[include(틀:해석학·미적분학)]
[[분류:해석학(수학)]][[분류:수학 용어]]
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== 개요 ==
'''단조 수렴 정리'''([[單]][[調]] [[收]][[斂]] [[定]][[理]], monotone convergence theorem, MCT)는 [[해석학(수학)|해석학]]에서 [[수열의 극한]]과 관련된 정리 중 하나이다. 증명하는 방법은 완비 공리(completeness axiom)를 이용하여 실수의 완비성(completeness of real number)을 밝혀내는 것이다.

== 상세 ==
단조 수렴 정리를 바르게 이해하기 위해서는, '''단조수열'''(monotone sequence)과 '''[[유계]]'''(bounded)라는 개념을 정확히 이해할 필요가 있다.

일단 무한수열 {a,,n,,}이 주어져 있다고 하자.

모든 자연수 n에 대하여 [math(a_n \leq a_{n+1})]이면 [math(\{a_n\})]은 '''(단조)증가수열'''이다.
모든 자연수 n에 대하여 [math(a_n \geq a_{n+1})]이면 [math(\{a_n\})]은 '''(단조)감소수열'''이다.
{a,,n,,}이 증가수열 또는 감소수열일 때, '''단조수열'''이라고 부른다.

실수 [math(M)]이 존재하고 모든 자연수 n에 대하여 [math(a_n \leq M)]일 때 [math(\{a_n\})]은 '''위로 유계'''(bounded above)이다. 이때 [math(M)]을 상계(upper bound)라고 한다.
실수 [math(m)]이 존재하고 모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(a_n \geq m)]일 때 [math(\{a_n\})]은 '''아래로 유계'''(bounded below)이다. 이때 [math(m)]을 하계(lower bound)라고 한다.
[math(\{a_n\})]이 위로 유계이면서 아래로 유계일 때, '''유계'''라고 부른다.

"'''__유계이면서 단조인 실수열은 모두 수렴한다__(__If a real sequence is bounded and monotone, it converges.__)'''"라는 것이 단조 수렴 정리의 내용이다.