[include(틀:특수함수의 목록)]

[목차]
== 개요 ==
{{{+1 logarithmic integral function}}}
{{{+1 대수적분함수([[對]][[數]][[積]][[分]][[函]][[數]])}}}[* 대수(對數)는 로그를 의미한다.]

[[특수함수]]의 하나로, 다음과 같이 정의되는 함수이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math({\rm{li}}(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_{0}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} & \quad (x<1) \\\displaystyle \lim_{c \to 0^+} \left(\int_{0}^{1-c} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}}+\int_{1+c}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} \right ) &\quad (x>1) \end{cases} )]}}}
[[로그(수학)|로그]]의 정의에 따라 [math(\ln 1=0)]이기 때문에 [math(x=1)]일 때에는 [[0으로 나누기|값이 정의되지 않는다]]. 이 함수의 그래프는 아래와 같다.

[[파일:namu_로그적분함수_그래프_NEW.png|width=200&align=center]]

이 함수는 [[소수 계량 함수]]와 관계가 깊으며, 물리학과 화학에서도 사용한다. 수론에서 주로 다루며 이것이 [[소수 정리]]이다. 따라서 [[정수론]](특히 [[해석적 정수론]])을 공부한다면 반드시 익혀둬야 하는 함수다.[* 옛날([[카를 프리드리히 가우스|가우스]]와 [[아드리앵 마리 르장드르|르장드르]]가 살아 있었을 시절)에는 [math(\dfrac x{\ln x})]를 썼다.] 이 소수 정리를 연구하다 보면 최종적으로 마주치는 것이 다름 아닌 '''[[리만 가설]]'''이다. 이외에도 [[스큐스 수]]를 계산하는 데에 쓰이는 함수이기도 하다. 사실 스큐스 수는 위의 소수 정리에서 나온 부산물이다.

보통은 [[코시 주요값|[math(1)]을 기점으로 쪼개서 두 적분의 합으로 표현한다]]. 한편, 적분 범위를 [math([0,\,x])]가 아닌 [math([2,\,x])]로 규정한 경우도 있다.[* 사실, [math(2)]보다는 [math(x)]절편인 [math(\mu)]가 더 걸맞기는 하지만, 이 수는 다음 문단에서 볼 수 있다시피 '''[[정수]]가 아닌지라...'''] 이 경우, 대문자 [math(\mathrm{L})]을 써서 [math(\mathrm{Li}(x)\equiv\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2))]로 정의한다.[* 표기가 비슷한 [[폴리로그함수]]와 혼동에 주의.] 이럴 경우 특이점인 [math(1)]이 적분 구간에 포함되지 않는다. [math([0,\,x])]의 방식은 주로 미국식 표현 방식이고
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math({\rm{li}}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}} )]}}}
와 같이 나타내고, [math([2,\,x])]는 주로 유럽식이고
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math({\rm{Li}}(x)=\displaystyle\int_{2}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln{t}}  )]}}}
와 같이 나타낸다. 또한, [math(x>1)] 범위에서 [[불완전 감마 함수]]를 이용해
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math({\rm li}(x)\equiv-\Gamma(0,\,-\ln x)-i\pi)]}}}
로 표기할 수 있다.

한편, [math(\operatorname{Li}(x))]는 다음과 같은 급수 전개식을 갖는다. 이 식은 독일의 수학자 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Georg_von_Soldner|요한 폰 졸트너]]가 1809년에 제시했다.[*출처 Johann Georg von Soldner, 1809, [[https://archive.org/details/bub_gb_g4Q_AAAAcAAJ/page/n11/mode/2up|treatise Théorie et tables d'une nouvelle fonction transcendante]] (영어 번역: Theory and tables of a new transcendental function)] 아래의 식에서 [math(\gamma)]는 [[오일러-마스케로니 상수]]이다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{Li}(x) = \gamma +\ln \ln x +\sum_{r=1}^\infty \frac{\ln^rx}{r\cdot r!}
\end{aligned} )]}}}||

=== 라마누잔-졸트너 상수 ===
[include(틀:수학상수의 목록)]

{{{+1 Ramanujan-Soldner constant}}}

위 그래프에서 보듯 [math(x>1)] 범위에서 [math(x)]절편이 하나 존재하는데, 발견자인 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Georg_von_Soldner|요한 폰 졸트너]]와 이를 해석적으로 계산해낸 [[스리니바사 라마누잔]]의 이름을 따와서 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan%E2%80%93Soldner_constant|라마누잔-졸트너 상수]]라고 한다. 이 상수는 [[그리스 문자]] [[Μ|[math(\mu)]]]로 표기하며, [[소수(실수)|소수]]로 표현하면 약 [math(1.451369\cdots)] 정도이다.

== [[지수 적분 함수]]와의 관계 ==
[[지수 적분 함수]]와 관련성이 크다. 지수 적분 함수를 이용한 다음과 같은 [[항등식]]이 존재한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned}
\mathrm{li}(x)&=(\mathrm{Ei}\circ\ln)(x) \\
&=\mathrm{Ei}(\ln(x))
\end{aligned} )]}}}
이것의 증명은 아래와 같다. 적분
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac1{\ln t}\,\mathrm{d}t )]}}}
의 분자, 분모에 [math(t)]를 곱하여 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac t{t\ln t}\,\mathrm{d}t )]}}}
꼴로 만들어 [math(\ln{t}\equiv-k)]로 치환하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}t}t=-\mathrm{d}k\qquad\qquad\lim_{t\to0^+}\ln t=-\infty )]}}}
가 성립함에 따라
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{li}(x) &= \int_0^x \frac t{t\ln t} \,\mathrm{d}t \\
&= \int_{\infty}^{-\ln x} \frac{e^{-k}}{-k}(-\mathrm{d}k) \\
&= -\int_{-\ln x}^{\infty} \frac{e^{-k}}k \,\mathrm{d}k
\end{aligned} )]}}}
이 적분은 [[지수 적분 함수]]와 [[자연로그]]의 합성함수 꼴이므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\mathrm{Ei}(\ln x) )]}}}
로 쓸 수 있다.

== 관련 문서 ==
 * [[로그함수]]
 * [[지수 적분 함수]]
 * [[소수 계량 함수]]
 * [[소수 정리]]
 
[[분류:비초등함수]][[분류:정칙함수]][[분류:로그(수학)]]