[[분류:함수해석학]][[분류:위상수학]]
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== 개요 ==
베르 범주 정리(Baire category theorem)는 [[위상수학]]과 [[함수해석학]]의 정리로, 어떤 공간이 베르 공간이 될 충분조건을 제시하는 정리이다.

== 베르 범주 정리 ==
=== 베르 범주 ===
위상공간 [math(X)]의 부분집합 [math(E\subseteq X)]가 어느 곳에서도 조밀하지 않은 집합들의 가산 합집합이면 [math(E)]를 '''제1 범주 집합(set of the first category)'''이라고 한다. 제1 범주의 집합이 아닌 집합을 '''제2 범주 집합(set of the second category)''' 베르의 범주는 [[범주론]]과는 무관하다.

조밀한 열린 집합의 임의의 가산 교집합이 조밀한 [[위상공간]]을 '''베르 공간(Baire space)'''이라고 한다. 이는 다음과 동치이다.
 * 임의의 제1 범주 집합의 여집합이 조밀하다.
 * 제1 범주인 열린 집합은 공집합 뿐이다.

=== 정리 ===
[[위상공간]] [math(X)]가 베르 공간일 충분조건은 다음과 같다.
 * '''(제1 범주 정리)''' [math(X)]가 완비 거리화 가능 공간이면 [math(X)]는 베르 공간이다.
 * '''(제2 범주 정리)''' [math(X)]가 국소 컴팩트 하우스도르프 공간이면 [math(X)]는 베르 공간이다.

=== 증명 ===
==== 제1 범주 정리의 증명 ====
==== 제2 범주 정리의 증명 ====
== 적용 ==
함수해석학에서 [[바나흐 공간]]의 열린 사상 정리, 닫힌 그래프 정리, 균등 유계 원리를 증명하는 과정에서 활용된다.

== 둘러보기 ==
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