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== 개요 ==
'''다항식'''([[多]][[項]][[式]], polynomial)은 변수와 상수[* 중고등학교까지는 어떤 것이 상수로 올 수 있는지 명확하게 정해져 있지는 않다. 대개 중학교까지는 a, b, c 등의 문자 또는 1, -1, 2, -2, 3, ... 등의 정수 정도를 쓰고, 고등학교쯤 되면 유리수가 꽤 보이고 무리수도 가끔씩. 학부 이후에선 '[[유리수|[math(\mathbb{Q})]]]위의 다항식 ', '[[실수(수학)|[math(\mathbb{R})]]]위의 다항식', '[[복소수|[math(\mathbb{C})]]]위의 다항식' 과 같이 명시한다.]들의 합, 차, 곱으로 이루어진 식을 말한다. 또는 -1도 상수이므로 변수와 상수들의 합과 곱으로 이루어진 식이라고 할 수도 있겠다.
변수의 개수에 따라 일변수/다변수로 구분하고, 일변수 다항식은 차수(degree)에 따라 일차/이차/삼차다항식 등으로 구분한다. 교과과정에서 고차다항식은  3차 이상의 다항식이다.

고등학교 수준에서의 다항식의 정의를 내리자면 [math(\displaystyle\sum _{k=0}^{n} {a_k x^k})] ([math(a_k)]는 복소수이며, n은 0 이상의 정수. [math(a_n)]은 0이 아님)로 표현할 수 있는 식이다.[* n=0일 수도 있으므로 단항식이나 상수만 딸랑 있는 식도 다항식에 포함된다.] 여기서 [math(\displaystyle n = \deg\left(\sum _{k=0}^{n} {a_k x^k}\right))]을 다항식의 [[차수#s-2]]라고 한다. 위 식의 또 하나의 특징은 식을 변수 x에 대해 미분하고 그 식을 다시 x에 대해 미분하는 방식으로 끊임없이 미분하면 그 값이 0이 된다는 점이다.

수학자들이 쓰는 [[대수학]]에서의 일반적인 정의도 이와 비슷하지만, 계수의 범위에 제약을 주지 않는다는 것이 차이점. 여기서는 계수가 [[환(대수학)|환]] [math(R)] 위에 있는 변수가 [math(x)]인 다항식의 집합을 [math(R[x])]라 쓴다. 변수가 2개 이상일 때는 [math(R[x,y])] 이런 식으로 쓴다. 

수학의 역사에서 [[변수]]와 다항식의 도입은 [[대수학]]을 여는 시작이 되었다. 기호가 없었을 수학의 초창기에는 [[문장제|모든 개념을 말로 설명했는데]], 예를 들자면  [math(x(ax+b)=c)] 같은 방정식을 '어떤 수(x)의 몇(a)배에서 얼마(b)를 더한 것과 원래 그 어떤 수의 곱이 얼마(c)라고 한다' 이런 식으로 썼다. 이차방정식의 [[근의 공식]] 같은 것도 다 이런 식으로 현기증나게 설명했다는 뜻이다. 르네상스 때에 와서야 사칙연산의 기호가 생겨나고, [[르네 데카르트|데카르트]]가 [[미지수]] 기호를 만들면서 표기법이 조금씩 발전해 우리가 아는 다항식 표기가 만들어졌다. 물론 다항식 이전에도 이차방정식의 근의 공식은 있었고 할건 다 했지만, 3차, 4차 등의 고차방정식을 풀고 [[해석기하학]]을 발생시키는 등 이후의 근대 대수학의 발전은 이 표기가 아니었으면 훨씬 지연되었을 것이다.
 * 다항식의 몫, 즉 [math(P(x)/Q(x))] 꼴을 유리식이라고 한다. 계수가 [math(F)] 위에 있는 유리식의 집합은 [math(F(x))]로 쓴다.
 * 다항식으로 나타낼 수 있는 [[함수]]를 다항함수라고 한다.
 * 유리식으로 나타낼 수 있는 함수를 유리함수라고 하고, 그렇지 않은 함수를 무리함수라고  한다.
 * 다항함수를 포함한 다항[[방정식]]의 근으로 나타낼 수 있는 함수를 대수함수라고 한다. 교과과정에서 배우는 제곱근 등의 무리함수들은 모두 이 대수함수의 일종이다. 대수함수가 아닌 함수를 [[초월함수]]라고 한다. 초월함수의 대표적 예로 [[소수(수론)|소수]]의 개수를 세는 함수인 [[소수 계량 함수]]가 있는데, 이 함수를 정의하는 데 쓰이는 소수를 다항방정식으로 표현할 수 없다.

== 용어 ==
다항식들은 변수와 숫자들의 곱으로 나타나지는 '''[[단항식]]'''(monomial)들의 합으로 나타낼 수 있다. 각각의 단항식을 '''[[항(수학)|항]]'''(term)이라 부르고, 각 항의 '''계수'''(coefficient)는 문자로 구성된 부분에 곱해진 숫자이다. 항의 '''[[차수#s-2]]'''(degree)는 하나의 항에서 특정 문자가 곱해진 개수이고, 다항식의 차수는 0이 아닌 항의 차수 중 최대값으로 정의한다. 차수 0인 항을 '''[[상수]]항'''(constant term), 문자와 차수가 둘 다 동시에 같아야 하나로 묶어서 정리할 수 있는데, 이 항을 '''[[동류항]]'''(similar terms) 이라 한다.

예시) [math(x^3+3x^2y-2xy-x^2y+5xy-x+6)]
이때 [math(x^3, 3x^2y, -2xy, -x^2y, 5xy, -x, 6)]을 [[항]]이라고 부른다. [math(x^3)]에서 [math(^3)]을 [math(x)]의 차수라 하며,[* 삼차항이다.] [math(-2xy)]에서 [math(x)]에 대한 계수는 [math(-2y)]이다. 또한, [math(3x^2y)]와 [math(-x^2y)] 그리고 [math(-2xy)]와 [math(5xy)]를 [[동류항]]이라고 한다. 그리고 6을 [[상수]]항이라고 한다.

[math(x)]를 상수취급하고 [math(y)]만 변수로 본다면 [math(x^3, -x, 6)]도 상수항이다.[* 사실 이런 시각이 필요할 때가 있는데, [[편미분]]이다.] 다변수 다항식에서는 '무엇을 변수로 보느냐'를 먼저 정해야 위의 개념들이 확실해진다. 그러므로 위와 같은 경우 [math(f(x, y))]의 꼴로 쓰는 경우가 다변수 다항식은 간혹 차수를 [[순서쌍]]으로 나타내어, [math(5 x^2 y^3)]의 [math((x,y))]에 대한 차수를 [math((2,3))]으로 나타내기도 한다. 이 때는 각각의 차수들의 합을 총차수(total degree)라 부르기도 한다. x에 대한 차수 2, y에 대한 차수 3, 총차수 2+3=5 이런 셈.

0의 차수는 보통 정의하지 않지만, 가끔 편의에 따라서 -1이나 [math(-\infty)]로 정의하기도 한다.[* 전자의 경우는 차수를 정의할 수 없으니 일반적인 상수항보다 아래라고 두어 0보다 작은 가장 큰 정수인 -1로 두는거고, 후자의 경우는 [math(f(x)g(x))]의 차수는 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 차수의 합이라는 기본적인 성질을 토대로 일반화시키기 위해 [math(-\infty)]로 설정하는 것.]

합과 곱이 뒤섞인 형태의 다항식을 전부 풀어 동류항끼리 묶어 나타내는 것을 전개(expansion)라고 한다. 빠른 전개에 쓰이는 것이 바로 [[곱셈 공식]]이다.
예시) [math((x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz )]
반대로 다항식을 (가능할 경우에) 다른 다항식들의 곱으로 나타내는 것을 [[인수분해]]라고 한다. 인수분해에서 곱에 쓰이는 각각의 다항식을 인수라고 한다. 두 개 이상의 인수로 인수분해가 항상 가능한 것은 아니다.
예시) [math(x^2 - y^2 = (x+y)(x-y))]

더 이상 간단하게 정리할 수 없는 다항식은 '''기약다항식'''(irreducible polynomial)이라고 한다. 기약다항식으로 방정식이 나올 경우 일반적인 방법으로는 [[인수분해]]가 되지 않으므로 [[근의 공식]] 등을 이용하게 되는데, 그 결과로 나오는 근이 매우 복잡한 꼴로 나온다.
== [[대수학]]에서 다항식의 성질 ==
고교과정 이내에서 쓰이는 다항식의 성질은 다음이 있다. 의외로 엄밀한 증명이 쉽지만은 않아서, 암묵적으로 사용되는 경우가 대부분이다. 다항식의 계수가 유리수, 실수, 복소수 등일 때 다음이 성립한다.
 * 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있고 통상적인 [[결합법칙]], [[교환법칙]], [[분배법칙]] 등을 만족시킨다. 나눗셈에 대해서는 닫혀 있지 않다. ('정의되어 있지 않다'가 FM이다.)[* 무엇보다도 대부분 다항식의 나눗셈이 다항식의 사칙연산 법칙 중에서도 가장 어려워서 일일이 뺄셈을 하는데만 칠판을 가득 채울 정도다.]
 * 영인자는 존재하지 않는다. 즉 [math(fg =0)]이면 [math(f=0)] 또는 [math(g=0)]이다.[* 대수학에서는 이런 성질을 만족하는 집합을 정역(integral domain)이라 한다.]
 * (이하 일변수 다항식에 한해서) 몫과 나머지가 있는 나눗셈을 할 수 있다. 고교과정에서 [[나눗셈 정리]]라는 내용으로 소개되는 내용이다.
 * [[인수분해]]를 유일하게 할 수 있다.
  * 단 여기서 '유일하게'의 기준은, 각각의 인수가 상수배만큼 차이나는 것은 같은 인수분해로 취급한다. [math(-3xy)]는 [math((-3x) \cdot y)]로 분해하냐 [math(x \cdot (-3y))]로 분해하냐 하나로 정할 수가 없기 때문이다. 그래서 보통은 "체 [math(F)]상에서 주어진 다항식 [math(f(x)(\in F\left[x\right]))]는 단원[* [[환(대수학)|환]]에서 곱셈역원을 가지는 원소를 모아놓은 것. 정수환에서는 [math(\pm 1)]이며, [[가우스 정수]]환에서는 [math(\pm i, \pm 1)] 뿐이지만, 유리수 이상으로 확장될 경우는 해당 유리수군/실수군/복소수군에서 0을 제외한 모든 원소의 집합이 된다. 정수계수 다항식환에서는 정수환과 동일한 [math(\pm 1)], 그 이상으로 확장된 수 체계의 다항식환에서는 차수가 0인 모든 상수 다항식이 된다.]과 [math(F\left[x\right])]상의 기약 다항식의 곱으로 인수분해할 수 있으며, 이 때 [math(f(x))]의 기약다항식 인수는 재배열의 순서, 그리고 선택한 단원의 차이를 무시하면 유일하다"라는 문장을 쓰는 편이다. 또한 다항식의 계수 범위에 따라 인수분해의 꼴이 바뀌기 때문에(실수 위에서는 [math(x^2+1)]이 더 분해되지 않지만 복소수 위에서는 [math((x+i)(x-i))]로 인수분해된다), 계수 집합을 확실히 정해 놓아야 한다.
 * 두 다항식의 [[최대공약수]]와 [[최소공배수]]가 유일하게 존재한다. [* 역시 상수배만큼 차이나는 건 같은 걸로 취급한다. 보통 모닉다항식(최고차항의 계수가 1인 다항식)으로 한정하면 유일해진다.]
 * 유리식의 성질인 [[부분분수분해]]도 다항식의 성질에서 파생된 것으로 볼 수 있다.

이것들이 대학교 현대대수학에서 일반적인 계수로 넘어오면 다음처럼 일반화된다. 또한, 현대대수학에서는 다항식에 들어가는 미지수를 변수(variable)가 아니라 부정원(indeterminate)[* 말 그대로 정해지지 않은/결정되지 않은 항목. 이라는 의미. 변수와 다를 바 없어 보이지만, 엄밀한 수학적 정의로는 약간의 차이가 존재한다. 정확하게는 부정원은 수학명제를 서술하기 위해 사용되는 도구이며, 변수는 주어진 집합(보통은 실수나 복소수집합)의 원소(수)를 대표하는 기호다. 따라서 부정원은 엄밀하게는 '''수가 아니라 기호'''이므로 이것 자체로는 계산할 수 없으며, 변수는 반대로 '''기호의 탈을 쓴 수'''이므로 임의의 변수 값을 대입하여 계산할 수 있다. 부정원을 변수처럼 [math(x,y,z)]등으로 표기하는 것은 그저 표기상이나 계산상의 편의를 위한 것이며, 실제로는 전혀 다른 개념이다. 체 [math(F)]가 체 [math(E)]의 부분체이며, [math(F\left[x\right])]를 체 [math(F)]상에서 주어진 다항식환이라고 하자.[br][math(\alpha \in E)]일 때, [math(x)]를 부정원이라고 두면, 다음과 같은 [[범함수]]를 정의할 수 있다.[br]함수 [math(\phi_{\alpha}:F\left[x\right]\to E)]가 [math(f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n} \in F\left[x\right])]일 때, [math(\phi_{\alpha}\left(f(x)\right)=\phi_{\alpha}\left(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\right)=a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n})]라는 함수 [math(\phi_{x})]를 정의하면 준동형사상이 되는데, 이 함수를 별도로 '''[math(\alpha)]에서의 대입 준동형사상'''이라고 하며, 이는 부정원을 변수로 치환하여 계산하는데 중요한 역할을 하는 준동형사상이다. 변수와 부정원이 같은거라면 이런 준동형사상을 생각할 필요가 없다.]이라 부르며 별개로 보는 관점이 대부분이다.  가환[[환(대수학)|환]] [math(R)]에 대해
 * [math(R[x])]는 당연히 가환환이다.
 * [math(R[x])]가 정역일 필요충분조건은 [math(R)]도 정역인 것이다.
 * [math(R)]이 체이면 [math(R[x])]에선 나눗셈을 생각할 수 있고 유클리드 정역(Euclidean domain)이 된다. 따라서 ED->PID->UFD의 [[상하관계]]에 의해서 [[최대공약수]]가 존재하고 유일[[인수분해]]가 가능하다.
 * 하지만 [math(R)]이 체가 아니면 [math(R[x])]는 PID도 되지 못하고, 나눗셈을 생각할 수 없다. 당장에 정수계수 위에서만 봐도 [math(x^2 +1)]을 [math(2x+1)]로 나눌 수는 없으니.
 * [math(R)]이 UFD이면 [math(R[x])]도 UFD이다. 이것 때문에 의외로 [math(\mathbb{Z}[x,y])] 같은 애들이 나눗셈은 택도 없지만 인수분해는 유일하게 된다.

== [[다항함수]] ==
다항식으로 정의된 함수에 관한 내용은 [[다항함수]] 문서 참고 바람.

[[미분]][* 정확히는 도함수]을 할 때 차수가 계수로 넘어오고 차수는 1씩 줄어든다. 당연하지만 차수가 0인 상수항은 증발한다. [[부정적분]]은 미분의 역연산인데, 원래의 상수항이 어떤 것이었는지를 알 길이 없으므로 C로 표기하는데 여기서의 C를 적분상수라 한다.[* 물론 이것은 정적분을 계산할 때 부정적분을 아무거나 택해도 되기 때문에 그런 것이지 적분상수가 필요 없다는 뜻이 아니다. 자세한 내용은 [[미적분학의 기본정리]] 참조.] 또한 이런 성질 때문인지, 다항함수 한정으로[* 선형성 자체는 다항함수 외에도 유지되지만, 선형변환은 다항함수 형태일 때가 가장 잘 정의된다. 다항함수로 정의하는건, 후술할 선형변환이 행렬연산으로 대응된다는 사실에서 유래되는데, 미분연산자를 행렬표현하는 방식은 다항함수일 때를 기준으로 하기 때문.] 미분은 [math(\displaystyle {\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!x}:x^{n}\to nx^{n-1})]라는 '''[[선형 변환|선형 연산자]]'''로서의 성질도 가지고 있으며[* 실제로 선형성을 만족한다는 것을 쉽게 보일 수 있다.], 이 때 한정으로 '''미분연산자'''라고 부른다.
>[math(\displaystyle 3x^2+8x+x+5)]
>----
>[math(\dfrac{d}{dx} (3x^2+8x+x+5) = 6x + 8 + 1)] (위 식을 미분한 꼴)
>[math(\displaystyle \int (6x + 8 + 1) dx = 3x^2 + 8x + x + C)] (위 미분한 식의 부정적분)
>[math(\displaystyle \int (3x^2+8x+x+5) dx = x^3 + 4x^2 + {1 \over 2}x^2 + 5x + C)] (처음 식의 부정적분)

차수가 -1인 경우는 부정적분에서 상수항이 아닌 [[로그(수학)|로그]]의 형태로 적분이 되므로 주의해야 한다.
>[math(\displaystyle \int x^{-1}dx = \int \frac{1}{x} dx= \ln x + C)]
== 관련 문서 ==
 * [[다항함수]]
 * [[항등식]]
 * [[방정식]]
 * [[부등식]]
 * [[곱셈 공식]]
 * [[인수분해]]
[[분류:대수학]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]