[목차]
== 일반 [[명사(품사)|명사]] ==
 1. 어떤 한도에 차고 남은 부분.(분류의 경우, 그외 또는 이외라고 할 때가 있다.)
 1. 어떤 일을 하다가 마치지 못한 부분.
 1. 어떤 일의 결과.

어원은 '남-'[* 남다] + '-아지'[* '작은 것'이란 뜻을 더해주는 접미사. 어린 동물들의 이름([[강아지]], [[송아지]], [[망아지]] 등)의 '아지'도 바로 이것.] 로 추정된다.

기타(其他)라고 말할 때도 있다.
== 수학에서의 나눗셈의 나머지 ==
=== 정수의 [[나눗셈]]의 나머지 ===
{{{+1 remainder}}}

나눗셈에서는 피제수(被除數)[* 나누어지는 수]를 제수(除數)[* 나누는 수]로 나눴을 경우, 나누어 떨어지지 않고 남은 수[* 나머지의 차수는 제수의 차수를 넘을 수 없으며, 나머지는 제수보다 항상 작다.]를 말한다. [[잉여]](剩餘)라고도 하며, 7을 2로 나누면 [[몫]]이 3이고 나머지는 1이다. A를 B로 나눈 몫이 C이고 나머지가 R이면 A=BC+R라는 식이 성립하며, 이 식으로 나눗셈을 검산할 수 있다. 예를 들어 앞의 나눗셈에서는 7=2×3+1이다.

수학적으로 엄밀한 나머지의 정의는 다음과 같다. [[나눗셈 정리]]에 따르면 양의 정수 제수 [math(b)]와 임의의 정수 피제수 [math(a)]에 대해, [math(a =bq+r)]을 만족시키는 유일한 정수 [math(q)]와 [math(0 \le r < b)]가 존재한다. 이 때 [math(r)]를 나머지라고 한다. 즉 요약하면 '''제수는 양의 정수, 피제수는 상관없음(음수 포함), 나머지는 0~(제수-1)'''이 수학에서 정하는 '정석'인 것이다.

다만 이 정의는 대학 수학인 [[정수론]]까지 가야 등장하므로, 중등 교과과정에서는 음수가 포함된 나눗셈을 정확하게 정의하지는 못하고 어쩔 수 없이 얼버무리고 넘어가게 된다. 

물론 수학에서건 일상생활에서건 이 '정석'에 얽매일 필요는 없다. 직관적으로 음수를 나눌 경우 나머지를 음수로, 즉 나머지 범위를 [math( -b<r \le 0)]로 생각하는 경우도 있지만, 이 경우는 양수의 나머지 집합과 음수의 나머지 집합이 달라진다는 단점이 있다. 나머지의 범위를 [math( -(b-1)/2 \le r \le b/2 )]로 잡아 정의하는 경우도 있고, 이 경우 몫은 'a/b에 가장 가까운 정수'의 의미가 된다. [[정수론]]이나 [[대수학]]을 파다 보면 '나머지가 무엇인지'보다는 '나머지가 같냐 다르냐'가 본질적인 문제라는 것을 느끼게 될 것이다. 특히 정수에서 나머지만을 떼어내어 보는 것을 [[합동식]]은 [[정수론]]의 핵심적인 주제 중 하나이다.

다만 현실에서, 특히 컴퓨터 명령어에서 어떻게 나머지를 정의할지는 필요한 용도에 따라서 갈릴 것이다.

제수 혹은 법(modulo)이 고정되어 있으면, 다항식 수열, 거듭제곱꼴, 일반적으로 [[피보나치 수열]] 등을 포함한 정수계수 선형[[점화식]]의 항 ([math( a_{n+k} = c_1 a_{n+k-1} + \cdots + c_k a_n)] 꼴) 들은 나머지의 주기성을 갖는다.[* 다항식 수열과 거듭제곱꼴은 둘다 선형[[점화식]]을 만족시킨다. 다항식의 경우 계차수열, 거듭제곱꼴의 경우 등비수열.] 즉 [math(a_n)]을 나눈 주기가 일정 패턴으로 반복되는 것. 
다항식과 거듭제곱꼴의 나머지 주기는 [[오일러 정리]], [[원시근]] 및 [[중국인의 나머지 정리]] 등의 [[합동식]]에 대한 온갖 지식들을 적절히 활용하면 일반적인 식을 구할 수 있다. 피보나치 수열 등등의 경우도 조금은 어렵지만 [[대수적 정수론]] 등의 지식을 활용하면 비슷한 방법으로 나머지 주기가 얼마인지를 계산하는 것이 가능하다.

초등 수학에서 나머지에 대한 성질은 제곱수의 끝자리가 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 등으로 반복되는 등등의 관찰이나, 10진법에서의 [[배수(수학)#s-2|배수 판별법]] 등에서 관찰을 해 보았을 것이다. 다만 배수 판별법 중에는 나머지를 정확히 결정하지 않는 것들이 더 많다.

=== 다항식의 나눗셈의 나머지 ===
다항식의 나눗셈에서도 나머지를 정의할 수 있다. 다항식 [math(A(x))]와 [math(B(x) \neq 0)]에 대해, [math(A(x) = B(x) Q(x)+R(x))]을 만족하며 [math(\deg(R)<\deg(B))]인 다항식 [math(Q(x),R(x))]가 유일하게 존재한다. 이 때 [math(R(x))]를 나머지라 정의한다.

예를 들어 [math(x^3 + 2x+1)]을 [math(x^2)]로 나누면 [math(x^3+2x+1=x^2\cdot x + (2x+1))] 이므로, 몫은 [math(x)] 나머지는 [math(2x+1)]이다. [[나머지 정리]]에 따르면 [math(F(x))]를 [math((x-\alpha))]로 나누었을 때 나머지가 [math(F(\alpha))]임을 얻는다.

다항식의 나눗셈에 대해 역시 정석대로 따진다면 주의할 점이 있다. 다항식의 몫과 나머지의 계수를 모두 유리수/실수/복소수로 간주(즉 [[체(대수학)|체]] 위에서 생각)하면 나눗셈이 가능하지만, [[정수]]계수만을 고집할 경우 나눗셈이 성립하지 않는 경우가 많다. 예로 [math(x^2 + 1)]을 [math(2x+1)]로 나누는 것은 정수계수 위에서는 불가능하다. 단 [math(B(x))]의 최고차항이 1 또는 -1이면 (monic이라 한다) 정수계수로도 나눗셈이 가능하다.

변수가 2개 이상인 다항식에서는 몫과 나머지를 생각할 수 없다.

추상[[대수학]]에서는 정수와 다항식에서 나머지가 있는 나눗셈이 가능하다는 개념을 확장시킨 유클리드 정역(Euclid domain)을 생각하여, 보다 넓은 범위의 나머지를 생각하기도 한다.
[[조립제법]]을 이용하면 쉽게 계산할 수 있다.

=== 컴퓨터 프로그램에서의 정수 나눗셈 명령어 ===
 음수에 대한 규칙 처리에서 프로그램에 따라, 명령어에 따라 차이를 보인다.
 * 음수의 나머지를 음수로 놓기 (예시: -10을 3으로 나누면 몫은 -3, 나머지는 -1)
 * 음수의 나머지를 양수로 놓기 (예시: -10을 3으로 나누면 몫은 -4, 나머지는 2)

 [[C언어]] 등 많은 프로그래밍 언어에서는 %를 나머지 연산자로 사용한다. 예를 들어 20 % 3 = 2이다. 참고로 C 언어의 / 와 % 연산자는 음수에 대한 정확한 규정은 없으나, 컴파일러 대개는 첫 번째 방식으로 동작한다.

 [[한컴오피스 한셀|한셀]]은 Excel 과 마찬가지로 나눗셈의 나머지를 구하는 함수는 MOD이다. =MOD(A, B)를 입력하면 A를 B로 나눈 나머지를 알려 준다.

 대개의 수학 소프트웨어(MATLAB, Maple, Mathematica 등등)에는 다양한 나머지 연산이 다 들어가 있다.

==== Microsoft Excel에서 ====
 * A / B 를 하면 실수의 나눗셈 연산을 한다. "= -10 / 3" 의 결과는 -3.3333... 이다.
 * QUOTIENT(A, B)를 하면 정수형 나눗셈을 하는데 첫번째 방식으로 몫을 계산한다. "= QUOTIENT(-10, 3)" 의 결과는 -3 이다. 그리고, TRUNC(A/B) 를 하면 QUOTIENT 함수와 동일한 결과가 나온다.
 * 첫번째 방식으로 나머지를 계산하는 함수는 별도로 제공하지 않지만, A - B * QUOTIENT(A, B) 라는 식으로 계산할 수 있다. 즉 "= (-10) - (3) * QUOTIENT(-10 , 3)" 의 결과는 -1 이다. TRUNC 함수는 QUOTIENT 와 동일한 결과가 나오므로 이를 써도 된다.
 * INT(A/B) 를 하면 두번째 방식으로 몫을 계산한다. 즉, "= INT(-10/3)" 의 결과는 -4 이다.
 * MOD(A, B) 를 하면 두번째 방식으로 나머지를 계산한다. 즉, "= MOD(-10, 3)" 의 결과는 2 이다.

엑셀에서 제공하는 정수형 나눗셈 연산자(QUOTIENT)와 나머지 연산자(MOD)가 계산방식이 다르기 때문에, 음수를 취급할 때는 신경써서 사용해야 한다.

=== 구현 ===
 * 음수의 나머지를 양수로 놓기

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\bmod\left( a,\, b \right) := a - b \left\lfloor \dfrac ab \right\rfloor)]
}}}

  삼각함수를 이용하여 구현할 때
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\bmod\left( a,\, b \right) := \dfrac b\pi \cot^{-1}\left( \cot \dfrac ab \pi \right))]
}}}

 * 음수의 나머지를 음수로 놓기

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\bmod\left( a,\, b \right) := a - b \times \mathrm{trunc}\left( \dfrac ab \right))]
}}}

  삼각함수를 이용하여 구현할 때
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\bmod\left( a,\, b \right) := a - b \times \mathrm{sgn}\left( \dfrac ab \right) \left\lfloor\left\lvert \dfrac ab \right\rvert\right\rfloor)]
}}}

  이 때, [math(\lfloor x \rfloor = x - \bmod\left( x, 1 \right))] 이므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(
\begin{aligned}
\bmod\left( a,\, b \right) :\!&= a - b \times \mathrm{sgn}\left( \dfrac ab \right) \left( \left\lvert \dfrac ab \right\rvert - \bmod\left( \left\lvert \dfrac ab \right\rvert,\, 1 \right) \right) \\
&= \mathrm{sgn}\left( \dfrac ab \right) \bmod\left( \left\lvert \dfrac ab \right\rvert,\, 1 \right) \\
&= \dfrac 1\pi ~ \mathrm{sgn}\left( \dfrac ab \right) \cot^{-1}\left( \cot \left\lvert \dfrac ab \right\rvert \pi \right)
\end{aligned}
)]
}}}

여기서 [math(\mathrm{trunc}\left( x \right))] 는 [[https://ko.wikipedia.org/wiki/바닥_함수와_천장_함수#정수_부분·분수_부분|정수 부분 함수]], [math(\left\lfloor x \right\rfloor)] 는 [[최대 정수 함수]], [math(\operatorname{sgn})]은 [[부호 함수]]이며 정수 부분 함수는 다음과 같이 정의된다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(
\mathrm{trunc}\left( x \right) = \mathrm{ip}\left( x \right) := \mathrm{sgn}\left( x \right) \lfloor\lvert x \rvert\rfloor =
\begin{cases}
\lfloor x \rfloor & \text{ if } x \ge 0 \\
\lceil x \rceil & \text{ if } x < 0
\end{cases}
)] 
}}}

== 관련 문서 ==
 * [[나눗셈]]
 * [[합동식]] - 나머지의 다양한 성질을 다룬 내용은 해당 문서의 '성질' 문단을 참고하면 된다.
 * [[몫]]
 * [[배수(수학)]]
 * [[짝수]], [[홀수]] - 정수를 2로 나눈 때의 나머지에 따라 구별한다.
 * [[소수(수론)]]
 * [[소인수분해]]
 * [[낙타 나누기]]
 * [[밖]]

[[분류:동음이의어]][[분류:수학 용어]]