[Include(틀:통계역학)] [목차] == 개요 == {{{+1 Maxwell–Boltzmann distribution / Maxwell-Boltzmann [[分]][[布]]}}} 맥스웰 - 볼츠만 분포는 일원자 분자 이상기체의 속력에 대한 확률분포이며, 분자의 질량과 기체의 온도를 매개변수로 가진다. 이 분포를 통해 최빈속도, 평균속도, [[제곱평균제곱근]](root mean square) 속도([math(v_{\sf rms})])등을 계산할 수 있다. 이는 [[제임스 클러크 맥스웰]][* 맥스웰이 접근한 방식은 다음과 같다. 어느 입자가 특정 [math(v_x)], [math(v_y)], [math(v_z)]를 가질 확률 밀도를 [math(f(v_x,\,v_y,\,v_z))]라 가정한다음, [math(v_x)], [math(v_y)], [math(v_z)]들은 서로 완벽히 독립적이니 구형 대칭을 적용해 [math(f(v_x,\,v_y,\,v_z) = g({v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2))]임을 이용. 이 방정식을 만족하는 함수는 [math(e^{-x^2})] 꼴의 가우스 분포인데, 여기에 속력벡터 [math(v_x)], [math(v_y)], [math(v_z)] 대신 속도인 [math(v=\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2})]를 사용하면 멕스웰-볼츠만 분포의 형태가 나온다.]이 처음 제안하였고, 이 업적을 접한 [[루트비히 볼츠만]]이 맥스웰의 가정을 바꾸어 다른 방식으로 증명였는데, [[분자#s-1.2]]의 존재를 가정하고 있기 때문에 [[에른스트 마흐]] 등을 포함해 물질의 공간상에 연속적이라고 생각하는 당대 주류의 학파에 의해 인정받지 못했다. 그렇지만, 시간이 흐르면서 업적을 인정받게 되었고[* 안타깝게도 볼츠만은 자살하였다. [[우울증]]에 걸렸었지만 자살의 원인은 정확히 밝혀지지는 않았다.], [[통계역학]]의 발전에도 큰 기여를 하였다. 또한, 후에 [[통계역학#s-2.3.2|보스 - 아인슈타인 분포]] 와 [[통계역학#s-2.3.1|페르미 - 디랙 분포]]의 발견에도 영향을 주었다. == 내용 == 맥스웰 볼츠만 분포식은 속도(3차원)를 변수로 가지는지, 아니면 속력, 에너지, 운동량 등을 변수로 가지는지에 따라서, 혹은 좌변을 무엇으로 두는지에 따라서 많은 형태로 표현되지만, 여기에는 속력([math(v)])을 변수로 가지는 경우만 기술하였다. 분야 등에 따라서 자주 사용하는 형태가 다를 수 있으니, 이 식은 이해를 돕는 용도로 사용하자. ||
[math(n_v(v){\rm\,d}v = 4\pi N \left(\dfrac m{2\pi k_{\rm B}T}\right)^{\frac32} v^2e^{-\frac{mv^2}{2k_{\rm B}T}}{\rm\,d}v)] || [[파일:maxwell-boltzmann_distribution.png]] * [math(T)] : 기체의 온도 * [math(m)] : 분자의 질량 * [math(N)] : 전체 기체분자의 수 * [math(k_{\rm B})] : [[볼츠만 상수]] * [math(n_v(v){\rm\,d}v)] : [math(v)]와 [math(v+{\rm d}v)] 사이의 속력을 가지는 기체분자의 수. [math(n(v))]는 확률밀도함수이므로, 적당히 응용[* 각각 미분, [math(v)]를 곱하여 적분, [math(v^2)]을 곱하여 적분 후 루트]하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. ||
[math(\begin{aligned} v_{\sf mp} &= \sqrt{\frac{2k_{\rm B}T}m} \\ v_{\sf avg} &= \sqrt{\frac{8k_{\rm B}T}{\pi m}} \\ v_{\sf rms} &= \sqrt{\frac{3k_{\rm B}T}m}\end{aligned})] || 각각 최빈(most probable) 속력, 평균(average) 속력, [[제곱평균제곱근]] 속력이다. == 맥스웰의 접근 방법 == 이 분포의 형태를 처음 제안한 맥스웰은 통계역학이나 물리학을 거의 사용하지 않고 타당한 휴리스틱으로 유도하였다. 나중에 통계역학을 사용해 이 분포의 물리학적 유래를 정리한 건 볼츠만. 맥스웰의 휴리스틱과 기체 분자 모델, 이상 기체 법칙 등으로 처음부터 이 분포를 상수들 까지 포함해서 완전히 이끌어내보자. === 맥스웰의 휴리스틱 === 1860년, 맥스웰은 놀랍도록 간단한 방법을 사용해 분포의 함수꼴을 유추해냈다. 삼차원에서 기체 분자의 속도는 공간 직교 좌표계를 기준으로 각 축 방향의 성분, 즉 [math(v_x)], [math(v_y)], [math(v_z)]를 갖는다. 이 세개의 성분은 서로 직각이니 완전히 독립적이라 가정한다. 그렇다면 열적 평형을 이루었을 때 이들의 확률 분포 함수는 모두 동일하다. 이를 [math(g(v_x))], [math(g(v_y))], [math(g(v_z))]라고 하면, 3개의 성분들은 모두 완전히 독립적이기에 어느 분자가 특정 [math(v_x)], [math(v_y)], [math(v_z)]를 가질 확률은 이 세 함수의 곱, 즉 [math(g(v_x)g(v_y)g(v_z))]에 비례한다. 여기서부터가 핵심인데, [math(v_x)], [math(v_y)], [math(v_z)]는 완전 독립이므로, [math(g(v_x)g(v_y)g(v_z))]는 구형으로 대칭이다. 즉, [math(g(v_x)g(v_y)g(v_z) = G({v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2) = G(v^2))]이 되고, 이 조건을 만족하는 함수를 찾아보자. 먼저 세 성분이 독립이므로 양변을 [math(v_x)]에 대해 편미분한 뒤 ||
[math(g'(v_x)g(v_y)g(v_z) = \dfrac{{\rm d}G(v^2)}{{\rm d}(v^2)}{\cdot}2v_x)] || 양변을 [math(g(v_x)g(v_y)g(v_z) = G(v^2))]로 나누고 우변의 [math(2v_x)]를 이항해주면 다음과 같이 변수가 분리된 미분 방정식이 얻어진다. ||
[math(\begin{aligned}\dfrac{g'(v_x)}{2v_xg(v_x)} &= \dfrac{\dfrac{{\rm d}G(v^2)}{{\rm d}(v^2)}}{G(v^2)}\\ = \dfrac1{2v_x}\dfrac{{\rm d}\ln|g(v_x)|}{{\rm d}v_x} &= \dfrac{{\rm d}\ln|G(v^2)|}{{\rm d}(v^2)}\end{aligned})] || 위 식은 [math(x)]가 [math(y)] 또는 [math(z)]로 치환된 형태에서도 성립한다. 즉, ||
[math(\begin{aligned}\dfrac{{\rm d}\ln|G(v^2)|}{{\rm d}(v^2)} &= \dfrac1{2v_x}\dfrac{{\rm d}\ln|g(v_x)|}{{\rm d}v_x} \\ &= \dfrac1{2v_y}\dfrac{{\rm d}\ln|g(v_y)|}{{\rm d}v_y} \\ &= \dfrac1{2v_z}\dfrac{{\rm d}\ln|g(v_z)|}{{\rm d}v_z} \end{aligned})] || 위 식을 잘 곱씹어 보면, 좌변은 [math(v^2 = {v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2)]로 서로 독립인 세 변수를 변수로 갖는 함수이고, 우변은 각각 세 독립 변수 중 어느 하나만을 변수로 갖는 함수인데 네 식이 등호로 묶인다. 가령 [math(v_x)]만 변수로 갖는 함수는 이와 독립인 [math(v_y)], [math(v_z)]를 변수로 갖는 함수로 나타낼 수 없으며 이는 [math(v_y)]만을 변수로 갖는 함수에서도, [math(v_z)]만을 변수로 갖는 함수에서도 동일하다. 결과적으로 위 등식의 관계를 모두 만족하려면 네 미분식이 '''상수'''일 수밖에 없다는 것을 쉽게 유추할 수 있다. 이를 [math(\alpha)]로 나타내면 첫 번째 등식에 관하여 ||
[math(\dfrac1{2v_x}\dfrac{{\rm d}\ln|g(v_x)|}{{\rm d}v_x} = \alpha)] || 이고 위 미분 방정식을 풀면 [math(v_x)]에 관한 확률 분포 함수 꼴이 [math(g(v_x) = Ce^{\alpha{v_x}^2})]임을 알 수 있다. 이때, 확률 분포함수는 모든 정의역에서 적분시 [math(1)]이 얻어져야 하는데 위와 같은 함수가 특정한 적분값으로서 수렴할 첫 번째 조건은 [math(\alpha<0)]이므로 [math(\alpha = -A)]로 나타내도록 하자. 즉 [math(g(v_x))]의 꼴은 다음과 같다. ||
[math(g(v_x) = Ce^{-A{v_x}^2})] || 당연히 [math(v_y)], [math(v_z)]의 분포도 이와 똑같으며 [math(v)]에 대한 확률 분포 함수는 세 함수의 곱이므로 ||
[math(\begin{aligned} G(v) &= g(v_x)g(v_y)g(v_z) \\ &= C^3e^{-A({v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2)} \\ &= C^3e^{-Av^2}\end{aligned})] || 이제 3차원인 [math(v_x)], [math(v_y)], [math(v_z)]에서 1차원인 [math(v = \sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2})]에 관한 함수로 변환하자. 속력의 확률분포함수 [math(G(v))]는 앞서 규격화를 마친 [math(g)]들의 곱이기 때문에 정의역의 모든 구간에서 정적분을 하면 [math(1)]이 된다는 것은 자명하다. 즉, ||
[math(\displaystyle\int_{0{\rm\,m/s}}^\infty\int_{0{\rm\,m/s}}^\infty\int_{0{\rm\,m/s}}^\infty G(v){\rm\,d}v_x{\rm\,d}v_y{\rm\,d}v_z = 1)] || [math({\rm d}v_x\,{\rm d}v_y\,{\rm d}v_z = v^2\sin\theta{\rm\,d}v{\rm\,d}\theta{\rm\,d}\phi)]이고, [math(v)]의 범위는 [math([0{\rm\,m/s},\,\infty))], [math(\theta)]의 범위는 [math([0,\,\pi])], [math(\phi)]의 범위는 [math([0,\,2\pi])]이다. 앞선 속력의 확률분포함수에 관한 휴리스틱에서 [math(\theta)], [math(\phi)]는 변수에 포함되지 않으므로 분리시켜서 미리 적분하면 속력의 확률분포함수 [math(f(v))]는 다음과 같이 나타낼 수 있다. ||
[math(\begin{aligned} \int_{0{\rm\,m/s}}^\infty\int_{0{\rm\,m/s}}^\infty\int_{0{\rm\,m/s}}^\infty G(v){\rm\,d}v_x{\rm\,d}v_y{\rm\,d}v_z &= \int_{0{\rm\,m/s}}^\infty v^2G(v){\rm\,d}v \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin\theta{\rm\,d}\theta{\rm\,d}\phi \\ &= 4\pi C^3 v^2 e^{-Av^2}{\rm\,d}v \\ \therefore f(v) &= 4\pi C^3v^2e^{-Av^2}\end{aligned})] || 여기까지가 1860년에 맥스웰이 쓴 논문의 내용이고, 이제 이 문단에서 계속해서 [math(C)]와 [math(A)]의 값을 구해내보자. 이 두 상수의 값을 도출해내려면 두 개의 방정식이 필요하다. === 조건1: 확률 분포의 규격화 === 가장 먼저 떠오르는 조건. 확률 분포를 [math(-\infty)]에서 [math(+\infty)]까지 적분하면 반드시 1이 되어야 한다. [math(v^2e^{-Av^2})]는 적분하기 약간 까다로우니 상대적으로 더 간단한 [math(v_x)]의 확률 분포를 적분하자. ||
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty Ce^{-A{v_x}^2}{\rm\,d}v_x = 1)] || 다음의 가우스 적분 값을 사용하면 ||
[math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}{\rm\,d}t = \sqrt\pi)] || [math(t = \sqrt Av_x \Rightarrow {\rm d}t = \sqrt A{\rm\,d}v_x)]를 대입해서 ||
[math(\displaystyle C\int_{-\infty}^\infty e^{-A{v_x}^2}{\rm\,d}v_x = C\sqrt{\frac\pi A} =1 \\ \begin{aligned} \therefore C &= \sqrt{\frac A\pi} \\ f(v) &= 4\sqrt{\frac{A^3}\pi}v^2e^{-Av^2}\end{aligned})] || === 조건2: 평균 제곱 속력 === 잠깐 확률 분포를 손에서 놓고 이상 기체 법칙과 기체 분자 모델을 들여다 보자. 길이가 [math(L)]인 작은 정육면체 안에서 질량이 [math(m)]인 여러 이상 기체 분자들이 운동한다고 가정한다. 오른쪽으로 [math(v_x)]만큼의 속력으로 면에 부딪히면, 그 뒤 똑같은 속력으로 왼쪽으로 튕겨나갈 것이다. 그렇다면 충격량은 ||
[math(\Delta p_x = p_f - p_i = 2mv_x)] || 반면 평균적으로 한 면에 부딪히는 시간은 ||
[math(\Delta t = \dfrac{2L}{v_x})] || 따라서 분자 하나가 한 면에 가하는 힘은 ||
[math(F = \dfrac{\Delta p_x}{\Delta t} = \dfrac{m{v_x}^2}L)] || 평균 [math({v_x}^2)]를 [math(\overline{{v_x}^2})]이라 하고, 정육면체 안에 있는 총 분자 개수가 [math(N)], 면의 면적 [math(A)]는 [math(A = L^2)], 정육면체의 부피는 [math(V=L^3)]이니, 압력은 ||
[math(\begin{aligned}P = \dfrac{\sum F}A &= \dfrac{N\times\dfrac{m\overline{{v_x}^2}}L}{L^2} \\ &= \dfrac{Nm\overline{{v_x}^2}}{V} \\ \Leftrightarrow PV &= Nm\overline{{v_x}^2}\end{aligned})] || 이제 [math(v_y)]와 [math(v_z)]도 도입하자. 대칭성 때문에 [math(\overline{{v_x}^2}=\overline{{v_y}^2}=\overline{{v_z}^2})]이고, 총 평균 제곱 속력은 [math(\overline{v^2} = \overline{{v_x}^2}+\overline{{v_y}^2}+\overline{{v_z}^2} = 3\overline{{v_x}^2})]이니, ||
[math(\overline{{v_x}^2} = \dfrac13 \overline{v^2})] || 이걸 위에 있는 압력에 대입하면 ||
[math(PV = \dfrac{Nm\overline{v^2}}3)] || 마지막으로 (1800년대 당시 실험적으로 도출한) 이상 기체 법칙을 사용하자. 볼츠만 상수 [math(k_{\rm B})], 절대온도 [math(T)]를 이용해서 [math(PV = Nk_{\rm B}T)]로 나타내어지므로 ||
[math(\begin{aligned} Nk_{\rm B}T &= \dfrac{Nm\overline{v^2}}3 \\ \Leftrightarrow \overline{v^2} &= \dfrac{3k_{\rm B}T}m\end{aligned})] || === 완성 === 이제 다시 확률 분포로 돌아와서 [math(\overline{v^2})]를 계산하자. ||
[math(\begin{aligned}\overline{v^2} &= \int_{0{\rm\,m/s}}^\infty v^2 f(v){\rm\,d}v = 4\sqrt{\frac{A^3}\pi}\int_{0{\rm\,m/s}}^\infty v^4 e^{-Av^2}{\rm\,d}v \\ &= 4\sqrt{\frac{A^3}\pi}{\left({\left[-\frac{v^3}{2A}e^{-Av^2}\right]}_{0{\rm\,m/s}}^\infty + \int_{0{\rm\,m/s}}^\infty \frac{3v^2}{2A}e^{-Av^2}{\rm\,d}v\right)} \\ &= 4\sqrt{\frac{A^3}\pi}{\left(0 + {\left[-\frac{3v}{4A^2}e^{-Av^2}\right]}_{0{\rm\,m/s}}^\infty + \int_{0{\rm\,m/s}}^\infty \frac3{4A^2}e^{-Av^2}{\rm\,d}v\right)} \\ &= \frac3{\sqrt{\pi A}}\int_{0{\rm\,m/s}}^\infty e^{-Av^2}{\rm\,d}v \\ &= \frac3{\sqrt{\cancel\pi A}}{\cdot}\dfrac12\sqrt{\frac{\cancel\pi}A} \\ &= \frac3{2A} = \frac{3k_{\rm B}T}m \\ \therefore A &= \frac m{2k_{\rm B}T}\end{aligned} )] || 따라서 맥스웰-볼츠만 분포는 ||
[math(f(v){\rm\,d}v = 4\pi{\left(\dfrac m{2\pi k_{\rm B}T}\right)}^{\frac32} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2k_{\rm B}T}}{\rm\,d}v)] || == 맥스웰 볼츠만 분포 법칙의 유도 == 아래의 첫 번째 소문단인 "에너지에 따른 확률분포"는 [[통계역학#s-2.1.2|통계역학의 캐노니컬 앙상블(Canonical Ensemble) 문단]]과 내용이 겹치지만, 링크에는 상태수에 대한 언급이 없어 새로 작성되었습니다. === 에너지에 따른 확률분포 === [math(i)]개의 이산적인(discrete) 에너지 상태 [math(U_k\,(1\le k\le i))]를 생각하고 [math(k)]번째 에너지 상태를 가지는 입자의 수를 [math(N_k)]라고 하자. 계가 [math(k)]번째 에너지 상태에 각각, [math(N_k)]개의 입자를 가지고 있는 경우의 수를 [math(W)]라 하면, ||
[math(W=\dfrac{N!}{N_1!N_2!\cdots N_i!})] || 가 된다. 그런데, 임의의 입자가 각각의 에너지 상태에 존재할 확률은 실제로는 같지 않기 때문에 경우의 수가 확률과 직접 연관되지는 않고, 따라서 상태수라 불리는 [math(g_k)]를 도입해야 한다. [math(U_k)]라는 하나의 에너지 상태에도 다시 [math(g_k)]개의 상태가 존재한다고 생각해 경우의 수가 확률과 직접적으로 연관되도록 보정하자.[* 상태수 [math(g)]에 대해서는 3.2참고] 그러면[* 왜 상태수에 넣을 때에는 입자를 구분하는지 의아할 수 있는데, 원래는 구분을 안 하는 것이 맞다. 그렇지만, 여기서는 [math(g_k \gg N_k)] 이기 때문에 차이가 없다. 자세한 내용은 [[https://en.m.wikipedia.org/wiki/Maxwell%E2%80%93Boltzmann_statistics|맥스웰-볼츠만 통계학]]를 참고하자.], ||
[math(W=\dfrac{N!}{N_1!N_2!\cdot \cdot \cdot N_i!}{g_1}^{N_1}{g_2}^{N_2}\cdots{g_i}^{N_i} )] || 이 때 가장 자연스러운 상태는 확률에 비례하는 [math(W)]가 최대가 되는 상태이다. 계산을 편리하게 하기 위해 [math(W)]에 로그를 씌우고 [[스털링 근사]] [math(\ln N! \approx N\ln N-N)]을 적용하면, ||
[math(\begin{aligned} \ln W &= \ln N!-\sum_{k=1}^i \ln N_k!+\sum_{k=1}^iN_k\ln g_k \\ &\approx N\ln N-N-\sum_{k=1}^i(N_k\ln N_k-N_k)+\sum_{k=1}^iN_k\ln g_k\end{aligned})] || 그런데 입자가 어떻게 행동하든 당연히 총입자수와 에너지인 ||
[math(\begin{aligned} f_1 &= \sum_{k=1}^iN_k \\ f_2 &= \sum_{k=1}^iN_kU_k \end{aligned})] || 는 일정해야 한다. 실제로는 미분이 불가능하지만, [math(10^{23})]개가 넘는 분자들에 대해서 다루고 있으므로 [math(N_k)]의 작은 변화를 그냥 미분이라고 생각해도 무방하고, 제한조건을 만족하면서 최댓값을 찾는 문제이므로 [[라그랑주 승수법]]을 사용하자. ||
[math(\begin{aligned} &\dfrac{\partial}{\partial N_j}(\ln W + \alpha f_1-\beta f_2) \quad (1\le j\le i) \\ &\approx -{\left(\ln N_j + \dfrac{N_j}{N_j} -1 \right)} + \ln g_j +\alpha -\beta U_j=0 \\ &\therefore N_j = g_je^{\alpha -\beta U_j}\end{aligned})] || 분자들의 수는 유한하므로 이산적인 것이 맞지만, 그 수가 매우 많아서 연속적이라고 볼 수 있다. 따라서 [math(N_j)]를 [math(U_j)]와 [math(U_{j+1})]사이의 에너지를 가지는 분자의 수, 즉 [math(U+{\rm d}U)]이하의 에너지를 가진 기체분자의 수 [math(n+{\rm d}n)]과 [math(U)]이하의 에너지를 가진 기체분자의 수 [math(n)]간의 차이 [math({\rm d}n)]으로 이해할 수 있다. ||
[math({\rm d}n=e^\alpha e^{-\beta U}g_U(U))] || [math({\rm d}n)]은 [math(\dfrac{{\rm d}n}{{\rm d}U}{\rm\,d}U)]와 같으므로, ||
[math(n_U(U){\rm\,d}U=g_U(U)e^\alpha e^{-\beta U}{\rm\,d}U)] || 또, 맥스웰 - 볼츠만 분포에서는 분자들의 위치 에너지는 무시하므로 운동에너지만을 고려한 속도에 대한 함수를 구하면 아래와 같다. ||
[math(n_p(p){\rm\,d}p=g_p(p) e^\alpha e^{-\frac{\beta p^2}{2m}}{\rm\,d}p)] || === 상태수 g 란? === 운동량을 성분으로 가지는 위상공간 [math((p_x,\,p_y,\,p_z))]를 생각해보자. 운동량의 크기가 [math(p)]인 이 위상공간에서는 구가 된다. 따라서 운동량의 크기가 [math(p)]와 [math(p+{\rm d}p)] 사이인 위상공간의 부피는 [math(4\pi p^2{\rm\,d}p)]가 된다. 이 때, 어떤 입자가 이 위상공간의 임의의 공간에 존재할 때 운동량의 크기가 [math(p)]와 [math(p+{\rm d}p)] 사이인 위상공간에 존재할 확률은 [math(p^2{\rm\,d}p)]에 비례하고 따라서 [math(g_p(p){\rm\,d}p =Ap^2{\rm\,d}p)]처럼 쓸 수 있다. 이를 앞서 구한 에너지의 확률 분포 식에 대입하고, 상수를 합치면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. ||
[math(n_p(p){\rm\,d}p = Cp^2e^{-\frac{\beta p^2}{2m}}{\rm\,d}p)] || 사실 위에서는 대충 구했지만, 상태수를 정확히 이해하기 위해서는 양자역학이 필요하다. 상태수에 관해 좀 더 알아보고 싶다면 [[https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gas_in_a_box#Thomas%E2%80%93Fermi_approximation_for_the_degeneracy_of_states|위키피디아의 박스 안의 가스]]를 참고하자. === 규격화 === 이제 상수들을 구하기 위해 규격화 과정을 거치자. 모든 속력(운동량의 크기)에 대해 적분하면 총 입자의 개수가 나와야 하므로[* 라그랑주 승수법에서 사용한 첫 번째 제한조건이다], ||
[math(\displaystyle N=\int_0^\infty Cp^2e^{-\frac{\beta p^2}{2m}}{\rm\,d}p)] || [[가우스 적분]][* 어리둥절 하는 사람도 실제로는 이 함수를 본 적이 있다. 표준[[정규분포]] 함수의 적분이 가우스 적분이다. 부정적분은 초등함수가 아니며, 무한대까지의 적분값만이 알려져 알려져있다. 물론 컴퓨터가 점찍어서 하면 다른 값도 구할 수는 있다.] ||
[math(\displaystyle \int_0^\infty x^{2n}e^{-ax^2}{\rm\,d}x = \frac{(2n-1)!_2}{2^{n+1}a^n}\sqrt{\frac{\pi}a})] || [* [math(!_2)]은 [[계승|이중 계승]]이다.] 에 따라 계산하여 정리하면 [math(C=N\sqrt{\dfrac2\pi}{\left(\dfrac\beta m\right)}^{\frac32})]이다. 다른 상수 [math(\beta)]를 구하기 위해 총 에너지가 [math(\dfrac32Nk_{\rm B}T)] 임을 이용하자.[* 라그랑주 승수법에서 사용한 두 번째 제한조건이다.] ||
[math(\displaystyle U= \int_0^\infty \frac{p^2}{2m} N \sqrt{\frac2\pi}\left(\frac\beta m\right)^{\frac32}p^2e^{-\frac{\beta p^2}{2m}}{\rm\,d}p)] || 다시 가우스 적분하면 [math(U=\dfrac{3N}{2\beta})]이고 [math(U=\dfrac32Nk_{\rm B}T)]와 비교하면, [math(\beta=\dfrac1{k_{\rm B}T})]이다. 따라서 식을 열심히 정리하면 ||
[math(n_p(p){\rm\,d}p = \dfrac{4\pi N}{(2\pi mk_{\rm B}T)^{\frac32}}p^2e^{-\frac{p^2}{2mk_{\rm B}T}}{\rm\,d}p)] || 이고,[* [math(\pi)]와 2를 근호 안으로 넣어주면서 하나 밖으로 빼내는 게 포인트이다. 밖에 나온 [math(4\pi p^2)]은 구와의 연관성을 보여준다.] 운동량과 속도의 관계를 이용하면 ||
[math(n_v(v){\rm\,d}v=4\pi N \left(\dfrac m{2\pi k_{\rm B}T}\right)^{\frac32} v^2e^{-\frac{mv^2}{2k_{\rm B}T}}{\rm\,d}v)] || == 관련 문서 == * [[물리학]] * [[열역학]] * [[통계역학]] [[분류:물리학]]