[include(틀:다른 뜻1, other1=물리학에서의 위상 공간, rd1=위상 공간(물리학))]
[include(틀:기하학·위상수학)]

[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[位]][[相]][[空]][[間]] / topological space}}}

위상 공간은 [[위상수학]]에서 다루는 대상으로, [[집합]]만 주어지면 만들 수 있는 아주 일반적인 개념이다.[* 심지어 소수의 무한성에 대한 위상수학적 증명이 있을 정도이다.] 그러나 실제로 응용할 때에는, 여러 가지 [[공리]]들을 더 추가하여 쓴다. 달리 말해, 최소한의 공리만으로는 아주 쓸모 없다.
== 정의 ==
집합 [math(X)]의 부분집합들의 모임 [math(\mathcal{T})]가 다음의 공리들을 만족할 때, 이를 위상공간이라고 한다.

> * [math(\emptyset,\,X\in \mathcal{T})]
> * [math(\left\{A_{\alpha}:\alpha\in I\right\}\subset \mathcal{T})]에 대해, [math({\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}}\in \mathcal{T})]
> * [math(A,\,B\in \mathcal{T})]에 대해, [math(A\cap B\in \mathcal{T})]이다.
→세번째 조건은 이렇게 바꿀 수도 있다.
> * 임의의 유한개[* 유한개라는 조건이 중요한데, 해당 조건을 무한개로 확장시에는 교집합이나 합집합이 반드시 열린집합이라는 보장이 없다[* 실해석학 정리인 축소구간정리와 비슷한 예시를 들면 보통위상이 주어진 실수 상의 좋은 예시가 된다. 단, 축소구간정리는 폐구간열에서 성립하는 정리이므로 개구간에서 성립하려면 구간 좌측은 반드시 강단조증가, 우측은 반드시 강단조감소해서 좌측의 최대하계와 우측의 최소상계가 모든 구간에서 내점에 포함되어야 한다. 예를 들어서 보통위상공간에 대하여 [math(A_{n}=\displaystyle\left(1-\frac{1}{2^{n}}, 1+\frac{1}{2^{n}}\right))]라고 하자. 그러면 [math(\displaystyle \bigcap_{i \in \mathbb{N}}A_{i}=\{1\})]가 되어 열린집합이 아니게 된다. 이게 성립하는 이유는, [math(a_n<a_{n+1}<b_{n+1}<b_n)]라는 조건 하에서, [math(\displaystyle \bigcap_{\alpha\in I}\left(a_n, b_n\right)=\bigcap_{\alpha\in I}\overline{\left(a_n, b_n\right)}=\bigcap_{\alpha\in I}\left[a_n, b_n\right])]이 되기 때문이다.]. 따라서 '''임의의 유한개'''라는 조건이 반드시 붙어야 한다.]의 [math(A_{\alpha}\in\mathcal{T}\left(\alpha\in\left\{1,2,3,...,m\right\}\right))]에 대하여, [math({\displaystyle \bigcap_{\alpha=1}^{m}A_{\alpha}\in\mathcal{T}})]

예를 들어, 집합 [math(X)]에 대해,
 * [math(\left\{\emptyset,X\right\})]은 위상 공간이다.이 위상 공간을 비이산 위상(Indiscrete topology)이라고 한다.

 * [math(X)]의 부분집합을 모두 모으면 위상 공간이다. 이 위상 공간을 이산 위상(Discrete topology)이라고 한다.

여기서 [math(\mathcal{T})]를 위상 또는 위상 구조(topology[* 영어로 보면 '위상수학'과 같은 단어이다. 이는 'geometry'라고 했을 때 '기하학'이라는 학문을 의미하기도 하지만 '기하학적 형태'를 의미하기도 하는 점을 생각하면 된다.])이라 한다. 그리고 [math(\mathcal{T})]의 원소들을 열린 집합(open set)이라 한다. 그리고 [math(U\in \mathcal{T})]에 대해, [math(U^{c})]를 닫힌 집합(closed set)이라 한다. 즉, 위상공간이란 임의의 전체집합에서의 열린 집합의 정의이며, 실수를 넘어 어떤 집합에서든 열린집합을 정의할 수 있도록 하는 도구로 생각하면 된다. 

주의할 것은 열린 집합인 동시에 닫힌 집합(= '''열린닫힌집합''', clopen set)일 수도 있고 열린 집합도 아니고 닫힌 집합이 아닐 수도 있다. 예를 들면 정의상 [[전체집합]]과 [[공집합]]은 항상 열린 집합인 동시에 닫힌 열린닫힌집합(clopen set) 이고, [[실직선]]에서의 보편적인 위상에 대해 [0,1)은 열려 있지도 닫혀 있지도 않은 집합이다.

[[해석학(수학)|해석학]]의 열린 집합, 닫힌 집합 개념은 [[위상수학]]에서의 열린 집합, 닫힌 집합의 특수한 경우이므로, 비교해보는 것이 위상 공간의 개념과 여러 공리들의 이해에 도움이 될 수 있다. 다만, 해석학에서 다루는 [[실수]] 공간은 조건이 너무 좋은 위상 공간이라서 서로 다른 개념을 구분하는 것에는 실패할 수도 있다.
== 기저와 부분기저 ==
[math(X)]의 부분 집합들의 모임 [math(\mathcal{B})]가 기저(basis)라 함은 다음을 만족하는 것이다.

> * [math(\bigcup \mathcal{B}=X)]
> * [math(U,\,V\in \mathcal{B})], [math(a\in U\cap V)]에 대해 [math(W\in \mathcal{B})]가 존재하여 [math(a\in W\subset U\cap V)]이다.

이는 다음과 동치이다. 이 정의가 보통의 기저의 정의와 직관적으로 더 유사하기에 이를 정의로 쓰기도 한다.

> * [math(\mathcal{T}=\left\{\bigcup \mathcal{U}:\mathcal{U}\subset \mathcal{B} \right\})][* [math(\bigcup \mathcal{U}=\bigcup_{W\in \mathcal{U}} W)]. [math(\mathcal{U})]의 모든 원소들의 합집합.]가 위상이다.

[math(X)]의 부분 집합들의 모임 [math(\mathcal{S})]가 부분기저(subbasis)라 함은 다음을 만족하는 것이다.
> * [math(\left\{{\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}}U_{i}:U_{i}\in \mathcal{S}\right\})]가 기저이다.

부분기저가 주어지면 유한 교집합을 통해, 기저를 만들고 기저의 임의의 합집합을 통해 위상을 만들 수 있다.

실수의 보통 위상은 [math(\left\{ \left(a,\, b\right):a<b\right\} )]을 기저로 갖고, [math(\left\{ \left(a,\,+\infty\right):a\in R\right\} \cup\left\{ \left(-\infty,\, a\right):a\in R\right\} )]을 부분기저로 갖는다.

"임의의 열린 집합"이란 말을 "기저의 임의의 원소"로 바꿔도 성립한다. 부분기저로는 수렴과 연속 정도만 판정할 수 있다. 이 때문에 기저와 부분기저 개념이 의미가 있는 것이다.
== 연속함수 ==
위상 공간 [math(X, Y)]와 함수 [math(f:X\to Y)]에 대해 임의의 [math(Y)]의 열린 집합 [math(U)]의 역상(inverse image)이 [math(X)]의 열린 집합일 때, [math(f)]를 [[연속함수]]라고 한다. [[엡실론-델타 논법|[math(ε-δ)] 논법]]을 이용한 [[실수]]에서 실수로의 연속성의 정의는 위의 정의의 특수한 경우라는 것을 쉽게 알 수 있다. 

=== 위상동형사상(Homeomorphism) ===
위상 공간 [math(X, Y)]가 위상동형사상 관계(homeomorphic)에 있다는 것은 [math(f:X\to Y)]가 존재하여 아래의 조건들을 만족한다는 것이며 이 때 함수 [math(f)]를 위상동형사상이라 한다.

> * [math(f)]가 전단사(bijection)
> * [math(f)]가 연속함수
> * [math(f^{-1})]가 연속함수

[[연속함수]]가 열린 집합의 역상을 열린함수로 보내는 함수이므로 위상동형사상은 함수 자신과 그 역함수가 모두 열린 집합을 열린 집합으로 보내고 이는 닫힌 집합에 대해서도 마찬가지다. 

이 때문에 [math(X)]와 [math(Y)]의 열린 집합 사이에도 일대일대응이 생기게 되고 X와 Y는 열린 집합을 바탕으로 정의되는 모든 위상적 성질이 완전히 동일한 대상이 되는 것이다. 따라서 어떤 두 위상공간이 위상동형관계에 있다는 것을 보일 수 있다면 한 쪽에 대해서 분석함으로서 반대 쪽에 대해 완벽히 같은 사실이 성립한다는 사실을 할 수 있다. 

흔히 [[도넛]]과 손잡이 달린 [[컵]]이 [[찰흙]]으로 --쪼물딱쪼물딱해서--찌그러트리면 같아진다는 것은 둘이 이 위상동형관계에 있다는 사실을 의미한다. 

== 내부, 폐포, 경계, 극한점 ==
부분 집합 [math(A\subset X)]에 대해 다음을 다음과 같이 정의한다. 위상이 [math(\mathcal{T})]로 주어졌다고 하자.

 * '''내부(interior)'''[br][math(A^{\circ}:=\bigcup\left\{ U\in \mathcal{T}:U\subset A\right\})][br]위상공간의 정의에 따라서 이는 열린 집합이다. 그리고, 이는 [math(A)]에 포함되는 열린 부분집합 중 가장 큰 것이다. 정의에 따라서, [math(a\in A^{\circ}\leftrightarrow \exists a\in U\in \mathcal{T} \quad U\subset A)]이다. [math(a\in A^{\circ})]를 __'''내점'''__이라 한다.[br]책에 따라 [math(\mathrm{Int}A)]라는 표기를 쓰기도 한다.
  * '''외부(Exterior)'''[br][math(\mathrm{ext}A:=\bigcup\left\{ U\in \mathcal{T}:U\subset A^{c}\right\})][br][math(\mathrm{ext}A)]라고 표현하며, ''''[math(A)]의 여집합'의 내부([math(=\left(A^{c}\right)^{\circ})])'''로 정의된다. 즉 [math(a\in \mathrm{ext}A\leftrightarrow \exists a\in U\in \mathcal{T} \quad U\subset A^{c})]

 * '''폐포(closure)'''[br][math(\overline{A}:=\bigcap\left\{ F\supset_{\text{closed}}A\right\} )][br]위상공간의 정의에 따라서 이는 닫힌 집합이다. 그리고, 이는 [math(A)]를 포함하는 닫힌 집합(supserset) 중 가장 작은 것이다. 정의에 따라서, [math(a\in \overline{A}\leftrightarrow \forall a\in F\subset_{\text{closed}} \quad F\cap A\ne \emptyset)]이다.

 * '''경계(boundary)'''[br][math(\partial A:=\left\{ a\in X:\forall U\in \mathcal{T}, a\in U,U\cap A\ne\emptyset,\, U\cap A^{c}\ne\emptyset\right\} )][* 왜 편미분 연산 기호인 [math(\partial)]을 사용했는지는, 스토크스 정리(Stokes' theorem)을 통해 알 수 있다.][br]책에 따라서는 [math(\mathrm{b}A)]라고 표현하기도 한다. '''내부'''와 '''외부''', 그리고 '''경계'''는 전체집합을 [[분할]]한다.
 즉 [math(A^{\circ}\cup \mathrm{ext}A \cup \partial A = X)]이며 [math(A^{\circ}\cap\partial A = \mathrm{ext}A \cap \partial A = \partial A \cap A^{\circ} = \emptyset)]

 * ''' 집적점(accumulation point), 극한점(limit point), 폐포점(closure point)'''
 임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 κ개 이상의 점들을 공유하는 점이다.
 [math(x)]가 [math(A)]의 집적점이라 함은 [math(x)]를 포함하는 임의의 열린집합 [math(U)]에 대하여 [math((U- \left\{ x \right\})\cap A\ne \emptyset )]를 만족하는 것이다. 
 그 때, κ=2가 되는 2-집적점이 '''극한점'''이고, κ=1이 되는 1-집적점이 '''폐포점'''이다.

 * '''유도집합(derived set)''' : 극한점(limit point, accumulation point)들의 모임[br][math(A':=\left\{ a\in X:\forall U\in \mathcal{T}\quad\left\{ a\right\} \subsetneq U\cap A\right\} )]

다음의 성질들이 성립한다.

> * [math(\overline{A}^{c}=\left(A^{c}\right)^{\circ})]
> * [math(\overline{\overline{A}}=\overline{A})]
> * [math(\left(A^{\circ}\right)^{\circ}=A^{\circ})]
> * [math(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B})]
> * [math(\overline{A\cap B}\subset\overline{A}\cap\overline{B})][br][math(\overline{\left(0,\,1\right)\cap \left(1,\,2\right)}=\emptyset \subsetneq\left\{1\right\}=\overline{\left(0,\,1\right)}\cap\overline{\left(1,\,2\right)})][* 단, 여기서의 위상은 보통위상이다. 이산위상이라면 자명하게 다음이 성립하게 된다.[br][math(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cap\overline{B})][br][math(\overline{\left(0,\,1\right)\cap \left(1,\,2\right)}=\emptyset=\overline{\left(0,\,1\right)}\cap\overline{\left(1,\,2\right)})][br]이산위상은 모든 집합이 열린집합이면서 닫힌집합이기 때문에 모든 집합의 폐포가 자기 자신이 되어 발생하는 차이.]
> * [math(\bigcup\overline{A_{\alpha}}\subset\overline{\bigcup A_{\alpha}})][br][math({\displaystyle \bigcup_{n\in N}}\overline{\left[n^{-1},\,1\right]}=\left(0,\,1\right]\subsetneq\left[0,1\right]=\overline{{\displaystyle \bigcup_{n\in N}}\left[n^{-1},\,1\right]})]
> * [math(A^{\circ}\cap\partial A=\emptyset, \overline{A}=A^{\circ}\cup\partial A)]
> * [math(\partial A=\emptyset\leftrightarrow\overline{A}=A=A^{\circ})]
== 곱공간 ==
위상 공간들의 모임 [math(\left\{X_{\alpha}:\alpha\in I\right\})]를 생각하자. [math(\left\{X_{\alpha}\right\})]의 위상을 보존하면서 [math({\displaystyle \prod_{\alpha\in I}})]에 줄 수 있는 위상은 두 가지가 있다.

사영함수(projection) [math(\pi_{\beta}:{\displaystyle \prod_{\alpha\in I}}X_{\alpha}\to X_{\beta})]를 [math(\pi_{\beta}\left(\left(x_{\alpha}\right)_{\alpha\in I}\right)=x_{\beta})]로 정의한다. 

> * 상자 위상[br][math(\left\{ \prod U_{\alpha}:U_{\alpha}\subset_{\text{open}}X_{\alpha}\right\} )]를 기저로 하는 위상.

> * 곱위상[br][math(\left\{ \pi_{\alpha}^{-1}\left(U_{\alpha}\right):U_{\alpha}\subset_{\text{open}}X_{\alpha}\right\} )]를 부분기저로 하는 위상.

곱위상은 [math(\pi_{\beta})]를 연속함수로 만드는 가장 약한 위상이다.

위상공간의 유한곱에서는 곱 위상과 상자 위상이 같다. 그러나 무한곱에서는 그렇지 않고, 상자 위상이 더 고운(finer) 위상이다. 예를 들어, [math(R^{\omega})]의 부분집합 [math({\displaystyle \prod_{i\in N}}\left(0,1\right))]은 상자 위상에서 열린 집합이지만, 곱 위상에서는 그렇지 않다.

== 공리 ==
최소한의 공리에 분리성, 가산성(counterablity), 콤팩트성(compactness)에 대한 공리들을 추가하여 더 좋은 공간을 구분해보자. [math(X)]의 위상이 [math(T)]로 주어졌다고 하자.

=== [[분리공리]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=분리공리)]

=== 가산성 공리들 ===

==== 제1가산 공리 ====
'''제1가산 공간(first-countable space)'''이라 함은 다음을 만족하는 것이다.
>모든 점에서 가산국소기저를 갖는다.

==== 제2가산 공리 ====
'''제2가산 공간(second-countable space)'''이라 함은 다음을 만족하는 것이다.
>가산기저를 갖는다.

==== 린델뢰프의 공리 ====
'''린델뢰프 공간(Lindelöf space)'''이라 함은 다음을 만족하는 것이다. 
> 모든 열린 덮개(open cover)는 가산 부분덮개를 갖는다.
==== 분리 가능성 공리 ====
[math(X)]가 '''분리 가능 공간(separable space)'''라 함은 다음을 만족하는 것이다.
>'''가산''' 부분집합 [math(D\subset X)]가 존재하여[math(\overline{D}=X)]

"분리 가능"이란 말이 좀 의아할 수 있는데, 연결공간이 아니라는 말이 아니므로 주의해야 한다. Munkres 저 위상수학에서도 "안타까운 용어 선택"(an unfortunate choice of terminology)이라 평한 바 있다.
=== 콤팩트성의 변형 공리들 ===

==== [[콤팩트성|콤팩트(Compact)]] ====
콤팩트 집합은 임의의 열린덮개가 '''유한''' 부분 열린덮개를 가지는 집합이다. 유한성 조건은, 열린 집합들의 유한 교집합이 열린 집합이라는 공리와 함께 쓰이는 경우가 많다.
>[math(X)]의 위상이 [math(T)]로 주어졌다고 하자. [math(K\subset X)]가 콤팩트 집합라 함은 다음을 만족하는 것이다. [math(O\subset T)]가 [math(K\subset\bigcup O)]라 면, [math(O)]의 '''유한''' 부분집합 [math(O')]이 존재하여 [math(K\subset\bigcup O')]이다.
콤팩트 공간은, 자신이 콤팩트 집합인 공간이다.
>[math(X)]가 콤팩트 집합일 때, [math(X)]는 콤팩트 공간이라 한다.

===== 관련된 정리들 =====
 * 르베그 수 보조정리(Lebesgue number lemma)
>콤팩트 거리 공간 [math(X)]의 임의의 열린덮개 [math(O)]에 대해, [math(\delta>0)][* 이를 르베그 수라 한다.]이 존재하여 임의의 부분집합 [math(S\subset X)]의 직경[* [math(\text{diam}\left(S\right):=\sup\left\{ d\left(x,\, y\right):x,\, y\in X\right\} )]으로 정의한다. 여기서 [math(d)]는 거리함수이다. 간단히 말해서 집합 X의 두 점을 임의로 추출했을 때, 그 두 점이 가질 수 있는 최대거리의 상한을 의미. 참고로 위상 공간 상에서의 유계집합의 정의도 이 직경이 유한한 값을 가진다. 로 정의된다.]이 [math(\delta)]보다 작으면 [math(U\in O)]가 존재하여 [math(S\subset U)]이다.

==== 점렬 콤팩트(sequentially compact) ====
>임의의 수열은 수렴하는 부분열을 갖는다.

==== 극한점 콤팩트(limit point compact) ====
>임의의 무한집합 [math(A\subset X)]는 극한점을 갖는다.

==== 국소 콤팩트(locally compact) ====
 * 점에서의 국소 콤팩트
>[math(p\in X)]에서의 국소 콤팩트성[br]열린 집합 [math(U)], 콤팩트 집합 [math(K)]가 존재하여 [math(p\in U\subset K)]이다.
 * 전체에서의 국소 콤팩트
>임의의 [math(p\in X)]에서 국소 콤팩트면, [math(X)]는 국소 콤팩트이다.

==== 관련된 정리들 ====
 * 하우스도르프 국소 콤팩트 공간에 한 점 [math(\infty)]을 추가하여 위상을 적절히 주면, 하우스도르프 콤팩트 공간이 되고 기존의 공간을 부분공간으로 갖는다. 이를 한점 콤팩트화(one point compactification)이라 한다. 이때 적절한 위상이란, 국소 콤팩트 공간(locally compact space)를 [math(X)]라고 두면, 임의의 점 [math(p)]를 추가해 [math(Y = X \cup \{p\})]라고 두자. 
 
 이때, [math(Y)] 공간의 위상을 
 > (1) [math(X)]에서 열린 집합 
 > (2) [math(p)]를 포함하는 임의의 집합 [math(Z)]에서, [math(Y\setminus Z)] 가 [math(X)]에서 콤팩트한 집합
 으로 주자. 
 
 이때 [math(Y)]를 [math(X)]의 한 점 콤팩트화(one-point compactification of X)라고 하며, 이 공간은 자명하게 콤팩트하다.[* 임의의 열린 덮개에 대해서 [math(p)]를 포함하는 열린집합을 아무거나 하나 잡으면, 남은 집합이 콤팩트이므로 이걸 유한 덮개로 삼으면 증명이 끝난다]

간단한 예를 들어, 실수공간에서 한 점을 추가하면 그 공간은 2차원 공간에서의 단위원([math(S_{1}, x^{2}+y^{2}=1)]) 과 위상동형(homeomorphic)이다. 

아주 직관적으로는 R이랑 open interval이랑 같은데 그 open interval을 고리모양으로 원처럼 말아넣고, 끝에 한점 찍어서 원으로 만드는거랑 비슷하다. 비슷하게, 2차원 실수공간은 3차원 공간에서 단위구와 동치이며, 모든 n에 대해 그 성질이 성립한다. 대충, n+1차원 공간에서 (0,0,...,0,1)에서 n차원 공간으로 n+1차원 구면상의 자기자신을 제외한 다른 점과 직선으로 연결한 다음에, 그 점 끝이 n차원 공간과 만나는 지점을 잡아주면 homeomorphism을 잡을 수 있다. 그니까, n차원 공간의 모든 무한대를 하나로 묶어서 n+1차원으로 만든 셈. stereographic projection을 구글링해보면 더 자세한 이야기를 들을 수 있다.

compact하지 않은 공간을 compact하게 만드는 방법에는 이외에도 여러 가지가 있다. one point는 그 중 minimal 한 방법으로, 최소한의 점을 추가해 공간을 compact하게 만드는 것. 이외에도, Stone - Cech compactification 등 여러 가지 정리가 있다.

 * 거리 공간에서 콤팩트성, 점렬 콤팩트성, 극한점 콤팩트성은 모두 동치이다. 거리공간이 아닌 경우 반례가 종종 성립하는데, 위상수학을 공부하는 학생이라면 이 반례들을 제대로 외워두길 바란다. 보통 자주 나오는 예시는, I^I(I = [0,1] 에 대해 I로 product를 건 것, 즉, f : [0,1] → [0,1] 인 함수공간, topology는 product topology) 와 같은 것들이다.

=== 포함 관계 ===

== [[연결 공간]] ==
[include(틀:상세 내용, 문서명=연결 공간)]

== 예시 ==
단순히 '위상 공간'이라는 것만으로 다룰 수 있는 것들은 한정되어 있다. 그렇기 때문에 조금 더 특수하고 추가적인 구조를 가지고 있는 예시들이 자주 쓰인다.

=== 거리 공간 ===
집합 [math(X)]의 [[삼각부등식#s-2|거리함수]] [math(d)]를 생각하자. [math(x\in X)], 실수 [math(r>0)]에 대해 [math(B_{r}\left(x\right)=\left\{ y\in X| d\left(x,y\right)<r\right\} )]라 할 때 [math(B_{r}\left(x\right))]들의 집합을 부분기저로 하는 위상 공간을 거리 공간(metric space)이라 한다[* 정확하게는 거리함수로 주어진 부분기저로 생성한 위상이, 원래 공간의 위상과 동치인 공간을 의미한다.]. 거리 공간은 아주 좋은 공간인데 모든 거리 공간은 [math(\text{T}_{4})]이며 거리 공간에서는 가산 콤팩트(countable compact)와 콤팩트가 동치이다.[* 일반적으로는 콤팩트이면 가산 콤팩트임만 성립한다] 또한 콤팩트와 완전유계이며 완비인 것이 동치이다.

반대로, 위상이 정해지면 어떤 공간의 거리를 부여할 수 있기도 하다. 대표적인 예로, 정칙 공간이며 제2가산 공간이면 거리를 부여할 수 있다는, [[우리손 거리화정리]]가 있다. 거리를 부여하는 방법은, 그다지 직관적이지는 않다. countable basis를 가지므로 각각에서 점 하나를 고른 뒤, x1,x2,... 로 순서를 붙인 후 같은 basis에 포함되느냐, 아니냐로 거리를 결정하는 방식.

이외에도, sminorv metrization theroem 등 여러 가지의 거리화 정리가 있다.

=== [[다양체]] ===
국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 공간을 [[다양체|다양체(manifold)]]라 한다. 여기 위상수학적인 성질[* 위상 [math(\mathcal{T})]만 주어지면 기술할 수 있는 성질. 분리 공리, 콤팩트, 연결성 등과 같이 "열린 집합이 어쩌고~"하는 말로 정의가 되는 성질들을 말한다.]뿐만 아니라 미분구조까지 주게 되면 미분다양체가 된다.

유클리드 공간은 위상 공간이며 그 중에서도 거리 공간이고, 동시에 미분다양체이다.

다양체에 관한 자세한 설명은 [[다양체|해당 항목]] 참조.

=== 위상군 ===
위상 공간에 대수적 구조까지 주게 되면 위상군이 된다. 구체적으로 말하면, 위상공간 [math(X)]가 군이고, 이항연산 [math(\cdot : X\times X\to X)]와 역원 [math(^{-1} : X\to X)]가 연속함수일 때 [math(X)]를 위상군(topological group)이라 한다. [math(X)]가 미분다양체이기까지 하면 리군이 된다.

=== 함수 공간 ===
위상 공간 [math(X, Y)]가 있을 때, [math(X)]에서 [math(Y)]로 가는 함수들의 집합 또한 위상 공간으로 다룰 수 있다.

[[분류:위상수학]]