[[분류:프랙털 이론]][[분류:비초등함수]][[분류:병리적 함수]][[분류:삼각함수]]
[include(틀:해석학·미적분학)]
[include(틀:삼각함수·쌍곡선함수)]
[목차]
== 개요 ==
볼테라 함수(Volterra's function)는 <math>[0,1]</math>위에서 정의된 [[병리적 함수]]의 일종으로, [[리만 적분]]이 불가능한 [[유계]]인 [[도함수]]를 갖는, 미분 가능한 함수의 예이다. 이러한 함수가 존재함에도 [[미적분의 기본정리]]가 참인 이유는, 미적분의 기본정리에는 연속 함수라는 조건이 달려 있기 때문이다.

== 정의 ==
 <math>C</math>를 아래와 같이 정의된 뚱뚱한 [[칸토어 집합]]이라고 하자.
 * <math>C_{1}=\left[0,\dfrac{3}{8}\right]\cup\left[\dfrac{5}{8},1\right]</math>
 * <math>C_{n}=\cup_{k=1}^{2^{n}}[a_k,b_{k}]</math>일 때, <math>C_{n+1}=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{2^{n}}\left(\left[a_{k},\dfrac{a_{k}+b_{k}}{2}-\dfrac{1}{2^{2n+3}}\right]\cup\left[\dfrac{a_{k}+b_{k}}{2}+\dfrac{1}{2^{2n+3}},b_{k}\right]\right)</math>
 * <math>C=\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}C_{n}</math>
이 때, <math>[0,1]-C</math>가 열린집합이므로 서로소 열린구간열<math>\{I_{k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math>의 합집합으로 나타낼 수 있다. <math>I_{k}=\left(\alpha,\beta\right)</math>라고 하고, 함수 <math>V_{k}:I_{k}\to\mathbb{R}</math>를 아래와 같이 정의하자.

||<table align=right><table width=400>{{{#!wiki style="margin: -5px -10px"
[[파일:볼테라 함수의 조각.png|width=100%]]}}} ||
||<:><math>V_{k}</math>의 그래프. 위 그래프를 <math>[0,1]\cap C^{c}</math> 위에 적절하게 크기를 조절해서 무한히 [[복붙]]하면 볼테라 함수에 점점 가까워진다.||

 <math>V_{k}(x)=\begin{cases}(x-\alpha)^{2}\sin\dfrac{1}{x-\alpha}, & \alpha<x\leq m_{1} \\ (m_{1}-\alpha)^{2}\sin\dfrac{1}{m_{1}-\alpha}, & m_{1}\leq x\leq m_{2} \\ (\beta-x)^{2}\sin\dfrac{1}{\beta-x}, & m_{2} \leq x < \beta \end{cases}</math>
 (단, <math>m_{1}</math>은 <math>(x-\alpha)^{2}\sin\dfrac{1}{x-\alpha}</math>가  구간<math>(\alpha,\frac{\alpha+\beta}{2})</math> 위에서 극댓값인 <math>x</math> 중에서 가장 큰 값이고, <math>m_{2}</math>는 <math>(\beta-x)^{2}\sin\dfrac{1}{\beta-x}</math>가 구간 <math>(\frac{\alpha+\beta}{2},\beta)</math> 위에서 극댓값인 <math>x</math> 중에서 가장 작은 값.[* 두 함수가 <math>x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}</math>에 대해 서로 좌우 반전 되어있으므로, 두 극댓값은 같다.])[* [math(\alpha,\:\beta,\:m_{1},\:m_{2})] 등은 [math(k)]의 값에 따라서 결정되는 값이지만, 이를 일일이 나타낼 경우 표기가 복잡해지므로 생략하였다.]

최종적으로, 볼테라 함수 <math>V:[0,1]\to\mathbb{R}</math>은 아래와 같이 정의되는 함수이다.
 <math>V(x)=\begin{cases}V_{k}(x), & x\in I_{k},\:k\in\mathbb{N}\\ 0, & x\in C \end{cases}</math>

=== 설명 ===
함수 <math>f(x)=\begin{cases}x^{2}\sin\dfrac{1}{x},&x\neq 0\\ 0,&x=0\end{cases}</math>를 생각해보자. 이 함수는 구간 <math>(-\infty,0)</math>와 <math>(0,\infty)</math> 위에서는 초등함수의 사칙연산과 합성으로 이루어진 함수이므로 미분의 일반적인 성질에 의해
 <math>f'(x)=2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}</math>
로 구할수 있다. <math>x=0</math>일 때는, 다음과 같이 미분계수의 정의를 이용해서,
 <math>\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^{2}\sin\dfrac{1}{x}-0}{x-0}=0</math>
이 된다는 것을 알 수 있다. 즉,
 <math>f'(x)=\begin{cases}2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x},&x\neq 0\\0,&x=0 \end{cases}</math>.
위의 <math>f'(x)</math>는 특이하게도 어떤 함수의 도함수인데도 불연속인 함수이다. 그런데, 이 함수는 한 점만 불연속이므로, 리만적분 가능하다. 즉, 우리의 목표 중 하나인 리만적분 불가능을 달성할 정도로 특이하진 않다는 것.

유계 함수에 대해, 리만적분 가능성과 동치인 조건은 함수가 '거의 모든 점'에서 연속이란 것이다.[* 이를 리만-르베그 정리, 리만적분 가능성에 대한 르베그 판정법 등으로 부른다.]  여기서 '거의 모든 점'에서 연속이란 것은, 불연속 점의 [[르베그 측도]][* 집합의 모든 원소를 수직선에 늘여놓았을 때의 길이라고 생각하면 된다.]가 0이란 것이다. 르베그 측도가 0인 집합으로는 대표적으로 가산집합이 있다.[* 예를 들어서, [[최대 정수 함수|가우스 함수]]는 리만적분 가능하다.] 그래서, 리만적분이 불가능한 유계 함수를 만드려면, 불연속 점을 자연수의 개수보다는 훨씬 많이 심어야 한다. 

그런데, 놀랍게도 다음의 특성을 갖는 집합이 있다.
 1. 르베그 측도가 0이 아니다.
 1. 집합 내의 임의의 두 점을 잡았을 때, 그 두 점의 사이에 들어오면서도, 그 집합과는 서로소인 열린구간이 항상 존재한다.
 1. 닫혀있다.

SVC 집합(SVC set; Smith-Volterra-Cantor set) 또는 뚱뚱한 칸토어 집합(fat Cantor set)이라고 부르는 집합인데, [[칸토어 집합]]의 변형으로, 프랑스의 수학자, 앙리 스미스가 1875년에, 이탈리아의 수학자, 비토 볼테라가 1881년에 도입한 개념이다. 1.에 따라서, 함수가 SVC 집합의 모든 점에서 불연속이면, 리만적분 불가능하다. 3.에 의해서 SVC 집합의 여집합을 열린구간의 합집합으로 나타낼 수 있다. 그래서, 위에서 정의한 <math>f(x)</math>를 변형한 함수를 SVC 집합의 여집합을 구성하는 열린구간마다, 도함수가 불연속인 점이 SVC 집합에 놓이도록 적절히 심어 놓으면, 미분가능하면서도 도함수는 리만적분 불가능한, 아주 괴상한 함수를 만들어낼 수 있는 것이다.

== 성질 ==
<math>V</math>는 <math>[0,1]</math> 위에서 미분 가능하고, 도함수 <math>V^{\prime}</math>이 <math>C</math> 위의 모든 점에서 불연속이라는 사실을 쉽게 유도할 수 있다. 그런데 <math>C</math>는 [[르베그 측도]]가 0보다 크므로 <math>V^{\prime}</math>은 리만적분 불가능하다.