[목차] == 개요 == 외적(外積)은 두 [[벡터]]의 곱에 관한 수학적 용어이다. 우리나라에서는 두 가지의 '''다른''' 개념을 모두 '''외적'''이라는 동일한 표현으로 사용하고 있다.[* 고등학교 과정에서는 2번 항목의 cross product라는 의미로 외적을 사용한다.] 그래서 외적이라는 용어를 보면 우선 어느 뜻으로 사용된 것인지 확실히 확인하는 게 좋다. 수식 표기로는 둘을 쉽게 구분할 수 있다. 벡터곱은 [math(\mathbf{x} \times \mathbf{y})]로 표기하는 반면 외적은 [math(\mathbf{x} \otimes \mathbf{y})]로 표기한다. 영문명인 cross product를 직역해 '가위곱'이라고도 하거나, 절반만 번역해서 '크로스곱'이라고 하는 경우도 많다. 아니면 연산 결과 다시 벡터가 나온다는 점을 이용해 '벡터곱'이라고도 부른다. == 벡터곱(cross product) == 벡터곱(cross product)은 3차원 유클리드 공간에서 정의된 쌍선형 함수의 일종이다. 현행 고교 교육과정 기준으로 교과서에 포함되어 있지는 않으나 보습학원에서 [[코시-슈바르츠 부등식]] 등과 더불어 교과외 과정으로서 배우는 경우가 많다. 스칼라곱과는 달리 결과값은 [[벡터]]가 된다. 두 벡터 [math(a)], [math(b)]의 벡터곱 [math(a \times b)]의 크기는 [math( |a| |b|\sin \theta)]이고([math(\theta)]는 [math(a)], [math(b)]가 이루는 각의 크기), 방향은 [math(a)], [math(b)]에 모두 수직이다. 유클리드 공간에서의 [[내적]]에 해당하는 '스칼라곱'을 단순히 '내적'이라고만 부르는 경우가 많고, 이것과 대조적이라는 의미로 벡터곱을 '외적'이라고 칭하는 경우가 많은데 혼동하기 쉬운 개념이기에 주의가 필요하다. 외적은 주로 [[토크|돌림힘]]나 [[각운동량]] 같이 회전에 관계된 물리량을 측정할 때 사용한다. 예를 들면 토크의 크기는 고정점에 대한 작용점의 변위 벡터를 r, 작용점에 작용하는 힘 벡터를 F라고 놓을 때 [math( \tau = r \times F )]와 같이 정의된다. 여담으로 3차원 벡터곱은 사원수의 허수부의 곱으로 유도될 수 있으며, 마찬가지로 팔원수의 허수부의 곱을 통해서 7차원 공간에서의 벡터곱도 정의할 수 있다.[* 실수를 이용해 정의한 0차원 벡터곱과 복소수를 이용해 정의한 1차원 벡터곱은 결과가 항상 영벡터이기에 쓸 이유가 없다.] 그 이상까지 올라가면 16원수에서 유도되는 15차원으로 올라가게 되는데, 팔원수부터 대수적 성질을 대폭 잃어버린 상태[* 팔원수에서 '''곱셈의 결합법칙'''이 성립하지 않게 된다. 다만, 팔원수도 실수체의 교대 대수이기 때문에, [math(x\left(xy\right)=x^2y, \left(xy\right)y=xy^2)]은 성립한다.]이기 때문에 15차원 이후의 벡터곱은 정의하지 않는다. 무엇보다도, 16원수 이상으로 올라가게 되면 선형 제곱수 항등식[* n개 제곱수 항등식은 [math(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2} \sum_{k=1}^{n} b_{k}^{2}})]을 n개의 제곱의 합으로 분리하여 표기할 수 있다는 것을 의미한다. 수학적으로 이 항등식은 n=1, 2, 4, 8일때만 존재한다는게 밝혀져 있다. 오일러가 4개의 수에 대한 네제곱수 항등식을, 데겐이 8개의 수에 대한 여덟제곱수 항등식을 발견했고, 이는 후에 사원수와 팔원수에 대한 노름과 연관 있다는 사실이 밝혀졌다.[br]1 제곱수 항등식은 [math(a^2b^2=\left(ab\right)^2)][br] 2 제곱수 항등식은 [math(\left(a_{1}^2+a_{2}^2\right)\left(b_{1}^2+b_{2}^2\right)=\left(a_1b_1-a_2b_2\right)^{2}+\left(a_1b_2+a_2b_1\right)^{2})][br]1 제곱수 항등식은 실수의 절대값 곱([math(\lVert a\cdot b \rVert = \lVert a \rVert \cdot \lVert b \rVert )])을 고려하면 항상 성립하며, 2 제곱수 항등식은 복소수의 노름 곱([math(\lVert \left(a_1+a_2i\right)\cdot\left(b_1+b_2i\right) \rVert =\lVert a_1+a_2i \rVert \cdot \lVert b_1+b_2i \rVert )])을 고려하면 성립함을 알 수 있다. 마찬가지로 네제곱수 항등식은 사원수의 노름곱, 여덟제곱수 항등식은 팔원수의 노름곱에서 유도할 수 있다. 단, 16차에 한해서 '''비선형 제곱수 항등식'''이 밝혀지기는 했다.]이 성립하지 않는다는 것이 증명되어 있기 때문에, [math( \lVert a\cdot b \rVert= \lVert a \rVert \cdot \lVert b \rVert )]의 형태로 표현할 수 없다.[* 사원수 이상의 수 체계에서는 각 허수성분을 대응되는 차원의 공간좌표 단위벡터성분으로 표현할 수 있는데(사원소의 허수단위가 [math(i,j,k)]의 3개이므로 3차원 좌표의 [math(x,y,z)]좌표 단위벡터 단위가 [math(i,j,k)]가 된다. 마찬가지로 팔원수의 허수단위는 [math(e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7)]의 7개 성분으로 구성되어 있으므로 마찬가지 사고방식으로 7차원 좌표에 대응되게 된다.) 벡터를 대응되는 허수좌표로 바꾸어 곱을 계산하면 실수부는 스칼라곱의 부호를 반전시키고, 허수부는 벡터곱의 형태로 주어지게 된다. 그런데, [math( \lVert a\cdot b \rVert = \lVert a \rVert\cdot \lVert b \rVert)] 형태의 노름이 보존되지 않기 때문에, 일관된 형태의 공식을 유도할 수 없게 된다.] 이렇게 증명되는 것이 당연한 것이, 벡터곱은 애초에 [[조시어 깁스]]가 [[사원수]]의 곱셈으로 해결하던 문제들의 풀이 과정이 너무 귀찮고 벡터 부분/스칼라 부분만 필요한 경우가 너무 많다고 생각하여 사원수 곱셈의 벡터 부분만 떼어서 정리하여 만들어 진 것이 벡터곱이다. === 정의 === 3차원 유클리드 공간의 벡터 [math(\mathbf{x}=\left( x_1 , x_2 , x_3 \right))]와 [math(\mathbf{y}=\left( y_1 , y_2 , y_3 \right))]의 벡터곱 [math(\mathbf{x} \times \mathbf{y})]는 다음과 같이 정의된다. ||[math( \mathbf{x} \times \mathbf{y} = \left( x_2 y_3 - x_3 y_2 , x_3 y_1 - x_1 y_3 , x_1 y_2 -x_2 y_1 \right) )]|| 행렬식을 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다. ||[math(\mathbf{x}\times\mathbf{y}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{bmatrix})] [math( \; = i(x_2 y_3 - x_3 y_2) - j( x_1 y_3 - x_3 y_1 ) + k(x_1 y_2 -x_2 y_1) )] [math( \; = i(x_2 y_3 - x_3 y_2) + j(x_3 y_1 - x_1 y_3) + k(x_1 y_2 -x_2 y_1) )] 여기서 [math(\mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1))]는 유클리드 공간의 표준기저이다. 유도과정은 여럿 있으며, [[사원수]]의 허수부를 이용한 유도과정은 다음과 같다.[* 실수부를 넣어도 되기는 하는데, 식이 상당히 복잡해진다. 실수부를 0으로 뒀을 때가 가장 깔끔하게 정리된다.][* 참고로 실수부를 넣으면 다음과 같다.[br] [math((x,y,z)=xi+yj+zk)]와 같이 벡터와 사원수를 같은 것으로 칠 때, [math((p+\vec{\mathbf u})(q+\vec{\mathbf v}) = (pq-\vec{\mathbf u}\cdot\vec{\mathbf v}) + \vec{\mathbf u}\times\vec{\mathbf v}+p\vec{\mathbf v}+q\vec{\mathbf u})]] [math(\mathbf{x}=x_1i+x_2j+x_3k)] [math(\mathbf{y}=y_1i+y_2j+y_3k)] [math(\mathbf{xy}=x_1y_1i^2+x_2y_2j^2+x_3y_3k^2+x_1y_2ij+x_1y_3ik+x_2y_1ji+x_2y_3jk+x_3y_1ki+x_3y_2kj)] [math(ij=k, jk=i, ki=j, ji=-k, kj=-i, ik=-j, i^2=j^2=k^2=-1)]이므로 정리하면 [math(\mathbf{xy}=-\left(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\right)+\left(x_2 y_3-x_3 y_2\right)i+\left(x_3 y_1-x_1 y_3\right)j+\left(x_1 y_2 -x_2 y_1\right)k)] 실수부와 허수부를 분리하면, [math(-\left(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\right))]와 [math(\left(x_2 y_3-x_3 y_2\right)i+\left(x_3 y_1-x_1 y_3\right)j+\left(x_1 y_2 -x_2 y_1\right)k)] 즉, [math(\mathbf{xy}=-\mathbf{x\cdot y}+\mathbf{x\times y})]가 된다. 필요한 것은 허수부이므로, [math(\mathbf{x\times y}=\left(x_2 y_3-x_3 y_2\right)i+\left(x_3 y_1-x_1 y_3\right)j+\left(x_1 y_2 -x_2 y_1\right)k)]이다.|| ||※양쪽에 노름을 구하게 되면 같아야 하는데, 이를 통해 외적의 노름값을 구할 수 있다. [math(\lVert\mathbf{xy}\rVert=\lVert-\mathbf{x\cdot y}+\mathbf{x\times y}\rVert)] [math(-\mathbf{x\cdot y})]가 실수부, [math(\mathbf{x\times y})]가 허수부이므로, 합의 노름값의 제곱은 실수부의 제곱과 허수부의 제곱을 합한 값이 된다. 즉 [math(\lVert\mathbf{xy}\rVert^{2}=\lVert-\mathbf{x\cdot y}+\mathbf{x\times y}\rVert^{2}=\lVert-\mathbf{x\cdot y}\rVert^{2}+\lVert\mathbf{x\times y}\rVert^{2})] [math(\lVert-\mathbf{x\cdot y}\rVert^{2}=\lVert\mathbf{x}\rVert^{2}\lVert\mathbf{y}\rVert^{2}\cos^{2}{\theta})]이므로, [math(\lVert\mathbf{x\times y}\rVert^{2}=\lVert\mathbf{x}\rVert^{2}\lVert\mathbf{y}\rVert^{2}\left(1-\cos^{2}{\theta}\right)=\lVert\mathbf{x}\rVert^{2}\lVert\mathbf{y}\rVert^{2}\sin^{2}{\theta})] 즉, [math(\lVert\mathbf{x\times y}\rVert=\lVert\mathbf{xy}\rVert\lVert\sin{\theta}\rVert)]|| 마찬가지로 팔원수 곱셈표를 이용하여 정리하여 7차원 벡터곱을 정의할 수도 있다. ||<-8> 팔원수 곱셈표 || ||<:>[math(a\backslash b)]||<:>[math(e_{1})]||<:>[math(e_{2})]||<:>[math(e_{3})]||<:>[math(e_{4})]||<:>[math(e_{5})]||<:>[math(e_{6})]||<:>[math(e_{7})]|| ||<:>[math(e_{1})]||<:>[math(-1)]||<:>[math(e_{4})]||<:>[math(e_{7})]||<:>[math(-e_{2})]||<:>[math(e_{6})]||<:>[math(-e_{5})]||<:>[math(-e_{3})]|| ||<:>[math(e_{2})]||<:>[math(-e_{4})]||<:>[math(-1)]||<:>[math(e_{5})]||<:>[math(e_{1})]||<:>[math(-e_{3})]||<:>[math(e_{7})]||<:>[math(-e_{6})]|| ||<:>[math(e_{3})]||<:>[math(-e_{7})]||<:>[math(-e_{5})]||<:>[math(-1)]||<:>[math(e_{6})]||<:>[math(e_{2})]||<:>[math(-e_{4})]||<:>[math(e_{1})]|| ||<:>[math(e_{4})]||<:>[math(e_{2})]||<:>[math(-e_{1})]||<:>[math(-e_{6})]||<:>[math(-1)]||<:>[math(e_{7})]||<:>[math(e_{3})]||<:>[math(-e_{5})]|| ||<:>[math(e_{5})]||<:>[math(-e_{6})]||<:>[math(e_{3})]||<:>[math(-e_{2})]||<:>[math(-e_{7})]||<:>[math(-1)]||<:>[math(e_{1})]||<:>[math(e_{4})]|| ||<:>[math(e_{6})]||<:>[math(e_{5})]||<:>[math(-e_{7})]||<:>[math(e_{4})]||<:>[math(-e_{3})]||<:>[math(-e_{1})]||<:>[math(-1)]||<:>[math(e_{2})]|| ||<:>[math(e_{7})]||<:>[math(e_{3})]||<:>[math(e_{6})]||<:>[math(-e_{1})]||<:>[math(e_{5})]||<:>[math(-e_{4})]||<:>[math(-e_{2})]||<:>[math(-1)]|| === 성질 === * [math((c\bf u + v)\times w = \mathit c(u\times w)+(v\times w))] * [math(\bf u\times v = - v\times u)] * [math(\bf u\times u=0)] * [math({\lVert \bf u\times v \rVert=}\sqrt{\lVert \mathbf u\rVert^2 \lVert \mathbf v\rVert^2 - (\mathbf u\cdot\mathbf v)^2}=\lVert u\rVert \lVert v \rVert \sin \theta)] * [math(\bf u\times v\perp v)] * [math({\bf u\cdot v\times w= v\cdot w\times u = w\cdot u\times v = }\,\pm)] (벡터 [math({\bf u,v,w})] 로 결정되는 평행육면체의 부피) * [math(\bf u\times (v\times w)=(u\cdot w)v - (u\cdot v)w )] * [math(\bf (u\times v)\times w = (u\cdot w)v - (v\cdot w)u)] == 외적(outer product) == [include(틀:선형대수학)] [[선형대수학]]에서의 외적(outer product)은 두 벡터 간의 [[텐서곱]]을 뜻한다. 앞의 벡터곱과는 달리 결괏값은 '''행렬'''이 된다. 두 실벡터 [math(\mathbf{u})], [math(\mathbf{v})]의 외적 [math(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v})]는 [math(\mathbf{u})]와 [math(\mathbf{v})]의 [[전치행렬|전치]]의 곱, 즉 [math(\mathbf{u}\mathbf{v}^T)]로 정의된다. > 두 실수공간 [math(\mathbb{R}^m)]과 [math(\mathbb{R}^n)]에서 각각 정의된 [math(m \times 1)] 열벡터 [math(\mathbf{u})]와 [math(n \times 1)] 열벡터 [math(\mathbf{v})]에 대하여 > [math(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^T = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u_1 v_1 & u_1 v_2 & \cdots & u_1 v_n \\ u_2 v_1 & u_2 v_2 & \cdots & u_2 v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_m v_1 & u_m v_2 & \cdots & u_m v_n \end{bmatrix})] 복소벡터의 외적은 조금 다르게 정의된다. 두 복소벡터 [math(\mathbf{u})], [math(\mathbf{v})]의 외적 [math(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v})]는 [math(\mathbf{u})]와 [math(\mathbf{v})]의 [[수반 연산자|켤레전치]]의 곱, 즉 [math(\mathbf{u}\mathbf{v}^\dagger)]로 정의된다. > 두 복소수공간 [math(\mathbb{C}^m)]과 [math(\mathbb{C}^n)]에서 각각 정의된 [math(m \times 1)] 열벡터 [math(\mathbf{u})]와 [math(n \times 1)] 열벡터 [math(\mathbf{v})]에 대하여 > [math(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\dagger = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_m\end{bmatrix}\overline{\begin{bmatrix}v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{bmatrix}} = \begin{bmatrix}u_1\overline{v_1} & u_1\overline{v_2} & \cdots & u_1\overline{v_n} \\ u_2\overline{v_1} & u_2\overline{v_2} & \cdots & u_2\overline{v_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_m\overline{v_1} & u_m\overline{v_2} & \cdots & u_m\overline{v_n} \end{bmatrix})] 정의에 따라 실벡터의 외적은 복소벡터의 외적의 특수한 경우임을 알 수 있다. 또한 자세히 보면, 두 벡터의 외적의 [[주대각합|대각합(trace)]]이 [[내적]]임을 알 수 있다. [[분류:선형대수학]]