[include(틀:양자역학)]
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== 정의 ==
디랙 행렬(Dirac matrix)은 [math(0, \pm 1, \pm i)] (단, [[허수|[math(i \triangleq \sqrt{-1})]]])로 이루어진 4개의 [[복소수|복소]] 행렬이다. 감마 행렬(gamma matrix)이라고도 부른다. 정의는 아래와 같이 [[파울리 행렬]]과 2차 단위 행렬의 [[텐서곱]]이다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \gamma^n = \sigma_n \otimes I_2)]}}}

이를 풀어서 [[행렬(수학)|행렬]]로 나타내면 다음과 같다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \gamma^0 = \begin{pmatrix} 
  1 & 0 &  0 &  0 \\
  0 & 1 &  0 &  0 \\ 
  0 & 0 &  -1 &  0 \\
  0 & 0 &  0 & -1
\end{pmatrix} )] }}}
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \gamma^1 = \begin{pmatrix}
   0 &  0 & 0 & 1 \\
   0 &  0 & 1 & 0 \\
   0 & -1 & 0 & 0 \\
  -1 &  0 & 0 & 0
\end{pmatrix} )] }}}
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \gamma^2 = \begin{pmatrix}
   0 & 0 & 0 & -i \\
   0 & 0 & i &  0 \\
   0 & i & 0 &  0 \\
  -i & 0 & 0 &  0
\end{pmatrix} )] }}}
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \gamma^3 = \begin{pmatrix}
   0 & 0 & 1 &  0 \\
   0 & 0 & 0 & -1 \\
  -1 & 0 & 0 &  0 \\
   0 & 1 & 0 &  0
\end{pmatrix} )] }}}

이때, 0, 1, 2, 3은 [[거듭제곱]]을 의미하는 것이 아니라 그냥 [[첨자]]이다. 또한 편의상 다섯 번째 디랙 행렬을 다음과 같이 정의한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \gamma^5 = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \begin{pmatrix}
  0 & 0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1 \\
  1 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} )] }}}

첨자가 5인 이유는 예전에는 첨자를 1부터 5까지 썼는데 4차원 성분을 첨자 0으로 쓰면서 표기가 굳어졌기 때문이다.

== 성질 ==
디랙 행렬은 다음과 같은 [[반교환자]](anticommutator) 관계가 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \left\{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \right\} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I )] }}}
이때 [math(\eta^{\mu \nu})]는 민코프스키 계량 텐서 (Minkowski metric)
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\eta = \begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & -1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & -1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix} )] }}}
의 [math(\mu)]행 [math(\nu)]열 성분이고, [math(I)]는 [math(4 \times 4)] [[단위행렬]]이다.

[[분류:선형대수학]][[분류:물리학]]