[include(틀:다른 뜻1, other1=부동산에서의 넓이, rd1=면적)]
[include(틀:차원)]
[include(틀:평면기하학)]
[목차]

== 수학에서의 넓이 ==
'''넓이'''(area, extent, surface) 또는 '''면적'''([[面]][[積]])은 [[2차원]] 공간에서의 크기를 가리킨다.

'너비[* 간혹 [[자주 틀리는 한국어|너비를 넓이로 잘못 알고 있는]] 사람이 있는데, 너비는 길이의 동의어이며 넓이와 다르다. '''넓이는 너비와는 [[차원(물리량)|차원]]부터가 다르다(너비는 [math(\sf L)], 넓이는 [math(\sf L^2)])'''. 기호로는 Area에서 따온 [math(A)] 또는 Surface에서 따온 [math(S)]를 쓴다.]([[길이]])'와 마찬가지로 일상 생활에서 자주 쓰이는 크기의 단위이지만, 여기서부터는 [[지수(수학)|제곱]]의 개념을 사용하기 때문에 직관적인 크기 비교가 까다로워지기 시작한다. 너비와 높이가 두 배인 경우, 넓이는 이의 제곱인 4배가 된다. [[구구단|3×3=9, 4×4=16, 5×5=25, 6×6=36, 7×7=49, 8×8=64, 9×9=81...]] 등으로 외워 두면 좋다. 이런 제곱으로 늘어나는 넓이를 원하지 않는 경우, 한쪽 길이만 늘리든가, 아니면 [[제곱수]]가 아닌 이상 나누어 떨어지지도 않는 [[제곱근]]을 동원해야 한다.

[[적분]]이 [[고대 이집트]] 시절부터 생겨난 것은 [[나일강]]으로 인해 주기적으로 범람해서 [[개판]](...)이 되곤 하는 토지의 넓이를 구하기 위해서이다. 나일강이 직선으로 흐를 리는 없기 때문에 한 면 이상이 [[곡선]]으로 이루어진 도형의 넓이를 구해야 했는데, 곡선은 직선과는 달리 정확하게 길이를 구하기가 힘든지라 이를 [[극한|직선으로 최대한 근사시켜서]] 넓이를 구했다.[* 이를 구분구적법이라고 한다.]

넓이라는 용어는 수학적으로 한 도형에서 음이 아닌 실수로 가는 [[함수]]를 뜻한다. 다만 임의의 함수가 되는것은 아니고 넓이라는 용어에 대한 기본적인 성질을 만족해야만 한다. 가령 안겹치게 쪼갠 도형들의 넓이의 값이 원 도형의 넓이와 같다거나, 포함되는 도형이라면 넓이가 더 작다는 등... 사실 넓이보다는 [[측도]]라는 표현을 쓴다. [[적분|정적분]]의 정의를 이용한 조던 측도 방법이 있었고 그 후에 르벡이 이를 일반화 시켜 측도론이 탄생했다.

=== 넓이의 단위 ===
==== [[국제단위계|SI 단위]]계 ====
[math( \mathrm{m}^2 )]

통칭 '제곱미터(square meter)'. 옛날 교과서나 서적 등에서는 '평방미터'라고 되어있는 경우도 있는데 같은 단위이다. 건축이나 산업 현장에서는 일본식 표현에서 온 단위로 '헤베'(平米, へーべー)를 많이 사용하기도 한다. (1헤베 = 1제곱미터)

==== 비SI 단위계 ====
 * SI 단위계와 호환되는 단위
  * [math( \mathrm{a} )] (아르)
  * [math( \mathrm{ha} )] ([[헥타르]])
 * [[척관법]] 계열
  * [[평]]
 * [[야드파운드법]] 계열
  * [[에이커]]

=== 넓이를 재는 여러 가지 방법 ===
==== 특정한 모양의 넓이를 구하는 방법 ====
===== [[삼각형]], [[사각형]], [[원(도형)|원]] =====
====== 삼각형 ======
삼각형의 넓이 = 밑변 × 높이 × [math(\frac {1}{2})]
[math(\frac{1}{2})][math(ab)]

====== 사각형 ======
직사각형 넓이 = 가로 × 세로, 정사각형 넓이 = (변의 길이)^^2^^
 1. 서로 마주보는 두 점을 이어 대각선을 그린다.
 1. 모든 사각형은 이 대각선을 밑변으로 하는 삼각형 2개를 구할 수 있다. 이때 1. 에서 선택되지 않은 두 점과 밑변을 이어 높이 a,b를 구한다.
 1.
  * 1.에서 그린 대각선이 사각형 안에 있을때;
  사각형의 넓이 = [math(\frac {1}{2})] × (대각선의 길이) × (a+b)
  * 1.에서 그린 대각선이 사각형 밖에 있을때;
  사각형의 넓이 = [math(\frac {1}{2})] × (대각선의 길이) × |(a-b)|

====== 원 ======
원의 넓이 = [[원주율]] × 반지름^^2^^

중학교 1학년 수학에서 가르치기는 하지만 고등학교 2학년 과정인 [[미적분Ⅰ]], [[미적분Ⅱ]] 中 '구분구적법'과 '정적분'을 이해해야 이 공식을 이해할 수 있다. '''초등학교에서 하는 증명[* 원을 최대한 미세하게 가위로 잘라내서 부채꼴들의 호가 위아래로 번갈아 오도록 이들을 붙여 근사시킨 직사각형의 넓이가 (원주의 절반 × 반지름)이라는 사실을 통해 알 수 있다. 초등학교에서는 거듭제곱을 배우지 않았기에 반지름 × 반지름 × 원주율로 가르친다.]도 구분구적법이다.'''

원을 4등분하면 모양과 크기가 같은 부채꼴 4개가 되므로 네 부채꼴의 넒이를 모두 더해도 원 넒이와 같다.

====== [[부채꼴]] ======
부채꼴의 넓이 = 원주율 × 반지름^^2^^ × (육십분법 중심각/360º)

[[라디안|호도법]]을 쓸 경우 식이 간단해진다.
부채꼴의 넓이 = [math(\frac {1}{2})] × 반지름^^2^^ × 라디안 각
===== [[타원]] =====
타원의 넓이 = [math(\frac {1}{4})] × 원주율 × 장축의 지름 × 단축의 지름 = 원주율 × 장축의 반지름 × 단축의 반지름[* 타원을 원으로 [[정사영]]시켜 넓이 비교를 통해 증명할 수 있다.]

===== 입체도형의 겉넓이 =====
입체도형의 경계가 면이므로 해당 도형의 겉넓이를 구할 수 있다. 6학년 때 배우며 중1 올라가면 뿔, 구의 겉넓이까지 배운다. 증명은 고2ㆍ3 때 미적분을 배워야 알 수 있다. 어떤 입체도형의 겉넓이는 그것의 전개도의 넓이이다.

====== 직육면체 ======
직육면체의 겉넓이 = (2 × 너비 × 높이) + (2 × 너비 × 깊이) + (2 × 높이 × 깊이)

====== [[정육면체]] ======
정육면체의 겉넓이 = 6 × 한 변의 길이^^2^^ = 6 × 한 면의 넓이

====== [[원기둥]] ======
원기둥의 겉넓이 = 밑면들의 넓이 + 옆면의 넓이 = (2 × 원주율 × 반지름^^2^^) + (2 × 원주율 × 반지름 × 높이) = 2 × 원주율 × 반지름 × (반지름 + 높이)

====== [[원뿔]] ======
원뿔의 겉넓이 = (원주율 × 반지름^^2^^) + (원주율 × 반지름 × 모선 길이[* [[피타고라스 정리|√(반지름^^2^^ + 높이^^2^^)]]]) = 원주율 × 반지름 × (반지름 + 모선 길이)

====== [[구(도형)|구]] ======
구의 겉넓이 = (4 × 원주율 × 반지름^^2^^)

원과 마찬가지로 정적분을 동원해야 증명을 할 수 있다. 원과는 달리 '''입체'''도형이므로 [[중적분]]을 해야 한다.[* 회전체의 부피 공식을 이용하면 한 번만 적분해도 된다.]

====== [[원환면]] ======
토러스의 겉넓이 = 원주율^^2^^ × (바깥 반지름^^2^^ - 안 반지름^^2^^)

== 모든 모양의 넓이를 구하는 방법 ==
특정 도형이 아닌 불규칙한 모양은 정확한 넓이를 구할 수 없으며, [[구분구적법]]으로 대략적인 넓이를 구할 수 있다.

[[분류:기하학]][[분류:크기]]