[[분류:대수학]][[분류:정수론]]
[include(틀:대수학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 rational root theorem · [[有]][[理]][[根]] [[定]][[理]]}}}

임의의 [[정수]] 계수 다항[[방정식]]의 [[유리수]] [[해#s-3.2]]를 찾는 방법이다. 
== 상세 ==
다항방정식 [math(a_1x^n + a_2x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+{\sf const.} =0)]에 대해서 최고차항 계수와 상수항에 대한 [[부정방정식]]
||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\pm \dfrac{d_{\sf const.} | {\sf const.}}{d_{a_1} | a_1})] ||
의 해 [[집합]] 중에 원래 방정식의 해가 있을 수 있다는 정리이다. 즉 최고차항 계수의 [[약수(수학)|약수]]와 상수항의 약수의 몫으로 방정식의 유리수 해를 찾을 수 있음을 뜻한다. 여기서 갑자기 부정방정식의 집합이 왜 나오냐는 질문이 나올 수도 있는데 정확히는 단순히 정수 계수 방정식 뿐만 아니라 [[유일인수분해환]]의 원소를 계수로 가지는 다항식환에 대해 적용되기 때문이다.

그러나 [[대수학]]의 관점에서는 이질적인 정리인데, 초등적 증명[* 대수학만 써서 하는 증명]이 아닌 [[정수론]]적 방법으로 유도되는 정리이고, '해가 있을 수 있다'는 것에서 볼 수 있듯 '''유리수 해가 있음을 보장하지는 않는다'''는 맹점이 있다. 그리고 원래 방정식의 해인지를 확인하는 방법이라는 것조차 [[예상과 확인|일일이 부정방정식으로 도출한 집합의 원소를 하나하나씩 대입시키는 것]]이 고작이다.
== 증명 ==
[math(\pm \dfrac{d_{\sf const.} | {\sf const.}}{d_{a_1} | a_1})]이 아닌 해가 존재한다면, 이를 [math(\dfrac q{p})]([math(p,q)]는 서로소인 정수, [math(p,q \ne 0)][* [math({\sf const.})]가 0이 아니라면 [math(x=0)]은 trivial solution이므로 해가 될 수 없지만 만에 하나의 오해를 피하기 위해 조건으로 달아둔다.])라 하자. [math((px-q))]는 다항식의 인수이다. 여기서 다항식에 [math(p^n=K)]를 곱해 [math(Ka_1x^n+Ka_2x^{n-1}+\cdots+Ka_{n-1}x+KC=0)]이라 한 후 [math((px-q)(p^{n-1} a_1x^{n-1}+...+C'))]의 정수다항식으로 인수분해를 할 수 있다. 그런데 이에 따르면 [math(-qC'=KC)]이지만, [math(q)]는 [math(KC)]의 약수이므로 전제에 모순.