[include(틀:관련 문서, top1=비유클리드 기하학, top2=삼각형)] [include(틀:기하학·위상수학)] [include(틀:천문학)] [[파일:20160712215538!Spherical-triangle.png|width=192&align=right]] [목차] == 개요 == {{{+1 [[球]][[面]][[三]][[角]][[形]] · spherical triangle}}} [[구(도형)|구면]] 위에 그려진 [[삼각형]]을 말한다. [[비유클리드 기하학]]에서 가장 많이 다루어지는 도형인데, '''[[지구]]'''라는 현실적 대상과 매우 밀접하기 때문. == 성질 == * 구면 위에 그려진 삼각형의 경우, 내각의 합은 삼각형의 넓이에 비례한다. 정확하게는 다음 관계식에 따른다. * [math(\displaystyle \textsf{내각의 합}=\pi\times\left(1+4\times\frac{\textsf{삼각형의 넓이}}{\textsf{구의 표면적}}\right))] 즉, 구면을 평면으로 근사시킬 수 있을 만큼 삼각형이 매우 작거나, 반대로 구의 곡률이 0에 근사될 정도로 큰 구의 삼각형일 경우, 그 면적의 비중이 0에 수렴하므로 내각의 합은 [math(\pi)], 즉 180도다. 이론상 최대치는 [math(5\pi)], 즉 900도로, 전술한 조건에서 삼각형을 그리고 그 외부를 삼각형이라 정의한 경우의 합이다. 다만 후술하듯이 내각의 합이 [math(3\pi)]까지만 생각하는게 보통이다. 또한 이 공식을 변형하면 구면삼각형의 넓이를 다음과 같이 유도할 수 있다. 다음 공식에서 [math(r)]은 구면의 반지름, [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{3}\theta_n)]는 내각의 합이다. 증명은 가우스 보넷 정리[* 3차원상의 콤팩트한 2차원 곡면에서 해당 곡면의 가우스 곡률 [math(K)]와 측지곡률 [math(x_g)], 그리고 해당 곡면의 오일러 지표[math(\chi(M))]에 대하여 성립하는 상관관계를 서술한 정리다. 가우스 곡률을 면 전체에 대해서 중적분하고 측지곡률을 측지선에 따라 선적분한 값을 합치고, 여기에 다각형의 외각의 합을 더하면 해당 곡면의 오일러 지표의 [math(2\pi)]배가 나온다.]에서 유도된다. * [math(\displaystyle S=r^2\left(\sum_{n=1}^{3}\theta_n-\pi\right))] || 증명 || ||n각형의 외각에 대한 가우스-보넷 정리의 공식은 다음과 같다. [math(\displaystyle \iint_M k dM+\int_{\partial M}x_g dS+(n\pi-\sum_{i=1}^n \theta_i)=2\pi\chi(M))] ---- 여기서 구면의 측지곡률([math(x_g)])은 0. 다각형의 오일러 지표는 1이므로 위의 식은 다음과 같이 바꿀 수 있다. [math(\displaystyle \iint_M k dM+(n\pi-\sum_{i=1}^n \theta_i)=2\pi)] 정리하면 다음과 같다. [math(\displaystyle \iint_M k dM=\sum_{i=1}^n \theta_i+(2-n)\pi)] 그런데, 구면에서의 가우스 곡률 [math(K)]은 구면의 반지름이 [math(r))]일 때 [math(\displaystyle \frac{1}{r^2})]이므로 대입하면 [math(\displaystyle \iint_M \frac{1}{r^2} dM=\sum_{i=1}^n \theta_i+(2-n)\pi)] [math(r)]은 상수이므로 [math(\displaystyle \frac{1}{r^2}\iint_M dM=\sum_{i=1}^n \theta_i+(2-n)\pi)] 즉 다각형의 넓이를 [math(S)]라고 하면 [math(\displaystyle \frac{1}{r^2}\iint_M dM=\frac{S}{r^2}=\sum_{i=1}^n \theta_i+(2-n)\pi)] 양 변에 [math(r^2)]을 곱해 정리하면 [math(\displaystyle S=r^2\left\{\sum_{i=1}^n \theta_i+(2-n)\pi\right\})] 이것이 구면에서의 다각형의 넓이를 구하는 공식이다. 구해야 할 것은 삼각형이므로 [math(n=3)]을 대입하면 증명하고자 하는 공식이 나온다. 즉 [math(\displaystyle S=r^2\left\{\sum_{n=1}^3 \theta_n-\pi\right\})] || 여기서 자명하게 다음 성질이 성립한다. * 삼각형의 넓이는 단위구 기준 내각의 합에서 [math(\pi)]를 뺀 값이다.[* 단위구의 표면적은 [math(4\pi)]이므로 위의 식에 대입하면 자명한 결과다.] * [[헤론의 공식|각 변의 길이를 모두 더한 값의 절반]]보다 넓이가 항상 크다. * 내각의 합은 [math(\pi)]보다 크다.[* 구면삼각형은 모든 각이 직각일 수 있음을 많이 접해봤을 것이다.][* 상술했듯이 구면을 평면으로 근사시킬 수 있을 정도로 작은 공간, 혹은 구면의 곡률이 0에 근사될 정도로 큰 구 위에서 그려진 삼각형이라면 [math(\pi)]에 한없이 근접한다.] * 모든 변이 같으나 한 각이 [math(\dfrac{\pi}{3})]보다 큰 임의의 각을 갖는 '정삼각형'이 존재한다. 그 가운데 모든 각이 직각인 정삼각형은 구면을 정확히 8등분해서 얻을 수 있으며 정팔면체가 만들어진다. 120도인 삼각형은 정사면체이며 72도인 삼각형은 정이십면체이다. * 오목삼각형이 존재한다. 즉 한 각의 크기가 [math(\pi)]를 초과할 수 있다. * 삼각형의 내각의 합은 [math(3\pi)]보다 작다. 내각의 합이 [math(3\pi)]가 되는 경우에도 [[위상기하학]]적으로는 삼각형이다. 커지는 경우는 [math(5\pi)]까지 가능하지만 [math(3\pi)]를 초과한 경우 구의 표면적을 절반 초과 덮게 된다. * 외접원, 내접원, 방접원은 구의 단면이다. * 최소 3개의 수심을 갖는다. 하나 이상의 각이 직각인 삼각형은 수심이 4개이다. == 공식 == === 구면직각삼각형의 공식 === 빗변의 길이가 [math(c)]([[라디안]])인 경우. [math(\cos c=\cos a\cos b)] [math(\sin A= \dfrac{\sin a}{\sin c} , \cos A=\dfrac{\tan b}{\tan c} , \tan A=\dfrac{\tan a}{\sin b} )] [math(\cos A)]를 기술하는 항에서 [math(c=\dfrac{\pi}{2})]일 경우, [[로피탈의 정리]]를 취해 [math(\dfrac{\sec^2b}{\sec^2c}=\dfrac{\cos^2c}{\cos^2b})]로 계산해야 한다. === 구면삼각형의 [[사인 법칙]] === [math( \dfrac{\sin a}{\sin A}=\dfrac{\sin b}{\sin B}=\dfrac{\sin c}{\sin C} )] === 구면삼각형의 [[코사인 법칙]] === * 변에 대한 코사인법칙 [math( \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C )] * 각도에 대한 코사인법칙 [math(\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c )] * 각도의 코사인 법칙과 변의 코사인 법칙을 합한것 [math(\cos c=\dfrac{\cos a\cos b-\sin a\sin b\cos A\cos B}{1-\sin a\sin b\sin A\sin B})] [[분류:미분 기하학]][[분류:비유클리드 기하학]][[분류:삼각형]][[분류:한자어]]