x)-g(x)=0)]은 중근 [math(x=a)]를 가지고 [[판별식]]은 0이라는 점을 이용하면 미분 없이도 접선의 방정식을 구할 수 있다. == [[역함수]] == [include(틀:토론 합의, 토론주소1=HuskyIrateUtopianPosition, 합의사항1=해당 토론의 #5를 토대로 작성하기)] 이차함수의 역함수는 하나의 양함수로 표현할 수 없다. 이차함수 자체가 [[일대일대응]]이 아니기 때문이다. 따라서 대칭축을 기준으로 두 부분으로 나누어 [[조각적 정의|조각적으로 정의]]하거나, [[다가 함수#리만 곡면|리만 곡면(Riemannsche Fläche)]]으로 [[해석적 연속|해석적 확장]]을 해야 한다. 각 부분에 대한 역함수는 [[무리함수]]가 된다. 이차함수 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]의 역함수를 구하자. [math(x)]와 [math(y)]의 자리를 바꾸고 표준형으로 바꾼다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=ay^2+by+c \\ &=a\left( y+\frac{b}{2a} \right)^2+\frac{4ac-b^2}{a} \end{aligned} )] }}} 위 식의 [math(y)]를 [math(x)]에 대하여 쓰면, || [math(\displaystyle \frac{1}{a}\left( x-\frac{4ac-b^2}{a} \right) =\left( y+\frac{b}{2a} \right)^2 \quad \to \quad y=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \sqrt{\frac{1}{a}\left(x- \frac{4ac-b^2}{4a} \right) } -\frac{b}{2a} & \left( y \geq -\dfrac{b}{2a} \right) \\ \\ \displaystyle -\sqrt{\frac{1}{a}\left(x- \frac{4ac-b^2}{4a} \right) } -\frac{b}{2a} &\left( y \leq -\dfrac{b}{2a} \right) \end{matrix}\right. )] || 따라서 각 함수는 무리함수 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} y=\pm \sqrt{\frac{x}{a}} \end{aligned} )] }}} 를 다음과 같이 평행이동하여 얻은 함수이다. * [math(x)]축 방향으로 [math(\dfrac{4ac-b^2}{4a})]만큼 * [math(y)]축 방향으로 [math(-\dfrac{b}{2a})]만큼 이에 따라 각각의 함수의 그래프의 꼭짓점은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle {\rm P'}\left( \dfrac{4ac-b^2}{4a},\, -\dfrac{b}{2a} \right) )] }}} 를 공유하게 되며 이는 명백히 이차함수 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]의 꼭짓점 [math({\rm P})]의 [math(y=x)]에 대한 대칭점이고, 각 함수의 그래프는 [math(l':y=-b/2a)]에 대칭이며, 이는 본 함수의 대칭축 [math(l:x=-b/2a)]의 [math(x=y)]에 대한 대칭이다. 한편, 무리함수의 특성상 함수의 정의역은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle x \geq \frac{4ac-b^2}{4a} )] }}} 이고, 역함수는 다음과 같이 쓸 수 있다. || [math(\displaystyle \left\{\begin{matrix} \displaystyle \sqrt{\frac{1}{a}\left(x- \frac{4ac-b^2}{4a} \right) } -\frac{b}{2a} & \left( y \geq -\dfrac{b}{2a} \right) &\;\cdots\;\small{①} \\ \\ \displaystyle -\sqrt{\frac{1}{a}\left(x- \frac{4ac-b^2}{4a} \right) } -\frac{b}{2a} & \left( y \leq -\dfrac{b}{2a} \right) &\;\cdots\;\small{②}\end{matrix}\right. )] || 아래의 그림은 [math(a>0)]일 때 이 문단의 내용을 요약한 것이다. [[파일:namu_2차함수+역함수_NEW.png|width=300&align=center]] 한편, 표준형 [math(f(x)=a(x-p)^2+q)]의 경우 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} ax^{2}+bx+c&=a\left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2}+\frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned} )] }}} 에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} p&=-\frac{b}{2a} \\ q&=\frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned} )] }}} 이므로 구하는 역함수는 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{cases}\begin{aligned}&\sqrt{\dfrac1a(x-q)}+p\quad(y\geq p)\\-&\sqrt{\dfrac1a(x-q)}+p\quad(y \leq p)\end{aligned}\end{cases})]}}} == [[도함수]] == 이차함수 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]의 도함수는 다음과 같은 [[일차함수]]이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle f'(x)=2ax+b)]}}} 일차함수는 [[일대일대응]]이므로, 일차함수의 그래프에서는 [math(x)]좌표가 다른데 [math(y)]좌표가 같아질 수 없다. 따라서 이를 도함수로 하는 이차함수의 그래프에서는 접선의 기울기가 같은 서로 다른 점이 존재하지 않는다. 모든 경우에 일대일대응인 [[다항함수]]는 일차함수뿐이므로, 접선의 기울기에 관한 이러한 특성 역시 다항함수 중에서는 [[이차함수]]만의 특성이다. == [[역도함수]] == 이차함수 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]의 역도함수는 다음과 같은 [[삼차함수]]이다. [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.[* 고등학교에서는 [math(C)]로 쓰는데, [math(\textsf{const.})]나 [math(C)]나 상수를 뜻하는 영단어 constant에서 온 것이다.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int f(x)\,{\rm d}x=\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx+\textsf{const.})]}}} == [[복소평면]] == 복소평면에서는 포물선이 아닌 [[선분]]이 된다. [math(b^2 - 4ac \geq 0)]일 경우 [math(\Im(x) = 0)]이므로 선분이 실수축 위에 있으며, [math(b^2 - 4ac < 0)]일 경우 선분이 실수축과 수직이다. 반면에, [math(\Im(a) \neq 0)]일 때[* 즉 이차항이 허수 계수인 경우] 영점의 배치가 실수축에 수직도 평행도 아니다. [[파일:안장점.png|width=300&align=center]] 옆에서 보면 [[프링글스]]나 [[안장]] 같은 형태([[쌍곡포물면]])가 되는데[* 이차함수 [math(f(x))]에 대해서 [math(\Re(f(x))=0)]이 되는 값과 [math(\Im(f(x))=0)]이 되는 값이 서로 [[편각]]이 반대이기 때문이다. [[허수]]의 정의를 생각하면 자명한 성질.], 이때 꼭짓점은 [[안장점]]이 된다. == 다변수[anchor(이차형식)] == 변수가 둘 이상인 경우에도 이차식으로 정의되는 함수를 생각할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} y &= \sum_{ij} a_{ij} x_i x_j + \sum_i b_i x_i + c \\&= {{\bf x}^t \boldsymbol{\mathsf{A}} {\bf x}} + {{\bf b}^t {\bf x} }+{\bf c} \quad ({\boldsymbol{\mathsf{A}} ^t} {\boldsymbol{\mathsf{A}} } \neq 0) \end{aligned})]}}} 이는 이차함수보다는 '''이차형식'''(quadratic form, [[二]][[次]][[形]][[式]])이라는 이름으로 많이 불리고, 오른쪽의 [[행렬]]과 [[벡터]]로 나타낸 표현이 흔히 쓰인다. [math(|\boldsymbol{\mathsf{A}} | \neq 0)], 즉 비퇴화(nondegenerate)이면 평행이동으로 [math(y={{\bf x}^t \boldsymbol{\mathsf{A}} x})]의 '기본형'으로 바꾸어 줄 수 있지만, 자주 쓰이는 개념은 아니다. 이차형식이 이차함수와 가장 다른 점은 단순히 볼록하거나 오목한 것뿐만이 아니라, 어디선 볼록하고 어디선 오목한 형태가 임계점에서 나올 수 있다는 것이다. 예를 들어 [math( y = x_1^2 - x_2^2 )] 등의 그래프를 그려보면 [[안장점|안장 같은 모양]]이 나온다. [[선형대수학]]에서 대칭 행렬을 직교[[대각화]]하면 이런 이차형식의 그래프 개형을 완벽히 분류할 수 있다. 곡면의 곡률을 설명할 때는 곡률을 이차형식으로 변환하여 계산한다. === 2변수와 3변수의 행렬 표현법 === 2변수 이차형식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} y &= \sum_{ij}^{2} a_{ij} x_i x_j\\&= a_{11} x_1^2+a_{22}x_2^{2}+(a_{12}+a_{21})x_1x_2\end{aligned})]}}} 을 [[대칭행렬]]로 표현하면 다음과 같이 정의된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\mathsf{A}=\begin{pmatrix}a_{11} & \displaystyle \frac{a_{12}+a_{21}}{2} \\ \displaystyle \frac{a_{12}+a_{21}}{2} & a_{22}\end{pmatrix} \qquad \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} )] }}} 3변수 이차형식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} y &= \sum_{ij}^{3} a_{ij} x_i x_j\\&= a_{11} x_1^2+a_{22}x_2^{2}+a_{33}x_3^{2}+(a_{12}+a_{21})x_1x_2+(a_{13}+a_{31})x_1x_3+(a_{23}+a_{32})x_2x_3\end{aligned})]}}} 을 [[대칭행렬]]로 표현하면 다음과 같이 정의된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\mathsf{A}=\begin{pmatrix}a_{11} & \displaystyle \frac{a_{12}+a_{21}}{2} & \displaystyle \frac{a_{13}+a_{31}}{2} \\\\ \displaystyle \frac{a_{12}+a_{21}}{2} & a_{22} & \displaystyle \frac{a_{23}+a_{32}}{2} \\\\ \displaystyle \frac{a_{13}+a_{31}}{2} & \displaystyle \frac{a_{23}+a_{32}}{2} & a_{33} \end{pmatrix} \qquad \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} )] }}} == 이차함수 문제 == 중3-고1 과정의 문제만 서술한다. 따라서 극한, 미분에서의 이차함수 문제는 서술하지 않는다. === 기본문제 === ==== 이차함수인 함수식 찾기 ==== 이차함수의 함수식인 것을 찾는 유형이다. 매우 쉬운 유형으로 시험에서 주로 상위번호 1-2번에 출제되며, 배점도 3점으로 낮은 편이다. 식이 주어지는 경우와 식을 만들어서 풀어야 하는 유형 2가지가 있다. ==== 이차함수의 항의 부호와 그래프 ==== 이차함수에서 항의 부호를 조사하여 그래프의 개형을 유추하는 유형이다. 쉬운 문제는 배점이 4점으로 높지 않으나, 어려운 문제는 배점이 5점으로 높다. {{{#!folding [예제] ----- ||
<#ffffff> [[파일:2020년 고1 3월 모의고사 수학.png|width=100%]] || || '''2020년 고1 3월 모의고사 14번''' || }}} ==== 이차함수의 그래프가 지나는 점을 이용하여 미지수 찾기 ==== 이차함수의 그래프가 지나는 점을 함수식에 대입하여 미지수의 값을 구하는 유형이다. 매우 쉬운 축에 속하는 유형이다. ==== 이차함수의 최댓값·최솟값 구하기 ==== 이차함수의 최대·최소에 대한 유형이다. 최댓값·최솟값을 구하는 아주 기본적인 문제부터 정해진 범위 내에서 최댓값·최솟값 구하기, 최댓값·최솟값이 주어지고 미지수를 구하는 유형 등 여러 가지가 존재한다. 대체로 쉬운 유형이나, 심화하면 얼마든지 어려워질 수 있다. === 응용문제 === ==== 그래프 해석 ==== 미정계수의 범위가 주어질 때 그래프의 개형을 파악하는 문제가 주로 출제된다. 쉬운 유형은 배점이 3-4점이나, 어려운 유형은 배점이 5점으로 높은 경우도 있다. ==== 이차함수의 최대/최소의 활용 ==== 변수를 [math(x)]로 설정하고 이에 따른 결과를 [math(y)]로 설정한 후 이차함수식을 세워 최댓값/최솟값을 구한다. 도형에 활용하는 문제가 많다. 쉬운 유형은 1분 만에 돌파할 수 있으나, 어려운 유형은 풀이에 10분 이상 걸릴 수도 있다. {{{#!folding [예제] ----- ||<#fff>
[[파일:2021년 고1 9월 모의고사 수학.png|width=100%]] || || '''2021년 고1 9월 모의고사 16번''' || }}} ==== 이차함수와 직선의 위치관계 ==== 이차함수와 직선을 연립한 이차방정식의 판별식 [math(D)]에 대하여 [math(D>0)]이면 서로 다른 두 점에서 만나고, [math(D=0)]이면 접하고, [math(D<0)]이면 만나지 않는다는 성질을 이용한 여러 가지 문제가 출제되며, 심화하면 '''매우 어렵다.''' 방심하지 말고 열심히 연습하자. 정말 중요한 영역이다. ==== 이차함수의 그래프에 내접하는 도형의 넓이 구하기 ==== ===== 삼각형 ===== 이차함수의 그래프에서 꼭짓점, [math(x)]절편, [math(y)]절편을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하는 유형이다. 이미 중2 일차함수에서 비슷하게 다뤄본 유형이라 나쁘지 않으며, 기본에 충실하면 어렵지 않게 풀 수 있다.[* 그러나 단순히 도형의 넓이를 물어보는 유형이 아닌 닮음, 무게중심 등과 융합되면 상당히 어렵다. 실제 인천의 모 중학교에서 이차함수의 그래프에 내접하는 삼각형의 넓이, 무게중심, 닮음을 융합하여 킬러문제를 출제하였다.] ===== 사각형 ===== 이차함수의 그래프에 내접하는 [[사다리꼴]], [[평행사변형]], 일반 사각형의 넓이를 구하는 유형은 어렵지 않은 유형이고 삼각형 넓이 문제와 유사하게 풀이하면 된다. 시험에서도 배점이 4점으로 높지 않은 편이다. 정사각형, 직사각형의 넓이를 구하는 문제는 좌표를 미지수로 설정한 후 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같음을 이용하고, 직사각형은 문제에서 주어진 가로/세로의 길이의 비 또는 둘레의 길이를 이용하여 미지수에 대한 [[이차방정식]]을 세우고 이를 풀어야 한다. 그리고 네 점의 좌표를 구한 후 넓이를 구하면 된다. 이 유형은 중학교 시험에서는 배점이 5점으로 높은 편이지만, 고등학교 시험에서는 배점이 4점으로 높지 않은 편이다. == 각종 공식 == 어떤 함수가 이차함수임(일 수 있음)을 알려주는 단서, 이차함수의 그래프의 거리, 이차함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이, 그래프 속 길이와 넓이의 관계 등 각종 공식은 [[다항함수/추론 및 공식]] 참고. == 기타 == * 대한민국 수학 교육과정상 중학교 3학년 1학기 끝날 즈음에 처음 배우게 된다. 이후 2학기 초반에 배우다가 [[삼각비]]로 넘어간다. * [[정수론]]에서는 [[2차 잉여]]라는 이름으로 이차함수를 다룬다. * 사인함수 및 코사인함수를 취하고 적분하면, [[프레넬 적분 함수]]를 얻을 수 있다. * '''이차'''함수이지만 영어 표기가 '''quadratic''' function이라 사차함수(quartic function)와 헷갈리기 쉽다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[초등함수]] * [[일차함수]] * [[삼차함수]] * [[사차함수]] * [[무리함수]] * [[이차방정식]] * [[2차 잉여]] * --[[정예학원온라인]]-- [[분류:해석학(수학)]][[분류:초등함수]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]