[include(틀:다른 뜻1, from=반비례, other1=2023년에 발매된 음율의 EP 1집 수록곡, rd1=幸福論 (행복론), anchor1=반비례 (反比例))]
[include(틀:해석학·미적분학)]
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== 개요 ==
[[멱함수]]의 일종으로, 두 변수가 있을 때 한 변수가 2배, 3배 되면 다른 한 변수도 2배, 3배 되는 경우 그 두 변수는 (정)비례 관계에 있다고 한다.[* 이 함수는 [[유리함수]]도 관계가 있다.] 반면 한 변수가 2배, 3배 될 때 다른 변수가 [math(1 \over 2)]배, [math(1 \over 3)]배 된다면 두 변수는 반비례 관계에 있다고 한다. 간단히 말하자면, 한 변수가 커짐에 따라 다른 변수도 커지고 한 변수가 작아짐에 따라 다른 변수도 작아진다고 하면 이 두 변수는 (정)비례 관계에 있는 것이고, 한 변수가 커지면 커질수록 다른 변수는 작아진다고 하면 이 두 변수는 반비례 관계에 있는 것이다.[* 다만 단순히 증가 또는 감소가 동시에 일어난다고 비례가 아니다. 예를 들어, y = x^2에서 x와 y는 정비례 관계가 아니고, x^2와 y가 정비례 관계이다.]

식으로 나타내면 다음과 같다.
 * [math(a)]가 상수일 때 [math(y=ax)]를 만족시키는 경우 두 변수 [math(x, y)]는 정비례 관계에 있다.
 * [math(a)]가 상수일 때 [math(\displaystyle y=\frac{a}{x}=ax^{-1})]를 만족시키는 경우 [math(x, y)]는 반비례 관계에 있다. 
 
간혹 분수만 나오면 무조건 반비례라고 써버리는 사람도 있는데, 분모에 변수가 들어갔는지 비례상수가 들어갔는지 구분해야 한다. 비례상수 자체는 비례·반비례 여부에 아무 영향을 주지 않는다. 예를 들어 [math(\displaystyle y=\frac{x}{2}={1 \over 2}{x})]는 비례 관계이다. 단, 하나의 예외로 비례상수가 [[0]]일 경우 비례·반비례 관계가 무너진다.[* [math(0x = \dfrac{0}{x} = 0)]]

=== 정비례 ===
두 변수 [math(x, y)]가 '''정비례'''한다(혹은 '''비례'''한다)고 함은 다음을 만족시키는 함수 [math(f)]에 대하여 [math(y=f\left(x\right))]를 만족시킨다는 뜻이다.
>임의의 [math(k, x)]에 대하여 [math(f\left(kx\right)=kf\left(x\right))]
이 정의를 이용해 정비례하는 함수 [math(f)]를 묘사하는 식을 구할 수 있다. [math(a = f(1))]로 두고 [math(x = 1)]을 대입하면 [math(f(k) = kf(1) = ak)], 혹은 [math(f(x) = ax)]. 즉 정비례 관계의 함수는 상수항이 없는 [[일차함수]]이다.

비례관계의 정의는 [[역함수]]를 정의할 때 사용되기도 한다. 가령 [[지수함수]]를 [math(f\left(x\right)=x)]에 대칭시키면 [[로그함수]]가 튀어나온다.

=== 반비례 ===
두 변수 [math(x, y)]가 '''반비례'''한다고 함은 다음을 만족시키는 함수 [math(f)]에 대하여 [math(y=f\left(x\right))]를 만족시킨다는 뜻이다.
>0이 아닌 임의의 [math(k, x)]에 대하여 [math(\displaystyle f\left(kx\right)=\frac{f\left(x\right)}{k}=k^{-1}f\left(x\right))]이다. 
즉, 반비례는 [[역수]]에 비례한다는 뜻과 같은 말이며, 반비례 함수는 [[유리함수|분수함수]]이다.

이때, 반비례 함수를 [[부정적분]]하면  [[자연로그]]가 나오며[* [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln_{}t=t^{-1})]], 1에서 [[자연로그의 밑|자연로그의 밑 [math(e)]]]까지 [[적분|정적분]]을 하면 1이 나온다.

반비례 함수의 그래프는 [[쌍곡선]]이다. [[쌍곡선#s-2.2|이 식]]을 이용해 쌍곡선의 방정식으로 변형시킬 수 있다.

반비례 관계의 항 중 분모가 [[자연수]]인 항을 모조리 더한 것을 '[[조화수(수학)|조화급수]]'라고 하며 여기서 [[자연로그]]를 뺀 부분을 모두 더하면 [[오일러-마스케로니 상수]]를 구할 수 있다.

== 비례의 기호 ∝ ==
[* --[[무한]]기호 끝을 자르면 된다.--]
두 변수 [math(x)], [math(y)]가 비례함을 다음과 같이 나타낸다.

[math(y \propto x)]

비슷하게 두 변수 [math(x)], [math(y)]가 반비례함을 다음과 같이 나타낸다.

[math(y \propto \dfrac{1}{x})]

== 여담 ==
 * (2015 개정 교육과정 기준으로) 본격적으로 배우는 시기는 중학교 1학년 수학이며, 원래는 초등학교 6학년 수학으로 잠시 내려온 적도 있었으나 한 차례 시도만 하고 환원되었다. 이를 활용한 개념을 처음 배우는 때는 중학교 1학년 과학 시간에 나오는 [[보일 법칙]]과 [[샤를 법칙]]이다. 그러나 2015 개정 교육과정부터는 하향평준화가 대대적으로 이어지면서 학자 이름을 생략하고[* 원리는 기억 안 나고 학자 이름만 떠돈다는 사유에서 생략했다고 한다. 중학교 과정에서 학자 이름을 생략한 건 좋았다는 평가를 받는다. 어차피 화학Ⅱ에서는 보일-샤를로 배운다.--화2러들도 이상기체상태방정식에서 비례/반비례관계를 따지기때문에 학자이름 안 외운다.-- 다만, 문제는 비례/반비례까지 그렇게 했다는 것.] 그냥 '~수록 커진다/작아진다'로 바꿔 버렸다.

[[분류:해석학(수학)]][[분류:수학 용어]]